2023年四川省成都市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年四川省成都市中考数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1. 在3，-7，0，19四个数中，最大的数是(    )
A. 3 B. -7 C. 0 D. 19
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为(    )
A. 3×108 B. 3×109 C. 3×1010 D. 3×1011
3. 下列计算正确的是(    )
A. (-3x)2=-9x2 B. 7x+5x=12x2
C. (x-3)2=x2-6x+9 D. (x-2y)(x+2y)=x2+4y2
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局.如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是(    )
A. 26 B. 27 C. 33 D. 34
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(    )


A. AC=BD B. OA=OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC=∠BCD
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是(    )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为(    )
A. 12(x+4.5)=x-1 B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x-4.5 D. 12(x-1)=x+4.5
8. 如图，二次函数y=ax2+x-6的图象与x轴交于A(-3,0)，B两点，下列说法正确的是(    )
A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 抛物线的顶点坐标为(-12,-6)
C. A，B两点之间的距离为5
D. 当x<-1时，y的值随x值的增大而增大


二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 因式分解：m2-3m= ______ ．
10. 若点A(-3,y1)，B(-1,y2)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1 ______ y2(填“>”或“<”)．
11. 如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为______ ．

12. 在平面直角坐标系xOy中，点P(5,-1)关于y轴对称的点的坐标是______ ．
13. 如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M'；
③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'；
④过点N'作射线DN'交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则BECE的值为______ ．

14. 若3ab-3b2-2=0，则代数式(1-2ab-b2a2)÷a-ba2b的值为______ ．
15. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有______ 个.


16. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳______ 名观众同时观看演出.(π取3.14， 3取1.73)
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE//BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE=73，则tanA= ______ ．


18. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m-n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52-32，16就是一个智慧优数，可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是______ ；第23个智慧优数是______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. (1)计算： 4+2sin45°-(π-3)0+| 2-2|．
(2)解不等式组：2(x+2)-x≤5①4x+13>x-1②．
20. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴.成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有______ 人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29)


22. 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE//AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE．
(1)求证：AC=BC；
(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长．

23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图
象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

24. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．


26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF= 22AB，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)．
【拓展运用】
(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB=2 2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵-7<0<19<3，
∴最大的数是3，
故选：A．
运用有理数大小比较的知识进行求解．
此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．

2.【答案】D 
【解析】解：3000亿=3000×108=3×1011，
故选：D．
运用科学记数法进行变形、求解．
此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．

3.【答案】C 
【解析】解：∵(-3x)2=9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵7x+5x=12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵(x-3)2=x2-6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵(x-2y)(x+2y)=x2-4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行主要判断即可得出结论．
本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：把这些数从小到大排列为：26，27，33，34，40，
则这组数据的中位数是33．
故选：C．
根据中位数的定义即可得出答案．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．

5.【答案】B 
【解析】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；
B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；
D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；
故选：B．
利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵卡片共6张，其中水果类卡片有2张，
∴恰好抽中水果类卡片的概率是26=13．
故选：B．
根据概率公式直接计算即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7.【答案】A 
【解析】解：设木长x尺，根据题意可得：
12(x+4.5)=x-1，
故选：A．
设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：A、把A(-3,0)代入y=ax2+x-6得，
0=9a-3-6，
解得a=1，
∴y=x2+x-6，
对称轴直线为：x=-b2a=-12，故A错误；
令y=0，
0=x2+x-6，
解得x1=-3，x2=2，
∴AB=2-(-3)=5，
∴A，B两点之间的距离为5，故C正确；
当x=-12时，y=14-12+6=234，故B错误；
由图象可知当x>-12时，y的值随x值的增大而增大，故D错误．
故选：C．
A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答．
本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键．

9.【答案】m(m-3) 
【解析】解：m2-3m=m(m-3)．
故答案为：m(m-3)．
直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

10.【答案】> 
【解析】解：∵y=6x中k=6>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵-3<-1<0，
∴y1>y2．
故答案为：>．
根据反比例函数的性质得出答案即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键，反比例函数y=kx，①当k>0时，y随x的增大而减小，②当k<0时，y随x的增大而增大．

11.【答案】3 
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
又BC=8，
∴EF=8，
∵EC=5，
∵CF=EF-EC=8-5=3．
故答案为：3．
根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．

