四川省仁寿县2020-2021学年高二下学期期末模拟考试 数学（理）试题

高2019级仁寿县第四学期期末模拟试卷

 理科数学 2021.06

数学试题卷（理科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

4．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，复数，，若z为纯虚数，则（    ）

A．                 B．                  C．2                  D．

2．某学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1至2000编号，已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（    ）

A．997                 B．1007                  C．1047                D．1087

3．对两个变量进行回归分析，得到一组样本数据：，则下列说法中不正确的是（ ）

A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量之间的相关系数为，则变量之间具有线性相关关系

4．甲、乙两名同学在高考前的5次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、 乙两人的平均成绩分别为，下列说法正确的是（    ）

A．，且乙比甲的成绩稳定         B．，且乙比甲的成绩稳定

C．，且甲比乙的成绩稳定         D．，且甲比乙的成绩稳定

5．2021年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案3》和《你好，李焕英》是今年春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首映，根据猫眼票房数据得到如下统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是（    ）

A．这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过2.5亿元

B．这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小

C．这7天电影《你好，李焕英》的当日票房占比逐渐增大

D．这7天中有4天电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%

6．如图所示的程序框图，若输入x的值为2，输出v的值为16，则判断框内可以填入（    ）

A．k≤3？             B．k≤4？            C．k≥3？             D．k≥4？

7．5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（    ）

A． 72                  B．144                C．12             D．36

8．苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23）

A．3.23                 B．2.881               C．1.881               D．1.23

9．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致是（    ）

A．     B．    C．   D．

10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（    ）

A．二项展开式中各项系数之和为              B．二项展开式中二项式系数最大的项为

C．二项展开式中无常数项              D．二项展开式中系数最大的项为

11．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（    ）

A．               B．             C．      D．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷中的相应位置.

13．曲线及围成的平面区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为__▲___

14．复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数___▲___

15．已知函数的定义域为，且的图像如右图所示，记的导函数为，则不等式的解集是____▲___

16．若函数图象在点处的切线方程

为，则的最小值为___▲___

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（本小题10分）已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求曲线过点的切线方程．

18．（本小题12分）

某企业有A，B两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于120的为优质品．分别从A，B两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，分别求出B分厂的质量指标值的中位数和平均数的估计值；

（2）填写列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？

19．（本小题12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：

（1）请用最小二乘法求出关于的回归直线方程（结果保留两位小数）；

（2）现从2012—2018年这7年中抽出三年进行调查，记年利润增长－投资金额，设这三年中（万元）的年份数为，求随机变量的分布列与期望.

参考公式：，.参考数据：，.．

20．（本小题12分）已知函数.

（1）求函数的最值；

（2）求证：．

21．（本小题12分）某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.

（1）求乙未能参与面试的概率；

（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；

（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职．

22．（本小题12分）已知函数为自然对数的底数）

（1）若是的极值点，求的取值；

（2）若只有一个零点，求的取值范围．

高2019级仁寿县第四学期期末模拟试卷

 理科数学参考答案

一、选择题

1.C   2.B   3.C   4.A   5.D   6.A   7.A   8.B   9.C   10.D   11.C   12.B

二、填空题

   13．    14．    15．    16．

三、解答题

17．解：(1)由已知得,则，所以切线斜率，···························1分

因为，所以切点坐标为，·····················································2分

所以所求直线方程为，

故曲线在处的切线方程为.·······················································3分

(2)由已知得，设切点为,···················································4分

则，即，得或，

所以切点为或，切线的斜率为或，·················································8分

所以切线方程为或

即切线方程为或····························································10分

18．解：（1）B分厂的质量指标值；

由，则的中位数为······································2分

的平均数为·········6分

（2）列联表：

···············································································7分

由列联表可知的观测值为：

··································11分

所以有99%的把握认为两个分厂的产品质量有差异．················································12分

19．解：（1），

，，········································5分

故关的回归直线方程为：····························································6分

（2）由表格可知，年这年中

的可能取值为1，2，3················································································7分

，，······························10分

可得：·······························12分

20．解：（1）由题可知··································································1分         

所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以··································································4分

（2）方法一：，··························································8分

易得，，                                                                                                                                                        

所以，得证······················································12分

方法二：，令，

，故在上单调递增.············································5分

又，又在上连续，

使得，即，.（*）·····························7分

随的变化情况如下：

. 由（*）式得，代入上式得

. 令，

，故在上单调递减.，又，.

即.·················································································12分

21．解：（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.·······························3分

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，

，，，

，

，

.··················································································7分

则的分布列为：

故.···········································9分

（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，

乙成为在职教师的概率.

因为，所以甲更可能成为该校的在职教师··················································12分

22．解：（1），······································································1分

当时，，；，，此时恒成立，则不是函数的极值点······························································································3分

所以···················································································4分

（2）只有一个零点，显然是，所以分为两种情况

第1种情况：满足，此时·····················································6分

第2种情况：无解，令，；

①当时，，单调递增，故在上存在使得；·························································································8分

②当时，方程显然无解；·······························································9分

③当时，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，则，即，所以·································································································11分

综上所述：················································································12分