2023年四川省广元市苍溪县中考数学二模试卷（含解析）

2023年四川省广元市苍溪县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，是由个大小相同的小正方体摆成的几何体．将正方体移走后，所得的几何体(    )

A. 左视图不变，主视图改变 B. 俯视图不变，主视图改变
C. 俯视图和主视图都不改变 D. 左视图和主视图都不改变

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  年政府工作报告提出，“义务教育优质均衡发展”根据预算报告，支持学前教育发展资金安排亿元、增加亿元，扩大普惠性教育资源供给其中亿元用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

6.  已知个正数，，，，的平均数是，且，则数据：，，，，，的平均数和中位数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图，已知的两条弦，相交于点，，，连接，若为中点，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  孙子算经是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在由个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  二次函数的图象如图所示，其与轴交于点、点，下列个结论：；；有两个不相等的实数根；其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  在一个不透明的袋子里有个红球，个白球和若干个黑球小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到黑球的频率，并绘制了如图折线图则袋子中黑球的个数是______ ．

13.  如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点、，作直线交点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，此时射线恰好经过点，则______度．

14.  方程和有一个公共根，则的值是______ ．

15.  如图，在菱形中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为，的面积为把看作的函数，函数的图象如图所示，则图中的等于______．

 

16.  如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简：，再在里选一个你喜欢的整数代入求值．

19.  本小题分
如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．
求证：四边形是矩形；
若，且，求四边形的面积．
 

20.  本小题分
年春节“流浪地球”在全国各大影院进行热播为了激发学生的研究兴趣，某校举行了科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生获奖情况进行统计，分为如下组满分分，组：优秀奖，组：三等奖，组：二等奖，组：一等奖，组：特等奖，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：

本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩；补全学生成绩频数分布直方图；
学校共有名学生，估计该校荣获一等奖及特等奖的学生共有多少人？
学校将从获得满分的名同学其中有两名男生，三名女生中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

21.  本小题分
如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图所示的是其侧面示意图，其中为镜面，为放置物品的收纳架，，为等长的支架，为水平地面，已知，，结果精确到参考数据：，，，，

求支架顶点到地面的距离；
如图，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点到地面的距离．

22.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，，求当最小时点的坐标；

23.  本小题分
兴宁县有一间名为“韩国料理”的餐饮店，味美价廉，该店以“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”出名，每天吸引附近很多学生慕名而来现已知“肥牛鸡排双拼饭”单价比“鳕鱼肥牛双拼饭”高元，且用元购买“肥牛鸡排双拼饭”与用元购买“鳕鱼肥牛双拼饭”数量相同．
求“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价；
经过市场调研发现，以中的单价出售“肥牛鸡排双拼饭”每天可以出售份，若每份售价提高元时，每天出售份数少份，设每份售价提高元且为整数，为每天的营业额，求关于的函数解析式以及营业额的最大值．

24.  本小题分
如图，是的直径，内接于点在上，平分交于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
平面上，与直径为的半圆如图摆放，，，，半圆交边于点，将半圆绕点按逆时针方向旋转，点随半圆旋转且始终等于，旋转角记为

当时，连接，则 ______ ， ______ ；
试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图的情形给出证明；
若，，当半圆旋转至与的边相切时，直接写出线段的长．

26.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

求抛物线的解析式；
为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接．
点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标；
点在轴的正半轴上运动，若请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
比大的数是．
故选：．
先估算的大小，然后根据两个正数比较大小，绝对值大的数大进行比较即可．
本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；、绝对值法：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：几何体由上下两层组成，将正方体移走前的主视图为：上层有两个正方形，下层有三个正方形，
正方体移走后的主视图为：上层有两个正方形，下层有三个正方形，没有改变；
将正方体移走前的左视图为：上层左边有一个正方形，下层有两个正方形，
正方体移走后的左视图为：上层左边有一个正方形，下层有两个正方形，没有发生改变；
将正方体移走前的俯视图为：底层有两个正方形，上层有三个个正方形，
正方体移走后的俯视图为：底层有一个正方形，上层有三个个正方形，发生改变，
故选：．
分别得到将正方体移走前后的三视图，依此即可作出判断．
本题考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则、完全平方公式、多项式乘多项式分别计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项法则、完全平方公式、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，
故选：．
因为三角板的度数为，，所以根据三角形内角和定理即可求解．
本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：亿元元元．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：由平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为，，，，，；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．
其中位数为．
故选：．
根据平均数定义求平均数，对新数据按大小排列，然后利用中位数的定义计算即可．
本题考查了平均数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
为中点，
，
，
，
故选：．
根据同弧所对的圆周角相等可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后根据垂径定理可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设有人，辆车，
依题意得：．
故选：．
根据若每辆车乘坐人，则空余两辆车：若每辆车乘坐人，则有人步行，列二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是理解题意找出题中的等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
在三角形中，，，
，
同理得，，
又，
，
设等边三角形的边长为，则，
，
，
．
故选：．
连接，利用等腰三角形的性质及内角和定理得到，同理得，又，求出，设等边三角形的边长为，表示出，，利用勾股定理求出，即可求出结果．
本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形等知识，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
由对称轴位置知，，
，
故正确；
由对称性质知关于的对称点为，
在之间，
也在、之间，
，
，
故不正确；
由函数图象可知，抛物线与直线有两个交点，
有两个不相等的实数根，
故正确；
由函数图象知，当时，，
，
，
，
故正确；
故选：．
根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
首先去括号，进而合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握平方差公式是解题关键．
 

