2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第12讲 抛物线

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第12讲 抛物线
新课标要求
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
2.了解抛物线的简单应用。

知识梳理
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程

y2＝2px
(p＞0)
F
x＝－

y2＝－2px
(p＞0)
F
x＝

x2＝2py
F
y＝－

x2＝－2py(p＞0)
F
y＝
3.抛物线的简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图象





性质
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
焦点




准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
4.直线与抛物线y2＝2px的位置关系及判定
位置关系
公共点
判定方法
相交
1个或2个
公共点
k＝0或

联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ
相切
一个公
共点
Δ＝0
相离
无公共点
Δ＜0

名师导学
知识点1 求抛物线的标准方程
【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)准线方程为x＝－1；
(2)焦点为直线3x－2y－6＝0与坐标轴的交点；
(3)经过点(－3，－1)．


【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)准线方程为y＝－2；
(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；
(3)过点(1，－2)．

知识点2 根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程
【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程．
(1)y2＝－4x；
(2)y＝4x2；
(3)3x2＋2y＝0；
(4)y2＝ax(a＞0)．





【变式训练2-1】(1)已知抛物线x2＝ay的准线方程是y＝－，则a＝________.
(2)(全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8

知识点3 抛物线定义的应用
【例3-1】(1)若动点P到定点F(1,1)的距离与它到定直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
(2)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1 C. D．
(3)(晋中市期末)已知直线l1：3x－4y－6＝0，直线l2：y＝－2，抛物线x2＝4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．
【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点F，且与直线x＝－相切，其中p>0，求动圆圆心的轨迹方程；
(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，
在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
知识点4 抛物线的简单几何性质
【例4-1】设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．8
C. D．
【变式训练4-1】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．8
【变式训练4-2】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．



知识点5 抛物线的焦点弦的性质及应用
【例5-1】已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p；
(2)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(4)＋为定值.




【变式训练5-1】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

知识点6 直线与抛物线的位置关系的判断
【例6-1】已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)．当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？





【变式训练6-1】如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程．




知识点7 弦长、中点弦问题
【例7-1】过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，且该弦恰被Q平分，求AB所在的直线方程及|AB|.




【变式训练7-1】(台州市月考)过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝m，则m＝(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
知识点8 抛物线中的定点、最值问题
【例8-1】如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)证明：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．





【变式训练8-1】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(2，n)(n>0)在抛物线C上，|PF|＝3，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；
(2)求·的最大值．




名师导练
3.3.1 抛物线及其标准方程
A组-[应知应会]
1．到定点F(1，－1)的距离与到直线3x－2y－5＝0的距离相等的点P的轨迹是(　　)
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．直线
2．已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝8 B．x＝－8
C．x＝4 D．x＝－4
3．(杭州模拟)已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A.　　　 B．4 C.　　　 D．5
4．若椭圆＋＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为(　　)
A．3　　　 B． C.　　　 D．6
5．(牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是(　　)
A．y2＝－x B．y2＝2x
C．2x2＝y D．x2＝－4y
6．(运城期末)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A(－2,1)的距离之和最小，则点P的坐标为(　　)
A. B．
C．(－2，－2) D．(－2,2)
7．在抛物线y2＝－2px(p>0)中，p的几何意义是 ____________________________________________
8．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的焦点，则p＝________.
9．(南阳市一中开学考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则的最大值为________．
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．





11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试判断|FP1|，|FP2|，|FP3|是否成等差数列．






12．(南阳一中检测)已知定点A(1,0)，定直线l：x＝－2，动点P到点A的距离比点P到l的距离小1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·<0，求直线l的斜率的取值范围．


B组-[素养提升]
(北京十二中期中)设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3.3.2 抛物线的简单几何性质
A组-[应知应会]
1．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程为(　　)
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
2．若抛物线y2＝x上一点M到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M的坐标为(　　)
A. B．
C. D．
3．(福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点A(k，－2)与点F的距离为4，则k的值为(　　)
A．4 B．4或－4
C．－2 D．－2或2
4．(保定模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题为(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
5．(郑州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|＝(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
6．(马鞍山市阶段测试)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若＝4，则直线l的斜率为(　　)
A．± B．±
C．± D．±
7．(凯里市期末)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则此抛物线的方程为________．
8．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则椭圆的离心率是________．

9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________．
10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．



11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．



12．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(0，－2)的距离比它到x轴的距离大2，记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)若直线y＝2x＋b与轨迹C恰有2个公共点，求实数b的取值范围．



B组-[素养提升]
(全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.




3.3.3 直线与抛物线的位置关系
A组-[应知应会]
1．抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
4．(郑州市期中)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，以为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝(　　)
A．16 B．4
C. D．
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．x＝－2
6．(绵阳模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(　　)
A．(0，±2) B．(0,2)
C．(0，±4) D．(0,4)
7．直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2＝2x上，且斜边AB和y轴平行，则直角△ABC斜边上的高的长度为________．
8．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的弦的中点坐标为________．
9．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的离心率为________．
10．(平顶山调研)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，求k的值．






11．求过定点P(－1,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程．




12．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.


B组-[素养提升]
(北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．