2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第11讲 双曲线

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第11讲 双曲线
新课标要求
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
知识梳理
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
3.双曲线的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
范围
x≤－a或x≥a
y≥a或y≤－a
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，a)，(0，－a)
轴长
虚轴长＝2b，实轴长＝2a
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝x，y＝－x
y＝x，y＝－x
4.直线与双曲线的位置关系及判定
直线：Ax＋By＋C＝0，
双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)，
两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.
则直线与双曲线的位置关系如下表：
位置关系
公共点个数
判定方法
相交
2个或1个
m＝0或
相切
1个
m≠0且Δ＝0
相离
0个
m≠0且Δ＜0

名师导学
知识点1 双曲线定义的应用
【例1-1】(1)动点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　　　　　 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
(2)若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．(5，＋∞) B．(－∞，3)
C．(3,5) D．(－∞，3)∪(5，＋∞)
【分析】　利用双曲线的定义解题．
【解析】　(1)∵|MN|＝2，|PM|－|PN|＝2＝|MN|，
∴点P的轨迹是以N为端点的一条射线，故选D.
(2)∵＋＝1表示双曲线，
∴5－k与k－3一正一负，即(5－k)(k－3)＜0，
解得k＞5或k＜3.故选D.
【答案】　(1)D　(2)D
【变式训练1-1】(1)(马鞍山高二测试)已知点P的坐标满足－＝4，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
(2)若动点P到F1(－5,0)与F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B．－＝1
C.＋＝1 D．－＝1
【解析】(1)点P的坐标满足－＝4，
∴动点P(x，y)到A(1,1)和B(－3，－3)的距离之差等于4，
又A(1,1)和B(－3，－3)两点间的距离为|AB|＝4，
∴动点P的轨迹方程是双曲线的一支．
(2)由双曲线定义知，P点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，且2a＝8，a＝4，c＝5，∴b＝3.
∴P点的轨迹方程为－＝1.
【答案】(1)B　(2)D

知识点2 求双曲线的标准方程
【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，a＝3，c＝5；
(2)与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(3，)的双曲线的标准方程；
(3)经过两点(3，－4)，.
【分析】　对于(1)，只需求出b2即可；对于(2)，(3)可设出双曲线的方程，代入条件即可．
【解】　(1)∵a＝3，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－9＝16.
又此双曲线焦点在x轴上，
∴所求的双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵＋＝1的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，由题意得，所求双曲线的焦点坐标为(±2，0)，
设所求的双曲线的标准方程为－＝1.
又(3，)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝20－2，
∴所求的双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设所求的双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(其中mn＜0)．
由题意得得
故所求的双曲线的标准方程为－＝1.
【变式训练2-1】已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C．4 D．
【解析】∵椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，∴a2－9＝7，∴a2＝16.又a>0，∴a＝4.
【答案】C

知识点3 双曲线定义及其标准方程的应用
【例3-1】如图所示，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

【分析】　(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．
【解】　双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝ ＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
又c－a＝5－3＝2,10>2,22>2，
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝
36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝
＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
【变式训练3-1】已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
【解】(1)椭圆的方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.
故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意得解得a2＝3，b2＝2.
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2c＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
由余弦定理可得
cos ∠MF2F1＝＝＝－<0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．

知识点4 双曲线的简单几何性质
【例4-1】求双曲线4y2－9x2＝－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．
【分析】　将双曲线的方程化为标准方程，确定焦点所在的坐标轴，得到几何量a，b的值，从而得出相关的几何性质．
【解】　将双曲线方程化成标准方程为－y2＝1，可知半实轴长a＝＝，半虚轴长b＝1.于是有c＝ ＝ ＝，所以焦点坐标为，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
其图象如图所示．

【变式训练4-1】(北京卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
【解析】∵双曲线x2－＝1过点(3,4)，∴9－＝1，∴b2＝2，又a2＝1，焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±x.
【答案】y＝±x