12.【答案】个 

【解析】解：设黑球的个数为个，
摸到黑球的频率稳定在，
所以，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
即袋子中黑球的个数为个．
故答案为：个．
设黑球的个数为个，根据摸到黑球的频率，建立方程可得袋子中黑球的个数．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作图可得，是线段的垂直平分线，是的平分线，
，，
，
，
，且，
，
即，
．
故答案为：．
由作图可得是线段的垂直平分线，是的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程和有一个公共根，
，
，
解得，，
当时，
．
故答案是：．
因为方程有一个公共根，两方程联立，解得与的关系，故可以解得公共解，然后求出．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于，

由图可知，，，
，
在中，，
，
所以，菱形的面积，
当点在上运动时，的面积不变，为，
所以，．
故答案为：
连接交于，根据图求出菱形的边长为，对角线为，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后求出的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，为点在上时的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解
本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半，根据图形得到菱形的边长与对角线的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可知点运动的路径为线段，点运动的路径为，由平移的性质可知，
在中，易知，，
，
故答案为．
如图，由题意可知点运动的路径为线段，点运动的路径为，由平移的性质可知，求出即可解决问题．
主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】分别根据有理数的乘方及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查了实数的运算，涉及到乘方及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟知实数混合运算的法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
，且为整数，
，，，
，，
，
原式． 

【解析】首先将括号里面通分，进而将能因式分解的分子与分母因式分解，即可化简，再利用分式有意义的条件得出即可．
本题主要考查了分式的化简求值，在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：，
，
点为的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形的面积四边形的面积三角形． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论；
根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，
根据矩形的周长公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次调查一共随机抽取的学生有名．
组的学生人数人，
组的学生人数为人．
补全学生成绩频数分布直方图如图所示．

故答案为：；
人．
荣获一等奖及特等奖的学生大约共有人；
设两名男生分别记为，，三名女生分别记为，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有种，
抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
用组的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查抽取的学生人数；用本次调查抽取的学生人数乘以组人数所占的百分比，可得组的人数，再用本次调查抽取的学生人数分别减去，，，组的学生人数，可求出组的学生人数，补全条形统计图即可．
根据用样本估计总体，用乘以本次调查中组和组的学生所占的百分比之和，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解频数率分布直方图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
 

21.【答案】如图，过点作于点，

，，
，
，
，
，
在中，，
答：支架顶点到地面的距离约为．

如图，延长与地面交于点，过点向地面作垂线，垂足为，

在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
．
答：端点到地面的距离为． 

【解析】如图，过点作于点，可求出，，然后在中根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
如图，延长与地面交于点，过点向地面作垂线，垂足为，根据题意可求出，所以，从而可求出的长度．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：把代入中，
得：，
反比例函数的解析式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得：，
解得：，
一次函数的解析式是；
如图，作点关于轴的对称点，过点作于，交轴于，此时最小，

，
，
，
在中，当时，，当时，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把的坐标代入求得的值，最后利用待定系数法求一次函数的解析式；
作点关于轴的对称点，过点作于，交轴于，此时最小，证明是等腰直角三角形，可得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，轴对称的最短路径问题，利用数形结合的思想是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设“肥牛鸡排双拼饭”的单价为元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为元，依题意得：
，
解得，
经检验，为方程的解，
元，
答：“肥牛鸡排双拼饭”的单价为元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为元．

依题可知：


，
，
该函数为开口向下的二次函数，在对称轴上取得最大值，其对称轴为直线，
自变量为整数，
当时取得最大值为：元，
答：该函数为，在时营业额取得最大值为元． 

【解析】设“肥牛鸡排双拼饭”的单价为元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为元，根据用元购买“肥牛鸡排双拼饭”与用元购买“鳕鱼肥牛双拼饭”数量相同列出方程，解方程即可；
根据题意列出函数解析式，根据二次函数的增减性，求出最大值即可．
本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或关系式．
 

24.【答案】解：连接，

平分交于点，
，
，
，
，
，
，
，即，
点在上，
是的切线；
连接，
是的直径，
，
平分交于点，
，
在中，，
，
，即
，
，
在中，，
，即
． 

【解析】连接，根据角平分线的定义得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，推出，根据切线的判定定理得到结论；
连接，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，解直角三角形得到，求得．
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，正弦定义，勾股定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】  

【解析】解：连接，如图，

是半圆的直径，
，
，
，
∽，
，
，，
，
故答案为：；．
旋转过程中的大小无变化，证明如下：
如图中，连接，

是半圆的直径，
，
又，
，
又，
∽，
，

，
∽，
．
，，
，，
由勾股定理得，，
如图中，当时，半圆与相切．

在中，．
如图中，当时，半圆与相切，作于．

，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
由可知，
．
为或．
先判断出，进而得出∽，得出比例式即可得出结论；
先判断出∽即可得出结论；
先求出，分两种情况计算即可得出结论．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，矩形的判定和性质，解的关键是判断出，解的关键是判断出，解的关键是分类讨论．
 

26.【答案】解：直线与轴交于点，
，
，
直线解析式为：，
当时，，
点，
抛物线经过点，，
，
，
抛物线的解析式为：；
轴，
，
，
设点，点，则点，
，，，
当时，，
，
，舍去
点的坐标为，
当时，，
，
舍去，舍去，，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或；
当点在轴上方时，如图，连接，延长交轴于，

点，点，
，
，
抛物线与轴交于点，点，
，
，，
点，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
点，
直线解析式为：，
，
舍去，，
点的横坐标为，
；
当点在轴下方时，如图，连接，设与轴交于点，

，，
，
又，，
≌，
，
点，
直线解析式为：，
，
舍去，，
点的横坐标为，
，
综上所述：或． 

【解析】将点坐标代入直线解析式可求的值，可求点坐标，利用待定系数法可求解；
分两种情况讨论，由两点距离公式和勾股定理可求解；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求解析式，联立方程可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．