2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第7讲 直线的交点坐标与距离公式

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第7讲 直线的交点坐标与距离公式
新课标要求
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理
一、直线的交点与直线的方程组解的关系
1．两直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l1
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
点A在直线l1上
A1a＋B1b＋C1＝0
直线l1与l2
的交点是A

(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0)
2.两直线的位置关系

一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行

二、两点间的距离公式
条件
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
结论
|P1P2|＝
特例
点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝

三、点到直线的距离
1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝．
四、两平行直线间的距离
1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
名师导学
知识点1 两直线的交点问题
【例1-1】（宜昌期末）已知两直线，，则与的交点坐标为　　．
【分析】联立，解得即可．
【解答】解：联立，解得．
与的交点坐标为．
故答案为：．

【例1-2】（雅安期末）过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】联立，求出两条直线与直线的交点．利用两点式方程能求出过点且过原点的直线方程．
【解答】解：联立，
解得两条直线与直线的交点．
过点且过原点的直线方程为：
，即．
故选：．
【例1-3】（芜湖期末）若三条直线，和交于一点，则的值为　　
A． B． C．2 D．
【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入，即可求得的值．
【解答】解：依题意，，
解得，
两直线和的交点坐标为．
直线，和交于一点，
，
．
故选：．
【变式训练1-1】（阎良区期末）直线与直线的交点坐标是　　
A． B． C． D．
【分析】联立，能求出直线与直线的交点坐标．
【解答】解：联立，得，
直线与直线的交点坐标是．
故选：．
【变式训练1-2】（安庆期末）直线与直线的交点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】联立，解得，．即可判断出结论．
【解答】解：联立，解得，．
交点在第二象限．
故选：．
【变式训练1-3】（庐江县期中）直线和直线的交点在轴上，则的值为　　
A． B．24 C．6 D．
【分析】联立，由直线和直线的交点在轴上，得到，由此能求出．
【解答】解：联立，
解得，
直线和直线的交点在轴上，
，
解得．
故选：．
知识点2 直线过定点问题
【例2-1】（宿迁期末）设直线过定点，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】对于任意实数，直线恒过定点，则与的取值无关，则将方程转化为．让的系数和常数项为零即可．
【解答】解：解：方程可化为，
对于任意实数，当时，直线恒过定点，
由当，得，．
故定点坐标是．
故选：．
【例2-2】（江阴市期中）直线必过定点　　
A． B． C． D．
【分析】由已知可得直线过两直线与的交点，联立求解得答案．
【解答】解：由直线，
得，解得．
直线必过定点．
故选：．
【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是　　
A． B． C． D．
【分析】先变形解析式得到关于的不定方程，由于有无数个解，则且，然后求出和的值即可得到定点坐标．
【解答】解：由直线，知．
不论为何值时，直线总经过一个定点，即有无数个解，
且，
，，
这个定点的坐标是．
故选：．
【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线为常数）经过定点　　
A． B． C． D．
【分析】令参数的系数等于零，求得、的值，可得结论．
【解答】解：对于直线，令，可得，可得它经过的定点坐标为，
故选：．
知识点3 两点间距离公式的应用
【例3-1】（南充期末）已知点，0，与点 ，，，则　　
A．2 B． C．3 D．
【分析】根据题意，由点的坐标结合空间两点间距离的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，点，0，与点 ，，，
则；
故选：．
【例3-2】（临川区校级一模）已知的三个顶点的坐标分别为，，，则这个三角形是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．
【解答】解：的三个顶点的坐标分别为，，，
，
，
，
，
是直角三角形．
故选：．
【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线的长为　　
A．8 B．13 C． D．
【分析】由中点坐标公式求得中点的坐标，再由两点间的距离公式求得的长．
【解答】解：由，，得，，
即坐标为．
又，．
故选：．
【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形，用坐标法证明：．

【分析】根据题意，建立坐标系，设出、的坐标，分析可得、的坐标，由两点间距离公式计算、的值，分析可得答案．
【解答】证明：根据题意，如图以为的轴建立坐标系，的中点为坐标原点建立坐标系，
设，，，则，，
则，
，
则有．

