中考数学压轴题42

这是一份中考数学压轴题42，共12页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。
每周两题（十一）1．（2023•长郡一模24T）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是 　          　；．平行四边形           ．矩形               ．正方形                   ．菱形（2）如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点不与、重合），交于点，过作交于点．①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由；②如图2，连接，求三角形的周长；③若四边形是“等补四边形”，求的长．               2．（2023•长郡一模25T）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，是抛物线顶点，的外接圆与轴的另一交点为，与轴的另一交点为．①求；②若点是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点，使得与相似？如果存在，请求出点的坐标；（3）点是抛物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点纵坐标的取值范围．
1．（2023•长郡一模24T）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是 　　；．平行四边形        ．矩形          ．正方形               ．菱形（2）如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点不与、重合），交于点，过作交于点．①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由；②如图2，连接，求三角形的周长；③若四边形是“等补四边形”，求的长．【分析】（1）根据新定义即可求解；（2）①证明和，即可求解；②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，则的周长；③四边形是“等补四边形”， ，则存在、、、四种情况，当时，证明为等边三角形，进而求解；当时，证明为等边三角形，进而求解；当时，由②知，的周长为，进而求解；当时，则，而当点是的中点时，才存在，故该种情况不存在，即可求解．【解答】解：（1）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，正方形是等补四边形，故答案为：； （2）①四边形是否为“等补四边形”，理由：如图，连接，四边形是正方形，，，又，，，，，，，，，，，； ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则，将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，则，，，，，则的周长； ③四边形是“等补四边形”， ，则存在、、、四种情况，当时，由（1）知，，则，则为等边三角形，如图：则，则，在中，，则；当时，，△，，而，为等边三角形，故该情况同的情况；当 时，由②知，的周长为，设，则，则，解得：；当时，则，而当点是的中点时，才存在，故该种情况不存在，综上，的长度为：或．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，新定义“等补四边形”，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确理解新定义“等补四边形”和分类求解是解题的关键． 2．（2023•长郡一模25T）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，是抛物线顶点，的外接圆与轴的另一交点为，与轴的另一交点为．①求；②若点是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点，使得与相似？如果存在，请求出点的坐标；（3）点是抛物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点纵坐标的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）①利用配方法可得抛物线顶点，过点作轴于点，过点作于点，连接，由和是等腰直角三角形，可推出，得出是的外接圆的直径，由勾股定理可得，设，利用，建立方程求解即可得出，即，再运用三角函数定义即可求得答案；②由于点是第一象限内抛物线上时，，而，故，分两种情况：当时，或，当时，或，分别求出点的坐标即可；（3）作的外接圆，交抛物线的对称轴直线于点、，由点、关于直线对称，可知圆心在直线上，设，，，运用勾股定理可求得，圆的半径为，进而得出，，在上取点，连接、，使，过点作于点，设与轴交于点，可证得，得出，即，求得或2，再运用三角函数定义即可求得答案．【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，，解得：，该抛物线解析式为；（2）①，抛物线顶点，令，得，，又，，是等腰直角三角形，，，如图，过点作轴于点，过点作于点，连接，则，，是等腰直角三角形，，，，为的外接圆的直径，在中，，设，则，，在中，在中，，，，即，解得：，（舍去），，，，，，，；②存在．在中，，在中，，当时，或，如图，则或，若，即，，在和中，，，，即，，，，射线经过点，设的解析式为，则，解得：，的解析式为，设，则，解得：，，；若，即，，同理可得；当时，或，如图，设交轴于点，则或，即或，或，，，，，，，设的解析式为，则，解得：，的解析式为，设，则，或，解得：或5，当时，，，；当时，，；，当点是第一象限内抛物线上时，，，综上所述，点的坐标为，或或，或；（3）如图，作的外接圆，交抛物线的对称轴直线于点、，，，点、关于直线对称，圆心在直线上，设，，，，，△是等腰直角三角形，，，解得：或（舍去），，，，，解得：，，，，在上取点，连接、，使，过点作于点，设与轴交于点，则，，，，，，，，，即，解得：或2，点是抛物线对称轴上一动点，若为锐角，且，锐角，设点的纵坐标为，或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外接圆，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质圆的性质，圆周角定理等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/29 10:23:12；用户：严平；邮箱：15111341689；学号：19129422