12.【答案】(-5,-1) 
【解析】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P(5,-1)关于y轴对称的点的坐标是(-5,-1)．
故答案为：(-5,-1)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．

13.【答案】23 
【解析】解：由作图知，∠A=∠BDE，
∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积=(△BDE的面积+四边形ACED的面积)：△BDE的面积=1+四边形ACED的面积：△BDE的面积=1+214=254，
∴△BDC的面积：△BAC的面积=(BEBC)2=425，
∴BEBC=25，
∴BECE=23．
故答案为：23．
由作图知∠A=∠BDE，由平行线的性质得到DE//AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查作图-复杂作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

14.【答案】解：(1)原式=2+2× 22-1+2- 2
=2+ 2-1+2- 2
=3；
(2)2(x+2)-x≤5①4x+13>x-1②，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>-4，
所以原不等式组的解集为-4 【解析】(1)分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
(2)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．

15.【答案】300 
【解析】解：(1)本次调查的师生共有：60÷20%=300(人)，
“文明宣传”的人数为：300-60-120-30=90(人)，
补全条形统计图如下：

故答案为：300；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°×120300=144°；
(3)1500×80%×90300=360(名)，
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．
(1)根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
(2)用360°乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

16.【答案】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：

在Rt△ABT中，
BT=AB⋅sin∠BAT=5×sin16°≈1.4(米)，AT=AB⋅cos∠BAT=5×cos16°≈4.8(米)，
∵∠ATC=∠C=∠CKA=90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK=AT=4.8米，AK=CT=BC-BT=4-1.4=2.6(米)，
在Rt△AKD中，
∵∠ADK=45°，
∴DK=AK=2.6米，
∴CD=CK-DK=4.8-2.6=2.2(米)，
∴阴影CD的长约为2.2米． 
【解析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT=AB⋅sin∠BAT=1.4(米)，AT=AB⋅cos∠BAT≈4.8(米)，可得CK=AT=4.8米，AK=CT=BC-BT=4-1.4=2.6(米)，而∠ADK=45°，知DK=AK=2.6米，故CD=CK-DK=4.8-2.6=2.2米．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．

17.【答案】(1)证明：∵∠ADE=∠ACE，∠ADE=∠B，
∴∠B=∠ACE，
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC；

(2)解：如图，连接AE，

∵∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴tanB=ADBD=2，
∴AD=2BD，
∵CD=3，
∴AC=BC=BD+CD=BD+3，
∵AD2+CD2=AC2，
∴(2BD)2+32=(BD+3)2，
解得：BD=2或BD=0(舍去)，
∴AD=2BD=4，AB= AD2+BD2= 42+22=2 5，BC=2+3=5，
∵ADAB=DEBC，
∴42 5=DE5，
∴DE=2 5． 
【解析】(1)结合已知条件，根据同弧所对的圆周角相等易证得∠ADE=∠ACE=∠BAC=∠B，再由等边对等角即可证得结论；
(2)连接AE，易证得△ABC∽△ADE，根据已知条件，利用直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=∠ADC=90°，根据三角函数值可得AD=2BD，再结合，CD=3，AC=3+BD，利用勾股定理列得方程，求得CD的长度，从而得出AD，BC，AB的长度，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，(2)中利用三角函数值可得AD=2BD，再根据勾股定理列得方程是解题的关键．

18.【答案】解：(1)令x=0，则y=-x+5=5，
∴点A的坐标为(0,5)，
将B(a,4)代入y=-x+5得，4=-a+5，
∴a=1，
∴B(1,4)，
将B(1,4)代入y=kx得，4=k1，
解得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
(2)设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，

令y=-x+5=0得，x=5，
∴N(5,0)，
∴OA=ON=5，
∵∠AON=90°，
∴∠OAN=45°，
∵A(0,5)，B(1,4)，
∴AB= (1-0)2+(4-5)2= 2，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM=90°，∠OAN=45°，
∴AB=BM= 2,AM= AB2+BM2=2，
∴M(0,3)，
设直线l的解析式为y=k1x+b1，
将M(0,3)，B(1,4)代入y=k1x+b1得，k1+b1=4b1=3，
解得k1=4b1=3，
∴直线l的解析式为y=4x+3，
设点C的坐标为(t,t+3)，
∵S△ABC=12AM⋅|xB-xC|=12×2×|1-t|=5，
解得t=-4或t=6，
当t=-4时，t+3=-1，
当t=6时，t+3=9，
∴点C的坐标为(6,9)或(-4,-1)；
(3)∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组y=4xy=x+3，
解得，x=1y=4或x=-4y=-1，
∴E(-4,-1)，
画出图形如图所示，

∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=-(-4)+b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组y=4xy=-x-5得，x=-1y=-4或x=-4y=-1，
∴D(-1,-4)，
则直线AD的解析式为y=9x+5，
解方程组y=9x+5y=x+3得，x=-14y=114，
∴P(-14,114)，
∴BP= (-14-1)2+(114-4)2=54 2，
EP= [-14-(-4)]2+[114-(-1)]2=154 2，
∴m=EPBP=3． 
【解析】(1)解方程得到点A的坐标为(0,5)，将B(a,4)代入y=-x+5得，4=-a+5，求得B(1,4)，将B(1,4)代入y=kx得，求得反比例函数的表达式为y=4x；
(2)设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，解方程得到N(S,0)，求得OA=ON=5，根据两点间的距离的结论公式得到AB= (1-0)2+(4-5)2= 2，求得M(0,3)，待定系数法求得直线l的解析式为y=4x+3，设点C的坐标为(t,t+3)，根据三角形的面积公式列方程得到t=-4或t=6，求得点C的坐标为(6,9)或(-4,-1)；
(3)解方程组求得E(-4,-1)，根据相似三角形的性质得到∠PAB=∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB//DE，求得直线DE的解析式为y=-x-5，解方程组得到D(-1,-4)，则直线AD的解析式为y=9x+5，于是得到P(-14,114)，根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．

19.【答案】23 
【解析】解：(1-2ab-b2a2)÷a-ba2b
=a2-(2ab-b2)a2⋅a2ba-b
=(a-b)2a2⋅a2ba-b
=b(a-b)
=ab-b2，
∵3ab-3b2-2=0，
∴3ab-3b2=2，
∴ab-b2=23，
当ab-b2=23时，原式=23．
故答案为：23．
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．

20.【答案】6 
【解析】解：根据俯视图发现最底层有4个小立方块，从主视图发现第二层最多有2个小立方块，
故最多有4+2=6(个)小立方块．
故答案为：6．
根据正面看与上面看的图形，得到搭成这个几何体底层4个，上面1层最多2个小正方体．
本题考查的是三视图知识，以及由三视图判断几何体，利用三视图判断得出几何体形状是解题关键．

21.【答案】183 
【解析】解：过O作OD⊥AB，D为垂足，

∴AD=BD，OD=5m，
∵cos∠AOD=ODOA=510=12，
∴∠AOD=60°，AD= 3OD=5 3m，
∴∠AOB=120°，AB=10 3m，
∴S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB=120π×102360-12×10 3×5=1003π-25 3≈61(m2)，
∴61×3=183(人)．
∴观看马戏的观众人数约为183人．
故答案为：183人．
过O作OD⊥AB，D为垂足，可得到∠AOD=60°，所以∠AOB=120°，再求出S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB=120π×102360-12×10 3×5=1003π-25 3≈61(m2)，然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为183人．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．

22.【答案】3 77 
【解析】解：过点G作GM⊥DE于M，如图，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE//BC，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴ED=EC，
∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
又∵∠DGE=∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴DGCG=GEDG，
∴DG2=GE×GC，
∵∠ABC=90°，DE//BC，
∴AD⊥DE，
∴AD//GM，
∴AGGE=DMEM，∠MGE=∠A，
∵AGGE=73，
∴DMEM=73，
设GE=3k，EM=3n，则AG=7k，DM=7n，
∴EC=DE=10n，
∴DG2=GE×GC=3k×(3k+10n)=9k2+30kn，
在Rt△DGM中，GM2=DG2-DM2，
在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2，
∴DG2-DM2=GE2-EM2，
即9k2+30kn-(7n)2=(3k)2-(3n)2，
解得：n=34k，
∴EM=94k，
∵GE=3k，
∴GM= GE2-EM2= (3k)2-(94k)2=3 74k，
∴tanA=tan∠EGM=EMGM=94k3 74k=3 77．
故答案为：3 77．
过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2=GE×GC，根据AD//GM，得AGEG=DMEM=73，设GE=3k，AG=7k，EM=3n，DM=7n，则EC=DE=10n，在Rt△DGM中，GM2=DG2-DM2，在Rt△GME中GM2=GE2-EM2，则DG2-DM2=GE2-EM2，解方程求得n=34k，则EM=94k，GE=3k，用勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解．
本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