知识点5 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程
【例5-1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦点在y轴上，实轴长为10，离心率为；
(2)焦距为10，实轴长是虚轴长的2倍；
(3)与双曲线－x2＝1共渐近线，焦点坐标为(±2,0)．
【分析】　对于(1)只需根据题目条件求出b2即可；对于(2)，由于焦点所在的坐标轴不确定，故需分情况讨论；对于(3)，利用两双曲线共渐近线求解．
【解】　(1)由题意得2a＝10，a＝5，
又e＝＝，∴c＝12.
∴b2＝c2－a2＝144－25＝119.
又焦点在y轴上，
∴所求的双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由题意得c＝5，a＝2b，
又a2＋b2＝c2，∴5b2＝25，∴b2＝5，a2＝20.
当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设所求的双曲线方程为－x2＝λ(λ≠0)，
∵焦点在x轴上，∴λ＜0，
∴方程再化为－＝1.
又焦点坐标为(±2,0)，
∴－4λ＝4，λ＝－1，
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
【变式训练5-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离为6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
【解】(1)由题意，得2b＝8，e＝＝，∴b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9.
又该双曲线焦点在x轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得2a＝6,2c＝4a，∴a＝3，c＝6.
∴b2＝c2－a2＝36－9＝27.
∴所求的双曲线方程为－＝1或－＝1.

知识点6 双曲线的离心率问题
【例6-1】(1)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C．4 D．
(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______________．
【分析】　对于(1)，根据双曲线的定义得到a，b，c的关系式，再求离心率；对于(2)，欲求离心率的取值范围，可利用|PF1|或|PF2|的范围求解．
【解析】　(1)根据已知条件，知||PF1|－|PF2||＝2a，所以4a2＝b2－3ab，所以b＝4a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
(2)∵P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，
又∵|PF2|≥c－a，即2a≥c－a，
∴e＝≤3.又e＞1，∴1＜e≤3.
【答案】　(1)D　(2)1＜e≤3
【变式训练6-1】(1)(北京卷)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)
A. B．4 C．2 D．
(2)(全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D．
【解析】(1)由题意，得e＝＝＝＝，∴5a2＝a2＋1，解得a＝.
(2)由题意，得k＝－＝tan 130°，∴＝tan 50°，即＝，
∴e2＝＋1＝，∴e＝.
【答案】(1)D　(2)D

知识点7 直线与双曲线的位置关系
【例7-1】已知过点P(0,1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．
【分析】　欲解此题，需将直线与双曲线联立，再利用所得的方程求解．
【解】　设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，此时的直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，由Δ＝4k2－4(4－k2)(－5)＝0，解得k＝±.
综上，得直线l的斜率k的值为±2或±.
【变式训练7-1】　(龙岩一中月考)斜率为2的直线l过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(1，)
C．(1，) D．(，＋∞)
【解析】依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：－＝1的右焦点且与双曲线的左、右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b>2a，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>＝.

【答案】D
知识点8 弦长问题
【例8-1】(福州检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚轴长为4.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点(0,1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
【分析】　第(1)问，直接由e＝和c2＝a2＋b2，求出a2，b2；第(2)问，由l与C联立，消去y，利用韦达定理和弦长公式可求|AB|，再由点到直线的距离公式求△OAB的高，最后求面积．
【解】　(1)依题意可得解得a＝1，b＝2，c＝，
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由题意，得直线l的方程为y＝x＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得3x2－2x－5＝0，
由韦达定理，可得x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝× ＝，
原点到直线l的距离为d＝，
∴S△OAB＝·|AB|·d＝××＝.
【变式训练8-1】已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－＜k＜且k≠±1.
即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以
当A，B在双曲线的一支上且|x1|＞|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时，
S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
所以S△OAB＝|x1－x2|＝，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.又因为－＜k＜，且k≠±1，所以当△AOB的面积为时，实数k的值为0或±.

