天津市滨海新区2020-2021学年高二下学期期末考试 数学试卷

滨海新区2020-2021学年度第二学期期末检测

高二数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟.

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸上.答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上；Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.

祝各位考生考试顺利！

第I卷 选择题 （60分）

注意事项：

1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合,,则等于

（A）   （B）    （C） （D）

（2）下列函数中，在上单调递增的是

（A）   （B）   （C）       （D）

（3）设，则“”是“”的　　

（A）充分非必要条件          （B）必要非充分条件 

（C）充要条件                  （D）既非充分也非必要条件

（4）如右图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为

（A）                 （B）     

（C）                 （D）

（5）在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为

（A）        （B）        （C）          （D）

（6）对两个变量相关性正确的描述是：

（A）两个变量有相关性，则一定是线性相关

（B）若两个具有线性相关关系的变量满足，则这两个变量正相关

（C）两个变量负相关，则一个变量增大时，另外一个变量也增大

（D）两个具有线性相关关系的变量，若线性相关系数的值越接近于1，则相关性越强

（7）若， 则三者的大小关系为
（A）      （B）     （C）      （D）

（8）函数的图象大致为

（A）               （B）               （C）                （D）

（9）给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为

（A）            （B）             （C）             （D）

（10）从某学校获取了数量为400的有放回简单随机样本,将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如右面表格:语文成绩优秀的人中数学成绩优秀的频率为,通过计算,则

（A）,数学成绩与语文成绩无关联 

（B），数学成绩与语文成绩无关联

（C）,数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001

（D）,数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001

（11）给出下面四个命题：

①函数在（3,5）内存在零点；

②函数的最小值是2；

③若则；

④命题的“”否定是“”

其中真命题个数是

（A）          （B）                （C）                 （D）

（12）已知函数,函数有三个零点,则的取值范围是

（A）             （B）

（C）                       （D）

第II卷  非选择题（90分）

注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.

二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

（13）已知若则          .

（14）某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程(米)与着陆时间（秒）之间的函数关系为：,则此飞机着陆后滑行秒时的瞬时速度是         米/秒.

（15）甲和乙两个箱子中各有若干个大小相同、质地均匀的小球，其中甲、乙两箱中球的个数比为2:3，甲箱中红球占40%，乙箱中红球占50%，现将两箱内的球混在一起，从中任取一个球，取到红球的概率为          .

（16）某人设计的电脑开机密码由A、B、C、D中两个不同的英文字母后接两个数字组成，则该密码可能的个数是          .（用数字作答）

(17)已知的展开式中所有二项式系数和为，则          ；二项式展开式中常数项是          .

（18）生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高具有较强的正相关性，某体育老师调查了大学三年级某班所有男生的身高和父亲的身高（单位：），利用最小二乘法计算出,,则儿子的身高Y与父亲的身高的线性回归方程是          ，据此估计其它班级，如果父亲的身高增加10,儿子的身高平均增加          .

（19）已知均为正实数，则的最小值为        ，此时＝         ．

（20）已知函数对于，函数在上都是单调递增，则实数的取值范围是           ．

三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（21）（本小题满分12分）

从3名男老师和2名女老师中，随机选3人做课改示范课，

（Ⅰ）求选出的老师中既有男老师又有女老师的概率；

（Ⅱ）记选出的男老师人数为，求的分布列和数学期望.

（22）（本小题满分12分）

某学校有戏曲和书法两个国学文化校本课程班，高二一班有四名学生报名，每人必须且只能报一个班，每个人报名戏曲班的概率都是，用分别表示这4个人中参加戏曲和书法班的人数.

（Ⅰ）求4个人都报名书法班的概率；

（Ⅱ）求和；

（Ⅲ）记，求随机变量的分布列与数学期望.

（23）（本小题满分13分）

已知函数.

（Ⅰ）若

(i)求函数的极值；

(ii)对于都有成立，求的最小整数值.

（Ⅱ）若函数在R上不是单调函数，求的取值范围.

（24）（本小题满分13分）

已知函数，.

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：在定义域内有且只有一个零点；

（Ⅲ）若存在，使得，求实数的取值范围.

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高二数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设“既有男老师又有女老师”为事件A,男生人数为X，女生人数为Y,则………1分

=            .………………3分

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为                        ……………………4分  

;  ;        .……7分

所以，随机变量的分布列为

随机变量的数学期望为             ……………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）事件“报名戏曲班”和“报名书法班”是对立事件，因为每个人报名戏曲班的概率都是，则报名书法班的概率都是                                  ..………1分

“4个人都报名书法班”为事件A,则                    .………3分

（Ⅱ）依题意知，这4个人中每个人报名戏曲班的概率都是，报名书法班的概率都是.

则.                                      ………5分

因为,则                                     ………7分

（Ⅲ）的所有可能的取值为，                                 ………8分

故

.                      ………11分

所以ξ的分布列为：

故                            ..………12分

（23）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）若则，定义域R，

，令得或                      .………2分

则关系如下：

（i）当时，有极小值，极小值为；                   ………4分

当时，有极大值，极大值为.                             ………5分

（ii）由（i）

,所以              .………7分

于都有成立，则，                                .………9分

，所以的最小整数值为2                                       ..………10分

（Ⅱ）由题知，

令，得方程.                               .………11分

若，，函数在R上是增函数

若函数在R上不是单调函数,则有.                             ………12分

，解得或，

所以的取值范围为或.                                   ………13分

（24）（本小题满分13分）

解：（I）则 ，

则切线斜率，又                                   .………2分

所以曲线在点处的切线方程为                   .…………………3分

（Ⅱ）的定义域为，，

令，得，

当时，，单调递减；由于当时,

所以在内无零点;                                ………………5分

当时，，单调递增，，,

由零点的存在性定理，在有零点，且只有一个零点.  ………………7分

（Ⅲ）由题意知：只需，，    ………………8分

设

,令得,

故在单调递减，单调递增，                  ………………9分

①若，则在单减，则只需，

即，

记，，

因为，所以在递减，递增，

而，，所以在恒成立，

又因为，所以对任意恒成立   …11分

②若，，只需，

即，解得，                        ………………12分

综上，.                                         ………………13分