知识点4 点到直线的距离
【例4-1】（金凤区校级期末）已知点．
（1）若一条直线经过点，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；
（2）求过点且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？
【分析】（1）当的斜率不存在时，直接写出直线方程；当的斜率存在时，设，即．由点到直线的距离公式求得值，则直线方程可求；
（2）由题意可得过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，求出所在直线的斜率，进一步得到直线的斜率，得到直线的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．
【解答】解：（1）①当的斜率不存在时，的方程为；
②当的斜率存在时，设，即．
由点到直线距离公式得，；得．
故所求的方程为： 或；
（2）由题意可得过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，
由，得，，
由直线方程的点斜式得，即．
即直线是过点且与原点距离最大的直线，最大距离为．
【例4-2】（韶关期末）已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为　　
A．或 B．或
C． D．
【分析】先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为，由此能求出直线的方程．
【解答】解：点和点，，
点和点到直线的距离相等，且过点，
直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为，
直线的方程为：，或，
整理得：或．
故选：．
【变式训练4-1】（保山期末）若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为　　
A． B． C． D．
【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，点到直线的直线间的距离公式求得结果．
【解答】解：直线过点，倾斜角为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即．
则点到直线的距离为，
故选：．
【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点到直线距离的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．
【解答】解：因为点到直线距离；
要求距离的最大值，故需；
可得；当时等号成立；
故选：．
知识点5 两平行线间距离公式及其应用
【例5-1】（张家界期末）直线与直线平行，则它们的距离为　　
A． B． C． D．2
【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离．
【解答】解：直线，即，
它与直线平行，
，求得，
则它们的距离，
故选：．
【例5-2】（广州期末）若两平行直线与之间的距离是，则　　
A．0 B．1 C． D．
【分析】两直线与平行，可得，解得，再利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：两直线与平行，
，解得．
又两平行直线与之间的距离是，
，解得．
．
故选：．
【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直线与直线平行，则有，
则两直线的方程为与直线，
则它们之间的距离；
故选：．
【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线与的距离是　　
A． B． C． D．
【分析】把已知两直线方程变形，再由两平行线间的距离公式求解．
【解答】解：由，得，
由，得，
则两条平行直线与的距离是．
故选：．
【变式训练5-3】（广东期末）已知直线与，若，则实数的值为　　
A．2或 B．1 C．1或 D．
【分析】由，解得．经过验证即可得出．
【解答】解：由，解得或．
经过验证可得：时重合，舍去．
故选：．
【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则　　
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：由，解得．满足．
的方程为，有，则，
解得或，
故．
故选：．
知识点6 运用距离公式解决最值问题
【例6-1】（北碚区校级期末）已知的三个顶点，，，若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是　　
A． B． C． D．
【分析】分别过、、三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
【解答】解：分别过、、三个点，作斜率为1的三条直线：
，即．
，即．
，即．
显然，夹在两条斜率为1的平行直线 和之间，
且直线 和之间的距离为，
故选：．
【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线和，直线分别与，交于，两点，则线段长度的最小值为　　．
【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：由题知，，
两直线间的距离，
故答案为：．
【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点且与原点的距离最大的直线方程是　　 ．
【分析】过点且与原点的距离最大的直线满足：．则，即可得出．
【解答】解：过点且与原点的距离最大的直线满足：．
，
．
直线的方程 为：，化为．
故答案为：．
【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点和点，点在轴上，若的值最小，则点的坐标为　　 ．
【分析】点关于轴的对称点为，直线的方程为得，令，解得即可得出．
【解答】解：点关于轴对称的点，
连接与轴交于点，此时的值最小，
设直线的解析式得，
即，
令，得，
所以．
故答案为：．
名师导练
A组-[应知应会]
1．（辽源期末）点到直线的距离是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，点到直线的距离；
故选：．
2．（宁波期末）直线与间的距离为　　
A．1 B．3 C． D．
【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果．
【解答】解：直线与间的距离为，
故选：．
3．（内江期末）已知点到直线的距离等于1，则实数等于　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，点到直线的距离等于1，
则有，解可得；
故选：．
4．（兴庆区校级期末）设有直线，当变动时，所有直线都经过定点　　
A． B． C． D．
【分析】根据直线恒过定点的求法，直接求出定点．
【解答】解：当时，不论为何值，，即过，
故选：．
5．（沙坪坝区校级期中）已知直线与平行，则与的距离为　　
A． B． C． D．
【分析】直线与平行，即可得到，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：直线与平行，可得，
则由两平行直线的距离公式可得，
则与的距离为，
故选：．
6．（包头期末）点在直线上，是坐标原点，则的最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
【分析】的最小值是点到直线的距离，利用点到直线的距离公式能求出的最小值．
【解答】解：点在直线上，是坐标原点，
的最小值是点到直线的距离，
则的最小值是．
故选：．
7．（河池期末）点到直线的距离的最小值为　　
A．4 B． C． D．
【分析】利用点到直线的距离公式可得：点到直线的距离，再利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：点到直线的距离．
故选：．
8．（江阴市期中）直线过，且，到的距离相等，则直线的方程是　　
A． B．
C．或 D．或
【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，易得所求的直线方程．
【解答】解：设所求直线为，由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，
（1）的斜率为，当直线时，直线的方程是，即，
（2）当直线经过线段的中点时，的斜率为，直线的方程是，即，
故所求直线的方程为，或．
故选：．
9．（平顶山期末）已知，，直线．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则　　
A．或6 B． C． D．或
【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：由题可知，
解得或．
故选：．
10．（昆山市期中）已知，，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为　　
A． B．， C．， D．
【分析】根据点、在轴的同侧，求出点关于轴的对称点，得出的最小值是，再利用直线求得点的坐标．
【解答】解：点，在轴的同侧，如图所示；
则点关于轴的对称点的坐标为，
此时的值最小，
此时直线的方程为，
令，解得，
所以取最小值时，点，．
故选：．