23.【答案】15  57 
【解析】解：根据题意，且m-n>1，当m=3，n=1，则第1个智慧优数为：32-12=8，
当m=4，n=2，则第2个智慧优数为：42-22=12，
当m=4，n=1，则第3个智慧优数为：42-12=15．
正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．
当m=5，n=3，则第3个智慧优数为：52-32=16，
当m=5，n=2，则第3个智慧优数为：52-22=21，
当m=5，n=1，则第3个智慧优数为：52-12=24，
以此类推，
当m=6时，有4个智慧优数，
同理m=7时有5个，m=8时，有6个，
1+2+3+4+5+6=21，
又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的
第22个智慧优数，当m=9时，n=5，第22个智慧优数为：92-52=81-25=56，
第23个智慧优数，当m=11时，n=8，第23个智慧优数为：112-82=121-64=57，
故答案为：15，57．
根据新定义m2-n2，可以分别列出m2和n2的值，进而即可求解．
本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．

24.【答案】(1)设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：
x+y=685x+3y=280，
解得：x=38y=30，
∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
(2)设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为(36-m)元/千克，总费用为w元，由题意得：
w=38m+30(36-m)=8m+1080，
∵m≥2(36-m)，
∴24≤m≤36，
∵k=8>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=24时，w有最小值为：8×24+1080=1272(元)，
∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元． 
【解析】(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程；
(2)设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为(36-m)元/千克，总费用为w元，由题意得：w=38m+30(36-m)=8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题．
本题主要考查二元一次方程组、一次函数的性质、不等式在实际生活当中的运用，考查学生的理解能力与列式能力．

25.【答案】解：(1)将P(4,-3)、A(0,1)代入y=ax2+c，
∴16a+1=-3，
解得a=-14，
∴y=-14x2+1；
(2)设B(x,y)，
∵P(4,-3)，A(0,1)，
∴AB= x2+(y-1)2，AP=4 2，BP= (x-4)2+(y+3)2，
当AB=AP时，4 2= x2+(y-1)2，
∵y=-14x2+1，
∴x=4或x=-4，
∴B(-4,-3)；
当AB=BP时， x2+(y-1)2= (x-4)2+(y+3)2，
解得x=-2+2 5或x=-2-2 5，
∴B(-2+2 5,-5+2 5)或(-2-2 5,-5-2 5)；
综上所述：B点坐标为(-4,-3)或(-2+2 5,-5+2 5)或(-2-2 5,-5-2 5)；
(3)存在常数m，使得OD⊥OE始终成立，理由如下：
设B(t,kt)，C(s,ks)，
联立方程y=kxy=-14x2+1，
整理得x2+4kx-4=0，
∴t+s=-4k，ts=-4，
直线AB的解析式为y=kt-1tx+1，直线AC的解析式为y=ks-1sx+1，
∴D((m-1)tkt-1,m)，E((m-1)sks-1,m)，
过D点作DG⊥x轴交于G点，过点E作EK⊥x轴交于K点，
∵∠DOE=90°，
∴∠DOG+∠EOK=90°，
∵∠DOG+∠ODG=90°，
∴∠EOK=∠ODG，
∴△DOG∽△OEK，
∴DGOK=OGEK，
∴m2=-(m-1)2ts(kt-1)(ks-1)，
∴m2=4(m-1)2，
解得m=2或m=23． 
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设B(x,y)，则AB= x2+(y-1)2，AP=4 2，BP= (x-4)2+(y+3)2，分两种情况讨论：当AB=AP时，B(-4,-3)；当AB=BP时，B(-2+2 5,-5+2 5)或(-2-2 5,-5-2 5)；
(3)设B(t,kt)，C(s,ks)，联立方程y=kxy=-14x2+1整理得x2+4kx-4=0，根据根与系数的关系可知t+s=-4k，ts=-4，直线AB的解析式为y=kt-1tx+1，直线AC的解析式为y=ks-1sx+1，求出D((m-1)tkt-1,m)，E((m-1)sks-1,m)，过D点作DG⊥x轴交于G点，过点E作EK⊥x轴交于K点，则△DOG∽△OEK，再由DGOK=OGEK，结合根与系数的关系整理得方程m2=4(m-1)2，解得m=2或m=23．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：连接CD，

