中考数学压轴题40

这是一份中考数学压轴题40，共11页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。
每周两题（十四）1．（2022•湘一立信二模24T）定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．（1）等边三角形“捷线”条数是 　     　；（2）如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；（3）在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．                 2．（2022•湘一立信二模25T）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．（1）如图1，若为，为，求该抛物线的函数表达式；（2）若、重合，且为等边三角形，求的值；（3）如图2，在（1）的条件下，连接，与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得，且，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
1．（2022•湘一立信二模24T）定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．（1）等边三角形“捷线”条数是 　3　；（2）如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；（3）在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，可得答案；（2）利用，得，则是的“捷线”；（3）根据“捷线”的定义知，与相似，当时，利用相似三角形的性质解决问题．【解答】（1）解：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示，则，，，，，是等边三角形的捷线，故答案为：3；（2）证明：，，，，，是的“捷线”；（3）解：设是的内心，连接，则平分，是的捷线，与相似，分两种情况：①当时，，，，，，作于点，如图所示，则，是的内切圆半径，，平分，，，，即，，，，，即，，②当时，，，同理可得，综上：．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内心，勾股定理，直角三角形的内切圆半径等知识，本题综合性强，有一定的难度． 2．（2022•湘一立信二模25T）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．（1）如图1，若为，为，求该抛物线的函数表达式；（2）若、重合，且为等边三角形，求的值；（3）如图2，在（1）的条件下，连接，与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得，且，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）将点、代入，即可求解；（2）若、重合，则抛物线的对称轴为轴，即，可得，由为等边三角形得，，可得，，，，将，代入，即可求解；（3）利用直线与直线的解析式求出点的坐标，，设，分三种情况讨论：①当点在对称轴的右侧，点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于点，过点作交于点，证明，求出，，再将点代入抛物线解析式即可求的值；②当点对称轴的左侧，点在点下方时，过点作垂直对称轴交于点，过点作轴，过点作交于，证明，可得，，再将点代入抛物线解析式即可求的值；③当点在点上方时，此时点在对称轴的右侧，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明，求出，，再将点代入抛物线解析式即可求的值．【解答】解：（1）将点、代入，，   解得，； （2）若、重合，则抛物线的对称轴为轴，即，，抛物线为，，为等边三角形，，，，，，，，，，将，代入得，（不合题意，舍去）或3，的值为3； （3）存在点，使得，且，理由如下：，抛物线的对称轴为直线，设直线的解析式为，，，，设直线的解析式为，，，，联立方程组，解得，，，设，如图1，当点在对称轴的右侧，点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于点，过点作交于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，或，，或；如图2，当点对称轴的左侧，点在点下方时，过点作垂直对称轴交于点，过点作轴，过点作交于，，，，，，，，，，，，，，，，，，（舍去）或，；如图3，当点在点上方时，此时点在对称轴的右侧，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，解得或，，，；综上所述：点的坐标为，或或或．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，一次函数与抛物线交点坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/26 16:14:50；用户：严平；邮箱：15111341689；学号：19129422