中考数学压轴题36

每周两题（十）

1．（2023•长郡模拟二 24T）我们不妨约定：若存在实数，对于函数图象上任意两点，、，，都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．

（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“”，不是的打“”；

①　　   ；

②　    　；

③　    　．

（2）若一次函数和反比例函数，为常数，且，当且时，这两个函数的幸福指数相同，求的值；

（3）若关于的幸福函数为常数），当时，幸福指数为，求的值．

2．（2023•长郡模拟一25T）如图1，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点是线段上的一个动点，连接并延长与过，，三点的相交于点，过点作的切线交轴于点．

（1）①求点的坐标；②求证：；

（2）如图2，连接，，，，当，时，

①求证：；②求的值．

1．（2023•长郡模拟一24T）我们不妨约定：若存在实数，对于函数图象上任意两点，、，，都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．

（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“”，不是的打“”；

①　　；

②　　；

③　　．

（2）若一次函数和反比例函数，为常数，且，当且时，这两个函数的幸福指数相同，求的值；

（3）若关于的幸福函数为常数），当时，幸福指数为，求的值．

【分析】（1）①当时，，当时，，则，符合题意，故正确；②、③同理可解；

（2）时，求出两个函数的最小值，即可求解；

（3）当时，当时，，当时，，则，即可求解；当时、当时，同理可解．

【解答】

解：（1）①当时，，当时，，

则，符合题意，故正确；

②当时，，当时，则，

则，故错误；

③当时，，当时，，

则，故错误；

故答案为：，，；

（2），故，

时，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

即，

解得：；

当时，列出的函数关系式和的值和得情况完全相同，

故；

（3）当时，，同理可得：当时，，当时，；

①当时，

当时，，当时，，

则，

解得：；

②当时，

当时，当时，，当时，，

则，

解得：；

当时，同理可得：，

解得：或1（均舍去）；

③当时，

当时，，当时，，

则，

解得：；

综上，或3或5．

【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，数形结合和正确理解新定义，是本题解题的关键．

2．（2023•长郡模拟二25T）如图1，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点是线段上的一个动点，连接并延长与过，，三点的相交于点，过点作的切线交轴于点．

（1）①求点的坐标；②求证：；

（2）如图2，连接，，，，当，时，

①求证：；②求的值．

【分析】（1）①令，可得，则点坐标可求出；

②连接，连接延长交轴于点，由切线的性质可证得，则；

（2）①由可得，，，则，，是等边三角形，证明，根据相似三角形的性质可得结论；

②设，点的坐标为，由可得，由角平分线的性质得，则，即可求解．

【解答】

（1）①解：令，

，解得或，

；

②证明：如图，连接，连接，延长交轴于点，

过、、三点，为顶点，

，，

又，

，

为切线，

，

又，

，；

（2）①证明：如图，

，

，

令，可得，

或，

，，，

，，

是等边三角形，

，

，

，

，，

，，

，

，

，

；

②解：设，点的坐标为，

，，

，

由角平分线成比例定理可得：，

，

，，

，

或（舍去），

，

．

【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．

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