∵∠C=90°，AC=BC，AD=DB，
∴AB= 2AC，∠A=∠B=∠ACD=45°，AD=CD=BD，CD⊥AB，
∵ED⊥FD，
∴∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，
∴CE=BF，
∴AE+BF=AE+CE=AC= 22AB；
(2)①AE+12BF= 23AB，理由如下：
过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN=DN，DH=BH，AD= 2AN，BD= 2BH，∠A=∠B=45°=∠ADN=∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴ADDB=ANDH=12，
设AN=DN=x，BH=DH=2x，
∴AD= 2x，BD=2 2x，
∴AB=3 2x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH=90°=∠EDF，
∴∠EDN=∠FDH，
又∵∠END=∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴ENFH=DNDH=12，
∴FH=2NE，
∴AE+12BF=x+NE+12(2x-FH)=2x= 23AB；
②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN=DN，DH=BH，AD= 2AN，BD= 2BH，∠A=∠B=45°=∠ADN=∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴ADDB=ANDH=1n，
设AN=DN=x，BH=DH=nx，
∴AD= 2x，BD= 2nx，
∴AB= 2(n+1)x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH=90°=∠EDF，
∴∠EDN=∠FDH，
又∵∠END=∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴ENFH=DNDH=1n，
∴FH=nNE，
∴AE+1nBF=x+NE+1n(nx-FH)=2x= 2n+1AB；
当点F在CB的延长线上时，如图5，

∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN=DN，DH=BH，AD= 2AN，BD= 2BH，∠A=∠B=45°=∠ADN=∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴ADDB=ANDH=1n，
设AN=DN=x，BH=DH=nx，
∴AD= 2x，BD= 2nx，
∴AB= 2(n+1)x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH=90°=∠EDF，
∴∠EDN=∠FDH，
又∵∠END=∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴ENFH=DNDH=1n，
∴FH=nNE，
∴AE-1nBF=x+NE-1n(FH-nx)=2x= 2n+1AB；
综上所述：当点F在射线BC上时，AE+1nBF= 2n+1AB，当点F在CB延长线上时，AE-1nBF= 2n+1AB；
(3)如图，连接CD，CM，DM，

∵EF的中点为M，∠ACB=∠EDF=90°，
∴CM=DM=12EF，
∴点M在线段CD的垂直平分线上运动，
如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上，
当点E'与点C重合时，点F″在CB的延长线上，
过点M'作M'H⊥F'C于R，

∴M'R//AC，
∴M'RAC=M'F'AF'=12=F'RF'C，
∴M'R=1，F'R=CR，
设AN=DN=x，BH=DH=nx，
∴AD= 2x，BD= 2nx，
∴AB= 2(n+1)x=2 2，
∴x=21+n，
∵F'D=BD= 2nx，
∴F'B=2nx，
∴CF'=2nx-2，
∴CR=nx-1=2n1+n-1=n-11+n，
由(2)可得：CD= DN2+NE2=x⋅ 1+n2，DF″=nDE″=nx⋅ 1+n2，
∴CF″=(1+n2)x，
∴CM″=(1+n2)x2=(1+n2)⋅21+n2=1+n21+n，
∴RM″=n，
∴M″M'= 1+n2，
∴点M运动的路径长为 1+n2． 
【解析】(1)由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得CE=BF，即可求解；
(2)①先证△ADN和△BDH是等腰直角三角形，可得AN=DN，DH=BH，AD= 2AN，BD= 2BH，可求AD= 2x，BD=2 2x，通过证明△EDN∽△FDH，可求FH=2NE，即可求解；
②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
(3)由题意可得点M在线段CD的垂直平分线上运动，由相似三角形的性质可求M'R=1，由勾股定理和相似三角形的性质可求RM″=n，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．