中考数学压轴题48

这是一份中考数学压轴题48，共6页。
2（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，OA＝OC＝2．P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第三象限内，且PEOD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，是否存在点M，使△BDM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由OA＝OC＝2，得A（2，0），C（0，﹣2），由待定系数法即可求抛物线的函数表达式；（2）由yx2x﹣2可得B（﹣4，0），设直线BC为y＝kx﹣2，将B（﹣4，0）代入得直线BC为yx﹣2，设P（m，m2m﹣2），m＜0，则E（m，m﹣2），D（m，0），即得PE＝（m﹣2）﹣（m2m﹣2）m2﹣m，OD＝﹣m，根据PEOD，可得m2﹣mm，解得m＝0（舍去）或m＝﹣3，故PE，BD＝1，即可得△PBE的面积；（3）由（2）知：B（﹣4，0），D（﹣3，0），直线BC为yx﹣2，设M（t，t﹣2），则BM2＝（t+4）2+（t﹣2）2，DM2＝（t+3）2+（t﹣2）2，BD2＝1，①当BM＝DM时，（t+4）2+（t﹣2）2＝（t+3）2+（t﹣2）2，解得M（，）；②当BM＝BD时，（t+4）2+（t﹣2）2＝1，解得M（，）或（，）；③当DM＝BD时，（t+3）2+（t﹣2）2＝1，解得M（，）．【解答】解：（1）∵OA＝OC＝2，∴A（2，0），C（0，﹣2），根据题意得：，解得，∴抛物线的函数表达式为yx2x﹣2；（2）由yx2x﹣2可得B（﹣4，0），设直线BC为y＝kx﹣2，将B（﹣4，0）代入得：y＝﹣4k﹣2，∴k，∴直线BC为yx﹣2，设P（m，m2m﹣2），m＜0，则E（m，m﹣2），D（m，0），∴PE＝（m﹣2）﹣（m2m﹣2）m2﹣m，OD＝﹣m，∵PEOD，∴m2﹣mm，解得m＝0（舍去）或m＝﹣3，∴PE，BD＝OB﹣OD＝4﹣3＝1，∴△PBE的面积为PE•BD1；（3）存在，由（2）知：B（﹣4，0），D（﹣3，0），直线BC为yx﹣2，设M（t，t﹣2），则BM2＝（t+4）2+（t﹣2）2，DM2＝（t+3）2+（t﹣2）2，BD2＝1，①当BM＝DM时，（t+4）2+（t﹣2）2＝（t+3）2+（t﹣2）2，解得t，∴M（，）；②当BM＝BD时，（t+4）2+（t﹣2）2＝1，解得t或t，∴M（，）或（，）；③当DM＝BD时，（t+3）2+（t﹣2）2＝1，解得t或t＝﹣4（与B重合，舍去），∴M（，），综上所述，M（，）或（，）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、两点间的距离公式、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 　　；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 　B（﹣5，0）或（7，0）　；（2）若点A，B都在直线yx+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围． 【分析】（1）①求出点M的坐标，即可得出结论．②因为线段AB到⊙O的“平移距离”为2，所以M（﹣3，0）或（3，0），由此即可解决问题．（2）如图1中，设直线yx+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．利用面积法求出OH的长，可得结论．（3）求出d2的最大值与最小值，可得结论．【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，∴M（，0），∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长，故答案为：． ②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，∴M（﹣3，0）或（3，0），∵MA＝MB，∴B（﹣5，0）或（7，0）．故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）． （2）如图1中，设直线yx+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．∵OE＝4，OF＝3，∴EF5，∵S△OEFOE×OFEF×OH，∴OH，观察图象可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，最小值＝OH﹣OK．即d1． （3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5，∴3≤d2≤5．【点评】本题属于圆综合题，考查了线段AB到⊙O的“平移距离”的定义，一次函数的性质，三角形的面积，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题