太康县第一高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份太康县第一高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
太康县第一高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是(   )A.e B. C. D.2、设函数的导数为，且，则(   )A.0 B.4 C. D.23、已知函数的导函数为，且，则(   )A. B.1 C.2 D.44、若，则函数在处可导是函数在可导的(   ).A.充要条件  B.充分非必要条件C.必要非充分条件  D.既非充分又非必要条件5、若过点可以作曲线的两条切线，则(   )A.  B.C.  D.6、设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是(   )A.  B.C.  D.7、若函数且在区间内单调递增，则a的取值范围是(   )A. B. C. D.8、设a为实数，若函数有且仅有一个零点，则a的取值范围是(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、已知函数，则(   )A.当时，函数的极大值为B.若函数图象的对称中心为，则C.若函数在R上单调递增，则或D.函数必有3个零点10、已知，，且，下列结论中恒成立的是(   )A.  B.C.  D.11、已知是的导函数，，则下列结论正确的为(   )A.与的图像关于直线对称B.与有相同的最大值C.将图像上所有的点向右平移个单位长度可得的图像D.当时，与都在区间上单调递增12、已知函数，则下列结论正确的是(   )A.函数只有两个极值点B.方程有且只有两个实根，则的取值范围为C.方程共有4个根D.若，，则的最大值为2三、填空题13、函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.14、已知函数，若恒成立，则k的最小值是______________.15、已知是函数的导函数，且，则下列说法正确的是______.（1）；（2）曲线在处的切线斜率最小；（3）函数在存在极大值和极小值；（4）在区间上至少有一个零点.16、已知函数，若在上有解，则的最小值___.四、解答题17、已知函数(其中)，且，求：(1)的表达式；(2)曲线在处的切线方程.18、已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.19、已知，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的值.20、某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（1）求该段抛物线的方程；（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？21、已知函数.（1）当为函数的极值点时，求函数的单调区间.（2）当时，求证：.22、已知函数，.（1）证明：函数存在两个极值点，，且有；（2）试比较函数的极大值与极小值之和与3的大小，并说明理由.
参考答案1、答案：C解析：设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，则，解得.故选：C2、答案：C解析：由，令得，解得.故选：C.3、答案：A解析：，故选：A.4、答案：C解析：充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足；必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足.故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.故选：C5、答案：B解析：设切点为，则，所以，则，化简得：①，则，因为过点可以作曲线的两条切线，所以方程①有两个不同正解，所以，所以.故选：B.6、答案：B解析：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或.故选：B.7、答案：A解析：令，则，当或时，，当时，，所以在和上递减，在上递增，当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，所以，解得，此时在上递增，则恒成立，当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，所以，无解，综上所述，a的取值范围是.故选：A.8、答案：C解析：当时，，则且不恒为零，所以，函数在上单调递增，所以，，又因为，所以，函数在上只有一个零点；因为函数只有一个零点，则函数在上无零点，则当时，，则，由可得，由可得.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，只需，解得.故选：C.9、答案：BD解析：A项：当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误；B项：因为函数图象的对称中心为，所以有，故正确；C项：恒成立，显然必有两根，，，则在递减，故错误；D项：，必有2相异根，且非零，故必有3个零点，故正确.故选择：BD10、答案：BC解析：对于A，因为，，且，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，由于函数在上单调递减，所以，故A不正确；对于B，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；对于C，因为，，且，所以，则，设，则恒成立，所以在上单调递增，则，则，即，故C正确；对于D，因为，，且，所以，则，所以，当时，等号成立，故D不正确.故选：BC.11、答案：BC解析：已知的图像与的图像关于直线对称，，故A选项错误；，其中，最大值为，，其中，最大值为，故B选项正确；，.将的图像向右平移个单位得的图像，故C选项正确；当时，，，当时，在上单调递增，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递减，综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.故选：BC12、答案：ACD解析：对于A，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项A正确；对于B，由选项A知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项B错误；对于C，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项C正确；对于D，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项D正确.故选：ACD13、答案：解析：，在上的最小值为，说明在上单调递减，所以当时，恒成立，即.所以.所以.故答案为：.14、答案：1解析：由题意可知，当时，恒成立，即恒成立，作出函数的图象如图示，，即在原点处的切线斜率为1，由图象可知，当时，即有时，恒成立，故当时，恒成立，则；当时，恒成立，即恒成立，设，所以在内恒成立，即在上单调递减，所以，则，综上所述，k的最小值为1，故答案为：115、答案：（2）（3）（4）解析：，，，，，，，c的正负不确定，不一定成立，①错；，当时，有最小值，即曲线在处的切线斜率最小，②正确；，即有两个不相等的根，函数在上存在极小值和极大值，③正确；，，，若，则，，在上有一个零点；若，则，，在上有一个零点，在区间上至少有一个零点，④正确.16、答案：解析：设函数在上的零点为m，则，所以点在直线上.设O为坐标原点，则，其最小值就是O到直线l的距离的平方，所以，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，，所以的最小值为.故答案为：17、答案：(1)(2)解析：(1)，于是有，所以，又，即，.(2)由(1)知，，所以，所以切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即.18、答案：（1）递增区间为，，递减区间（2）最大值为59，最小值为-49解析：（1）的定义域为R，且，令得，令得，所以递增区间为，，递减区间；（2）x-3(-3，-1)-1(-1，1)1(1，3)3 +0-0+ -49单调递增极大值11单调递减极小值-1单调递增59所以函数在上的最大值为59，最小值为-49.19、答案：（1）见解析（2）解析：（1），，，当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增.综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.（2）情况一：若，即时，由的单调性，其在上恒为正，无零点，在增区间至多有一个零点，不符题意.情况二：若，即时，由于，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，取，则，，，，当时，，由于在区间上单调递增，故在恒为正，无零点，由零点存在定理，在区间上存在一个零点，符合题意，情况三：若，即时，同情况二可得在增区间恒为正，无零点，仅有一个零点，不符题意，综上，a的取值范围是.20、答案：（1），（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大解析：（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，，所以，解得，故该段抛物线的方程为，.（2）由（1）可设，所以梯形ABCD的面积，，设，，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.21、答案：（1）见解析（2）证明见解析解析：（1）的定义域为，，若为函数的极值点，则，解得，当时，，，令，则，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.所以当时，为函数的极小值点，满足题意，即当为函数的极值点时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）当时，，设，，则，易知在上单调递增，又因为，，所以，使，（即），所以当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，，当时，，所以，所以，，所以当且时，，原命题得证.22、答案：（1）证明见解析（2）极大值与极小值之和小于3，理由见解析解析：（1）证明：由题可知的定义域为，因为，，所以，令，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增.又，则在上有且仅有一个零点.即在上有且仅有一个零点，又因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点，综上，时，；时，；时，，所以函数存在两个极值点，.设，则，则在上为单调递增函数，由，知，从而有，化简可得，又因为，两式相减，可得，即，所以成立.（2）由（1）可知，为极大值，为极小值，由，，得，从而有，令，则有，，令，当时，，所以在上单调递减，即在上单调递减，由，知，所以在上单调递增，所以，所以函数的极大值与极小值之和小于3.