知识点9 中点弦问题
【例9-1】(吉林实验中学检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点P在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
【分析】　由于P为中点，可利用点差法求解．
【解】　(1)由题意，得解得
∴b2＝c2－a2＝2－＝，
∴双曲线C的方程为－＝1.
(2)由得3x2－6mx－3m2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2m，又中点P在直线x－y＋m＝0上，
∴中点P坐标为(m,2m)，代入x2＋y2＝5得，m＝±1，满足判别式Δ>0.
∴m的值为±1.
【变式训练9-1】双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.
(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值．若不存在，则说明理由．
【解】(1)设中点M的坐标为(x，y)，(x≥2)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
双曲线x2－y2＝2的焦点F的坐标为(2,0)．
∴kAB＝，又∴x－x＝y－y，
∴(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
∴ky＝x.
∴y＝x，∴y2＝x2－2x，(x≠2)．
当x＝2时，AB与x轴垂直，
∴AB的中点M的轨迹方程为x2－2x－y2＝0，(x≥2)．
(2)假设存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：y＝k(x－2)，
由已知得OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，(*)
由得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝(k2≠1)代入(*)式，化简得k2＋1＝0无解．
所以这样的圆不存在．
名师导练
3.2.1 双曲线及其标准方程
A组-[应知应会]
1．双曲线－＝1的焦距为10，则实数m的值为(　　)
A．4 B．16
C．－16 D．81
【解析】由2c＝10，得c＝5，∴9＋m＝25，∴m＝16.
【答案】B
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B． C. D．
【解析】双曲线方程x2－2y2＝1的标准方程为x2－＝1，∴c2＝1＋＝，∴c＝，∴右焦点的坐标为.
【答案】C
3．若M在双曲线－＝1上，双曲线的两个焦点分别为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF1|的值为(　　)
A．4 B．8 C．12 D．24
【解析】根据双曲线的定义，可知|MF1|－|MF2|＝2|MF2|＝2a＝8，∴|MF2|＝4，∴|MF1|＝3|MF2|＝12.
【答案】C
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为(　　)
A. B． C. D．
【解析】设P(x，y)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n；
则|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.
在△F1PF2中，|F1F2|＝2，由余弦定理，得(2)2＝m2＋n2－2mncos 60°，即8＝(m－n)2＋mn，
∴mn＝4.
由△F1PF2的面积公式，得
×2×|y|＝mnsin 60°，
∴|y|＝.
【答案】B
5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x<－1)
C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)
【解析】设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|＝b，∴点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.故点P的轨迹方程是x2－＝1(x>1)．
【答案】A
6．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A. B． C. D．2
【解析】由题意，可得点P的轨迹为焦点在x轴的双曲线的右支c＝，a＝1，∴b＝＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
把y＝代入x2－y2＝1，得x＝－.
∴点P的坐标为，
∴点P到原点的距离为 ＝.
【答案】A
7．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
【解析】由双曲线方程可知a＝8，c＝＝10，
∴|PF2|＝|PF1|－2a＝1＜c－a，不符合题意，
|PF2|＝|PF1|＋2a＝17＋16＝33.
【答案】33
8．中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x－4y＋24＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．
【解析】由题意中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x－4y＋24＝0与坐标轴的交点，令x＝0，解得y＝6，故得到c＝6,2a2＝36，∴a2＝18，∴所求等轴双曲线方程是y2－x2＝18.
【答案】y2－x2＝18
9．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．
【解析】由|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4知P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，所以2a＝3,2c＝4，所以a＝，c＝2，所以|PA|min＝a＋c＝.
【答案】
10．(马鞍山测试)已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sin B－sin A＝sin C.
(1)求|AB|；
(2)求顶点C的轨迹方程．
【解】(1)∵椭圆x2＋5y2＝5化为标准方程为＋y2＝1.
可得a2＝5，b2＝1，c2＝4.
即可得A(－2,0)，B(2,0)，∴|AB|＝4.
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
由正弦定理可得，|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x≥1)．
11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
【解】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由题设，知a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以解得a2＝20，b2＝16.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))．
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
12．已知椭圆＋＝1与双曲线－x2＝1有公共点P，求P与双曲线的两个焦点的连线构成的三角形的面积．
【解】由已知，得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0，－4)，又由椭圆与双曲线的定义可得

