2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第6讲 直线的方程

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根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
知识梳理
1.直线的点斜式方程
2.直线的斜截式方程
3.直线的两点式方程和截距式方程
4.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))
5.直线的一般式方程
6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
3.2.1 直线的点斜式方程
名师导学
知识点1 求直线的点斜式方程
【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．
【分析】求直线的点斜式方程的思路
【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y－4＝－(x＋1)．
(3)∵直线与y轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝eq \f(－4－1,3－2)＝－5.
由点斜式得y－1＝－5(x－2)．
【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
知识点2 直线的斜截式方程
【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【分析】直线的斜截式方程的求解策略：
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．
【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
由斜截式可得方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝eq \r(3)，∴y＝eq \r(3)x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4，0)和(0，－2)．
∴k＝eq \f(－2－0,0－4)＝eq \f(1,2)，
∴y＝eq \f(1,2)x－2.
知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用
【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．
【解答】(1)∵l1∥l2，∴a2－2＝－1，
又2a≠2，解得a＝－1.
(2)∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
【证明】 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3.))
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?
【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y＋4＝k(x＋5)，则分别令y＝0，x＝0，可得直线l与x轴的交点为(eq \f(－5k＋4,k)，0)，与y轴的交点为(0，5k－4)．因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，
所以eq \f(1,2)|eq \f(－5k＋4,k)|·|5k－4|＝5，所以eq \f(－5k＋4,k)·(5k－4)＝±10，即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，所以k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5)，
所以存在直线l满足题意，直线l的方程为y＋4＝eq \f(8,5)(x＋5)或y＋4＝eq \f(2,5)(x＋5).
名师导练
A组-[应知应会]
1．（宣城期末）过点，斜率是的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵直线过点且斜率为，
由直线方程的点斜式得：，
整理得：.
故选C.
2．（绵阳期末）已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【答案】C
【解析】方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.
3．（上饶期末）直线y＝eq \r(3)(x－eq \r(3))的斜率与在y轴上的截距分别是( )
A．eq \r(3)，eq \r(3) B．eq \r(3)，－3 C．eq \r(3)，3 D．－eq \r(3)，－3
【答案】B
【解析】由直线方程知直线斜率为eq \r(3)，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.故选B.
4．（通州区期末）直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b