陕西省安康市2020-2021学年高二下学期期末质量联考 数学理科试题

安康市2020—2021学年度高二年级期末质量联考

理科数学

本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则=（　　）

A． B． C． D．

2．若复数是纯虚数，则实数m=（　　）

A． B． C． D．2

3．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）

A．3 B．9 C．11 D．13

4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知等差数列的前n项和为，，，则当取最大值时n的值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

6．函数，的部分图像大致是（　　）

A．B．C．D．

7．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法错误的是（　　）

A．频率分布直方图中第三组的频数为10人

B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分

C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分

D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分

8．的展开式中的系数为，则其展开式中的常数项为（　　）

A． B． C．4 D．8

9．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线l与x轴交于点C，则的面积为（　　）

A． B． C． D．

10．设，，，则（　　）

A． B． C． D．

11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　）

A． B．4 C． D．8

12．已知函数，给出下列结论：①函数的图像关于直线对称；②曲线上存在垂直于y轴的切线；③函数的最大值为0；④方程有4个不相等的实数根．其中所有正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．等比数列满足，且，则=__________．

14．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种．

15．如图，在三棱锥的平面展开图中，四边形是菱形，，．则三棱组外摆球的表面积为__________．

16．已知双曲线的右焦点为，点M，N在双曲线的同一条渐近线上，O为坐标原点．若直线平行于双曲线的另一条渐近线，且，，则该双曲线的离心率为__________．

三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）设，，求的面积．

18．（12分）

如图，四棱锥中，四边形是菱形，且，为等边三角形，平面平面．

（1）证明：；

（2）若E是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

19．（12分）

现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表：

（1）根据以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以6500元为分界点有关”？

（2）若对月收入在［55，65）和［65，75）的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查求在选中的4人中赞成“楼市限购令”的人数N的分布列及数学期望．

附：，．

20．（12分）

已知椭圆的焦距为，点在椭圆E上．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线与椭圆E交于M，N两点，O为坐标原点，求面积的取值范围．

21．（12分）

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在a，使得在处取得极小值？说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线：（t为参数），：（m为参数）．

（1）求曲线，的普通方程；

（2）设曲线与交于A，B两点，点，求|的值．

23．［选修4—5；不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设a，b，c均为正数，的最大值为m，且，证明：．

高二理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．C解析：，，∴．

2．A解析：∵为纯虚数，∴，∴实数．

3．C解析：画出可行域知过点时取得最大值11．

4．B解析：由，或．由，∴“”是“”的必要不充分条件．

5．B解析：设等差数列的公差为d，则，解得，∴，由解得∴当取最大值时n的值为8．（或根据是关于n的二次函数得其对称轴方程为）

6．A解析：易知，∴为奇函数：当时，单调递增，单调递减，∴单调递增，故选A．

7．D解析：分数在内的频率为，所以第三组的频数为（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确：因为，，所以中位数位于，估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为（分），故D错误．

8．A解析：的展开式中项为，∵的展开式中的系数为，∴，解得．∴的展开式中常数项为，故选A．

9．D解析：如图，设抛物线的准线为l，过A作于M，过B作于N，过B作于K，设，则，，，∴，∴，∴

∴∴的面积为．

10．A解析：，则，，∵，∴a，b，c的大小比较可以转化为，，的大小比较．设，则，当时，，当时，，∴在上单调递减．∵，∴，∴．

11．C解析：建立如图所示平面直角坐标系，则，．圆D的方程为，设，，则，，

∴．

12．D解析：∵∴的图像关于直线对称，①正确；，且当时，；

当时，，只有这三个零点，∴在单增，单减，单增，

单减，，，作出的图像如图所示，∴在点

，处的切线方程为，∴②③正确；可转化为或，∵，结合图像可知有两个根，有两个根，∴方程有4个根，④正确．故选D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．7  14．1440  15．  16．

13．7解析：由已知可得，∴，

∴．

14．1440解析：先从剩余5种乐器中任选3种全排列，再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入全排的4个空中，

∴共有种．

15．解析：将三棱锥的直观图还原，如图所示，则，，

∴，，∴，．取的中点O，连接，，则，∴O为三棱锥外接球的球心，半径，故三棱锥外接球

的体积．

16．解析：如图，设渐近线的倾斜角为θ．则，．

，在中，由正弦定理得，解得，，

即，∴该双曲线的离心率为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解析：由已知及正弦定理得，

∴，∴，∴或1，

∵，，．

（2）在中，由倉弦定理得，解得，

∴的面积．

18．解析：取的中点，连接、和，

∵为等边三角形，∴；

又四边形是菱形，且，∴为等边三角形，∴；

又，平面，平面，∴平面，

又平面，∴．

（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面；

又，∴、、两两垂直；

以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，，；

∴，

设平面的一个法向量为，

由，得，令，得，

，

设直线与平面所成的角为θ，则．

19．解析：（1）2×2列联表为：

根据列联表可得的观察值，

所以有的把握认为“该市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以6500元为分巾点有关”．

（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4．

，，

，，

，

所以的分布列为：

数学期望．

20．解析：（1）由题意可得，解得

∴椭圆E的方程为．

（2），，由

得，∴，①

则的面积为，

令，则，，

函数在上单调递增，

∴，∴，

∴面积的取值范周是．

21．解析：（1），

时，，，

∴在处的切线方程为．

（2）显然是的极小值点的必要条件为，即，此时，，

，则，

显然在递增，，，

且当，易得，当时，易得，

∴存在唯一的零点，且，

∴在递减，递增，∵，，

∴在存在唯一的零点，

当时，，

∴在递增，在递减，在递增，

∴当时，是的极小值点．

22．解析：（1）曲线C的普通方程为，曲线C的普通方程为．

（2）把的参数方程代入，

得，

即，∴，

，∴．

23．解析：（1）当时，，得；

当时，，得；

当时，，得．

综上，不等式的解集为．

（2）∵，∴，

∵，，，

∴，

当且仅当等号成立，∴．