所以|PF1|＝5＋，|PF2|＝5－，
在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝
＝，
∴sin ∠F1PF2＝，
因此△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×(5＋)×(5－)×＝3.
B组-[素养提升]
(广州模拟)若椭圆＋＝1与双曲线－＝1(m，n，p，q均为正数)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．p2－m2 B．p－m
C．m－p D．m2－p2
【解析】由题意，可知m>n，由椭圆及双曲线的定义有|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝±2，两式分别平方相减，可得|PF1|·|PF2|＝m－p.
【答案】C
3.2.2 双曲线的简单几何性质
A组-[应知应会]
1．(大庆市模拟)已知双曲线－＝1，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．9x±4y＝0 B．4x±9y＝0
C．3x±2y＝0 D．2x±3y＝0
【解析】令－＝0，得4x2＝9y2，∴2x＝±3y，
∴渐近线方程为2x±3y＝0.
【答案】D
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝3.
∴＝，∴渐近线方程为y＝±x.
【答案】A
3．(淮北市第一中学月考)F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B． C. D．
【解析】设等边三角形边长|BF2|＝m，且设|AF1|＝x，根据双曲线的定义有m＋x－m＝m－x＝2a，解得m＝4a，x＝2a.在△BF1F2中，由余弦定理，得(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2·6a·4a·cos，化简得4c2＝28a2，即e＝.
【答案】D
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
【解析】由已知，得解得a＝3，b＝4.∴双曲线方程为－＝1.
【答案】A
5．点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|分别为m－d，m，m＋d，(d＞0)，
由题意，得
解得m＝4d＝8a,2c＝5d，∴e＝＝＝5.
【答案】D
6．设F1，F2分别是双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足·<0，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．1＋1
C．1
【解析】由双曲线的对称性可知，△ABF2是等腰三角形，且∠AF2B是钝角，所以<∠AF2F1＝∠AF2B<，所以tan ∠AF2F1>1，即>1.又|AF1|＝，所以>1，即c2－a2>2ac，化简得e2－2e－1>0，解得e>＋1或e＜1－(舍去)．
【答案】B
7．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
【解析】由已知，得e＝＝，∴c＝a.
又c2＝a2＋4，∴a2＝a2＋4，∴a2＝16.
又a>0，∴a＝4.
【答案】4
8．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(，0)，则a＝________，b＝________.
【解析】∵－＝1的渐近线方程为y＝±x，又－＝1的渐近线方程为y＝±2x，∴＝2，即b＝2a.又C1的右焦点F( ，0)，∴a2＋b2＝5a2＝5，∴a2＝1，a＝1，∴b＝2.
【答案】1　2
9．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(4,1)，且与y2－＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为______________．
【解析】由题意，得解得
∴双曲线C的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.
【答案】－＝1　y＝±x
10．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64共焦点；
(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且经过点(－3，2)．
【解】(1)解法一：椭圆方程可化为＋＝1，易得焦点是(±4，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x，则＝.代入a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则另一条渐近线为x＋y＝0.已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2－3y2＝λ(λ＞0)，即－＝1.由椭圆方程＋＝1，知c2＝a2－b2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，则λ＋＝48，所以λ＝36.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入双曲线方程，得－＝λ，解得λ＝.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
11．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求双曲线的离心率；
(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两渐近线的夹角．
【解】(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，
∴＝或＝.又e＝＝ ，
∴当＝时，e＝；当＝时，e＝.
(2)∵e＝＝，∴＝，∴a＝b，
∴双曲线渐近线方程为y＝±x，
∴双曲线的两条渐近线的夹角为90°.
12．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．
【解】由直线l过(a,0)，(0，b)两点，得l的方程为bx＋ay－ab＝0，由原点到l的距离为c，得＝c，将b＝代入32－16·＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0，∴e＝或e＝2.
∵b>a>0，∴e＝＝＝>，
∴e＝应舍去，故所求离心率为2.