11．（宝安区校级模拟）已知，，且则的最小值为　　
A． B． C．2 D．
【分析】本题要根据表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到取最小的点的情况，即可计算出的最小值．
【解答】解：根据题意，可知
表示点与点，的距离；
表示点与点的距离；
表示点与点，的距离；
表示点与点，的距离．
表示点到、、、四个点的距离的最小值．
则可画图如下：

的最小值是点在线段上，
同理，的最小值是点在线段上，
点既在线段上，又在线段上，
点即为图中点．
的最小值为．
故选：．
12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线与之间的距离是，则的可能值为　　
A．3 B． C． D．17
【分析】利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行直线间的距离求出，可得的值．
【解答】解：直线与平行，
则，解得；
所以；
所以直线与间的距离是，
所以，
解得或；
当时，；
当时，；
所以的可能值为3或．
故选：．
13．（多选）（山东模拟）若三条直线，，不能围成三角形，则的取值为　　
A． B． C． D．
【分析】和平行，或和平行，和平行以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得的值，综合可得结论．
【解答】解：由于的斜率，的斜率为，
则由题意可得和平行，或和平行，和平行．
若和平行，则，求得；
若和平行，则，求得．
若和平行，则，求得．
当三条直线，，交于同一个点时，；
综上可得，实数所有可能的值为，1，，
故选：．
14．（田家庵区校级期末）原点到直线的距离是　　．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．
【解答】解：原点到直线的距离是，
故答案为：．
15．（尖山区校级期末）两条平行直线与之间的距离为　 　．
【分析】利用平行线，求解，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：两条平行直线与，
可得，
所以，
所以两条平行直线与之间的距离为：．
故答案为：．
16．（嘉兴期末）直线与直线平行，则　 　；与之间的距离为　　．
【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
【解答】解：直线与直线平行，
，，则．
且它们之间的距离为，
故答案为：1；．
17．（金华期末）已知直线，则当时，直线的倾斜角为　　；当变化时，直线过定点　　．
【分析】取化简直线方程，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角；利用直线系方程的逆用求直线所过定点．
【解答】解：当时，直线化为，
直线的斜率，设倾斜角为，
由，得；
化直线为．
联立，解得．
当变化时，直线过定点．
故答案为：；．
18．（镇江期末）已知直线与直线之间的距离为，则实数的值为　　．
【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：，解得．
故答案为：．
19．（珠海期末）已知平面直角坐标系中，点，点，直线，则直线与直线的交点坐标为　 　．
【分析】先利用两点式方程求出直线的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标．
【解答】解：平面直角坐标系中，点，点，直线，
直线的方程为：，整理得：，
联立，得．
直线与直线的交点坐标为，．
故答案为：，．
20．（苏州期末）已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则　　 ．
【分析】由两直线互相垂直可得，为直角三角形的斜边，直角三角形斜边的中线的长为斜边的一半，且，由此能求出．
【解答】解：由已知两直线互相垂直可得：，
解得，
线段中点为，且为直角三角形的斜边，
联立，得，
，
直角三角形斜边的中线的长为斜边的一半，且，
，
故答案为：．
21．（昆山市期中）在平面直角坐标中，已知，，，平面内的点满足，则点的坐标为　　 ．
【分析】设出点，利用两点间的距离公式列方程求出、的值．
【解答】解：设点，由，
得，
化简得，解得，
所以点的坐标为．
故答案为：．
22．（新余期末）已知直线过一、三、四象限，其中，则点到直线的距离为　 　．
【分析】由直线过一、三、四象限得到，又，所以，所以直线的方程为：，即，再利用点到直线距离公式即可求出结果．
【解答】解：直线过一、三、四象限，，，
又，，
直线的方程为：，即，
点到直线的距离为：，
故答案为：．
23．（乐山期末）已知两条直线和．
（1）当时，求的值；
（2）在（1）的条件下，求、间的距离．
【分析】（1）根据题意，分析可得，解可得，分别验证和时，两直线是否平行，即可得答案；
