安徽省黄山市2020-2021学年高二下学期期末考试 数学（理）试卷

黄山市2020-2021学年度第二学期期末质量检测

高二（理科）数学试题

第Ⅰ卷（选择题  满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 复数（为虚数单位）的虚部是

A.    B.          C.         D.

2. 已知大前提：所有奇函数在处的函数值为；小前提：是奇函数；结论：

.则该三段论式的推理

A. 大前提错误    B. 小前提错误      C. 推理形式错误     D. 是正确的  

3. 已知件产品中有三件次品，现不放回地随机抽取次，每次抽取件，若第次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率是

A.         B.         C.        D.

4. 对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是

A. 至少有一个样本点落在回归直线上

B. 预报变量的值由解释变量唯一确定

C. 相关指数越小，说明该模型的拟合效果越好

D. 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

5. 随机变量的分布列如下表，其中成等差数列，且，则

A.          B.         C.          D.

6. 函数的大致图象是

A.                  B.                 C.                 D.                                   

7. 已知,用数学归纳法证明时，在证明过程中的

第二步从到时，左边增加的项数是

A.           B.            C.         D.

8. 若函数在处的切线的倾斜角为，则的值为

A.         B.        C.          D.

9. 为庆祝中国共产党成立周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学活动.该校高一年级个班级分别去个革命老区开展研学游，每个班级只去一个革命老区，每个革命老区至少安排一个班级，则不同的安排方法共有（      ）种.

A.        B.       C.         D.

10.如图是高尔顿板的改造装置，当小球从自由下落时，第一次与第二层中间的小木块碰

撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，小球最后进入槽口处，

则小球进入处的概率为

A．        B．    C．     D．

11.已知，则的最小值为

A.           B.        C.         D.

12.若，则

A.             B.

   C.            D.

第II卷（非选择题  满分90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. )

13.已知随机变量服从正态分布且,则_______.

14. 的展开式中的系数为_________.

15.已知两地的距离是。按交通法规规定，两地之间的公路车速应限制在到.假设汽油的价格是元/升，以速度行驶，汽车的油耗率为

升 ，其他运营成本每小时元，则最经济的车速是________.

16.在平面内，余弦定理给出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。应用余弦定理，可以从已知的两边和夹角出发，计算三角形的第三边.我们把四面体与三角形作类比，并使四面体的面对应三角形的边，四面体各面的面积对应三角形各边的边长.而三角形两边的夹角，对应四面体两个面所成的二面角，这样可以得到“四面体的余弦定理”.现已知一个四面体， ,,二面角,二面角,二面角为直二面角，则三角形的面积为_______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本题满分10分）

已知复数,,.

（1）若是纯虚数，求实数的值；

（2）若不等式成立，求实数的值.

18.（本题满分12分）

已知函数，在处取得极值3，

（1）求实数的值；

（2）若有三个不等实根，求实数的取值范围.

19.（本小题满分12分）

某省从年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“”要求考生从物理、历史两科中选一科.某高中为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查了名高一学生，得到列联表如下：

附：

（1）判断是否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关”；

（2）现已知这名学生中有名女生来自同一班级，其中有人选择了物理，有人选择了历史.现从这名女生中任选人，记“人中选择物理科目的人数”为,求的分布列和期望.

20.（本小题满分12分）

（1）已知等差数列中，首项，公差.求证:对任意正整数，，，都不成等差数列；

（2）已知，，证明：.

21.（本小题满分12分）

随着老旧小区的改造，小区内的设施越来越完善，也有越来越多的居民用上了天然气.某燃气公司为了制定天燃气分档价格表，在全市随机抽取了200户居民，对其月均使用天然气的情况进行了调查，统计如下：

（1）求这200户居民的月均使用天然气的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到）；

（2）（i）已知全市居民的天然气月均使用量服从正态分布，其中分别取（1）中的，.现从全市居民任取一户，求该户天然气的月均使用量在区间的概率；

（ii）现从该市某小区任意抽取户，记表示这户天然气的月均使用量在区间的户数，求的数学期望.

附：，，,

22.（本小题满分12分）

已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在恒成立，求实数的取值范围.

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高二（理科）数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. )

13.             14.             15.            16.

三、解答题（本大题共小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分10分）

解：（1）由题意得，且   ………………………………3分

        解得      ……………………………………………………………………5分

（2）若不等式 ，则 ,     …………………………………………6分

    ………………………………………………………………8分

解得     …………………………………………………………………10分

18.（本小题满分12分）

解：（1），

由题意得即，，

解得   …………………………………………… ……………………………5分

（2）由（1）可知，  ，  ………………6分

由 得或 ；由得；

在和上单调递增，在上单调递减   ……………………9分

因此函数的极小值为，极大值为，

所以要使有三个不等实数根，则的取值范围为   …………………12分

19.（本小题满分12分）

解：（1），  ………………………………………3分

因为，所以能在犯错误不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关”；  ………………………………………………………………………………………………6分

（2）由题意：的可能取值为  ………………………………………………7分

则,, …9分

的分布列为

  ……………………………………………12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）假设存在，使，，成等差数列，即 …2分

，又因为数列为等差数列，所以

，即 ……………………4分

展开化简得：即与已知矛盾，

因此假设不成立，故原命题得证.  ………………………………………………………6分

（2）由及, 可知   …………………………8分

要证，只需证，

只需证，即证

只需证

只需证   …………………………………………………………………………11分

而这是已知条件，所以原不等式得证.   …………………………………………………12分

21.（本小题满分12分）

解：21.(1)各组的频率分别为：；；；；.

样本平均数. ………………2分

其标准差

. ………………………………………………………………………………4分

（2）（i）记表示全市居民天然气月均使用量，则～，

则.  ………………………8分

（ii）由（i）知，某户天然气月均使用量在的概率为， ……………9分

则～，  …………………………………………………………………10分

∴   …………………………………………………12分

22.（本小题满分12分）

解：22.(1),

由得：或.  …………………………………………………2分

①当，即，恒成立，在上单调增；

②当，即，则和时，时.故在区间和上单调增，在区间上单调减；

③当，即，则和时，时.故在区间和上单调增，在区间上单调减； ……………………………………………………………………………………………5分

（2）恒成立，即在恒成立，

∴在恒成立，

设，则  …………………………………7分

令，则，，

因此在单调递减，又，

使即   …………………………………9分

当时， ，单调递减，

当时，，单调递增，

，又由式得，

，因此即的取值范围为.  ……………………………12分