B组-[素养提升]
(全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．
C．2 D．
【解析】以OF为直径的圆x－2＋y2＝，减去x2＋y2＝a2得，－cx＝－a2，即x＝为两圆公共弦方程，弦长为c，半弦长，O到x＝的距离为，半径为a，三者满足勾股定理，∴＋＝a2，化简得，c4＋4a4－4a2c2＝0，解得c2＝2a2，∴e＝.
【答案】A

3.2.3 直线与双曲线的位置关系
A组-[应知应会]
1．(哈尔滨三中二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线经过圆E：x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．
C．2 D．
【解析】圆E：x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为E(1，－2)，
双曲线C：－＝1的渐近线为y＝±x，
由题意，得＝2，∴离心率e＝＝＝＝.
【答案】A
2．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)
A．1条　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
【解析】∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4；当直线与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝±2，∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．综上，有三条直线满足|AB|＝4.
【答案】C
3．(龙岩一中月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【解析】根据题意得到A(－a,0)，B(a,0)，设点P为(x，y)，根据题意得到3＝，则－＝1，从而渐近线方程为－＝0，化简为y＝±x.
【答案】C
4．若圆(x－)2＋(y－1)2＝3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B．
C．2 D．
【解析】因为圆(x－)2＋(y－1)2＝3的圆心为(，1)，半径为，由图(图略)得该圆与渐近线y＝－x相切，所以d＝＝，所以b＝a，即＝.又因为e2＝1＋＝，所以e＝.
【答案】A
5．若斜率存在且过点P的直线l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于(　　)
A．2　　　 B．4
C．1或2　　　 D．2或4
【解析】因为直线斜率存在，则过P与左顶点的直线必与y＝－x平行，所以有＝，解得a＝2.所以实轴长为4.
【答案】B
6．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　)
A. B．
C. D．与P点位置有关
【解析】由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，
∴kPA·kPB＝·＝＝＝＝.
【答案】A
7．已知直线l：y＝kx与双曲线4x2－y2＝16，若直线l与双曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
【解析】由得(4－k2)x2－16＝0，
由题意，得当4－k2＞0，即－2＜k＜2时直线与双曲线有两个公共点．
【答案】(－2,2)
8．(北京西城区二模)双曲线C：－＝1的焦距是________；若圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)与双曲线C的渐近线相切，则r＝________.
【解析】由双曲线C：－＝1，知c2＝9＋16＝25，∴c＝5，∴2c＝10.双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0.因为圆与3x－4y＝0相切，所以＝r，所以r＝.
【答案】10　
9．(吉林实验中学期中)已知直线y＝x－2与双曲线－＝1的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使＋＝t，则t的值________．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，由＋＝t，得x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
由直线y＝x－2与双曲线－＝1方程联立，可得x2－16x＋84＝0，
∴x1＋x2＝16，∴y1＋y2＝×16－4＝12，
∴解得x0＝4，y0＝3，∴t＝4.
【答案】4
10．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
【解】(1)∵双曲线－＝1的右焦点为(2,0)，
∴c＝2，a＝，∴b2＝c2－a2＝4－3＝1.
∴双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由(1)，得a＝，b＝1，∴双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，令x＝－2，得y＝±.
设直线x＝－2与渐近线y＝±x的交点为A，B，则
|AB|＝.
∴直线x＝－2与渐近线y＝±x围成的三角形面积为S＝××2＝.
11．(平顶山期末调研)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，右焦点坐标为(2,0)，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>0，试求实数k的取值范围．
【解】(1)由题意，＝，即a＝b，又c＝2，∴c2＝4＝3b2＋b2＝4b2，∴b2＝1，a2＝3，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)∵直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点，∴方程组恒有两组不同的实数解，
∴方程(1－3k)2x2－6kx－9＝0有两个不同实根，
∴∴k2<1且k2≠，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∵·>0，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2>0，
∴(1＋k2)·－＋k·＋2＝>0，可得k2>，
∵k2<1，∴k的取值范围是（－1，－）∪（，1）.
12．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段|AB|的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
【解】由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.由题意得3－a2≠0.
设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝
＝
＝
＝.
(2)由题意，知OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.
即当a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．

B组-[素养提升]
(全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则双曲线C的离心率为________．
【解析】如图，

由题意，可设B(x0＞0)，∵F1(－c,0)，F2(c,0)，∴＝，＝.∵·＝0，∴(x0－c)(x0＋c)＋x＝0，∴(a2＋b2)x＝c2a2，即c2x＝c2a2，∴x＝a2，即x0＝a，∴B(a，b)．又∵＝，∴A为F1B的中点，∴A.又∵A在渐近线y＝－x上，∴＝－·，∴2a＝c，即e＝＝2.
【答案】2