（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，直线和．
若，必有，解可得，
当时，直线，直线，两直线平行，符合题意，
当时，直线，直线，两直线重合，不符合题意，
故；
（2）由（1）的结论，直线，直线，
直线、间的距离．
24．（宁德期末）已知直线与轴的交点为，且点在直线上．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离等于2，求直线的方程．
【分析】（1）求出的坐标，求出直线的斜率，从而求出直线的方程即可；
（2）通过讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，求出直线方程即可．
【解答】解：（1）依题意得，，
若，则，
直线的方程为，
即（或
（2）当直线斜率不存在时，符合题意，
当直线斜率存在时，设其方程为，
点到直线的距离等于2，
，解得：，
综上，所求直线方程为或．
25．（新都区期末）已知的三个顶点坐标为，，．
（1）求边的中线所在直线方程的一般式方程；
（2）求的面积．
【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．
（2）三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）设的中点的坐标为，
所以，，即点的坐标为．
由两点式得：．
所以边的中线所在直线方程的一般式方程为：；
（2）直线的方程为：．
，，
．
26．（沭阳县期中）已知直线．
（1）求证：不论为何实数，直线恒过一定点；
（2）过定点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求直线的方程．
【分析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：，令，解可得、的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；
（2）根据题意，设直线，与轴的交点为，与轴的交点为，分析可得为的中点，由中点坐标公式分析的坐标，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）证明：直线整理得：，
令
解得：，
则无论为何实数，直线恒过定点，
（2）根据题意，设直线，与轴的交点为，与轴的交点为，
过定点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，即为的中点，
则有，解可得，，即直线过，，
则直线的方程为，即．
27．（宁城县期末）已知点三顶点坐标分别是，，，
（1）求到边的距离；
（2）求证边上任意一点到直线，的距离之和等于．
【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出即可；
（2）设，，求出直线的方程，由点到直线的距离公式，证明即可．
【解答】解：（1）直线的方程为：，即，
到边的距离，
（2）设，，
直线的方程是，即，
则到直线的距离为，
则到直线的距离为，
，
故原命题成立．


B组-[素养提升]
1．（尖山区校级期末）已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值　 　．
【分析】设点，点关于直线对称的点为，则点与点的中点在直线上，且直线一定垂直于直线，列方程组求出根据对称原理，的周长的最小值为：，即的最小值，设点关于轴的对称为点，直线与轴交于一点，当点处在这个点时，取得最小值此时，由此能求出的周长的最小值．
【解答】解：在中，顶点，点在直线上，点在轴上，
设点，点关于直线对称的点为
则点与点的中点在直线上
且直线一定垂直于直线，
，解得，，点坐标为
根据对称原理，的周长的最小值为：
，即的最小值，
设点关于轴的对称为点，
直线与轴交于一点，当点处在这个点时，取得最小值
此时，
的周长的最小值为．
故答案为：．

2．（兰州期末）已知点．
（1）求过点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（2）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，由，得，即可得出．
（2）只需比较“过点与原点距离最大的直线中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．
【解答】解：（1）过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，
由，得，所以．
由直线方程的点斜式得，
即．
即直线是过点且与原点距离最大的直线，最大距离为．
（2）过点不存在到原点距离超过的直线，
因此不存在过点点且到原点距离为6的直线．