2023年山西省大同市第一中学校初中学中考模拟数学试题（含答案）

2023年山西省初中学业水平考试

数学押题密卷

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.

3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷  选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.的相反数是（    ）

A.5 B. C. D.

2.剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景.这体现了数学中的（    ）

A.图形的轴对称  B.图形的平移

C.图形的旋转  D.图形的相似

3.如图①是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个小正方体后，余下几何体的左视图如图②所示，则移走的小正方体是（    ）

A.① B.② C.③ D.④

4.山西是我国煤炭大省，同时蕴藏着极为丰富的煤层气资源.2022年1至11月山西省累计抽采煤层气86.6亿立方米.其中11月份抽采煤层气8.6亿立方米，创历史新高，则2022年1至10月山西省煤层气抽采量用科学记数法表示可表示为（    ）

A.立方米  B.立方米

C.立方米  D.立方米

5.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞.门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（    ）

A.7.5 B.8 C. D.

6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A. B. C. D.

7.如图，是一块直角三角板，其中，，直尺的两边分别过点，，且与交于点.若，则的度数为（    ）

A. B. C. D.

8.化简的结果是（    ）

A. B. C. D.

9.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点恰好落在线段的延长线上，点的对应点为，连接，则的长为（    ）

A. B. C. D.

10.如图，是的外接圆，切于点，交的延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积为（    ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.计算：的结果为________.

12.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，，则的度数为________°.

13.2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒.后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒.若要每天盈利16000元，设每盒价格降低元，则可列方程为________.

14.2022年12月20日，2023年“乐享中国”摄影图片和短视频征集活动正式启动，作品拍摄了一幅（部）作品进行投稿，则两人的投稿作品为同一种拍摄主题的概率为________.

15.如图，已知中，于点，是边的中点，，交于点.若，，则的长为________.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本题共2个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）

（1）计算：；

（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务.

解：令

任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题.

①我选择________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是________；

②该同学从第________开始出现错误，这一步错误的原因是________；

任务二：直接写出该方程组的正确解；

任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）.

17.（本题6分）2022年10月1日，正线全长约340千米的雄忻高铁山西段正式开工建设，通车后，忻州到雄安新区的时间较原先自驾缩短小时，已知自驾从忻州到雄安新区的路线长约360千米，平均行驶速度是雄忻高铁设计时速的，求雄忻高铁的设计时速.

18.（本题8分）尺规作图：如图，已知，，为对角线，于点.在线段上求作一点，使得.小亮同学的作法如下：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，则点即为所求.

（1）小亮同学的作图过程用到的基本作图是________.（填序号）

①作一个角等于已知角； ②作一个角的平分线；

③作一条线段的垂直平分线； ④过一点作已知直线的垂线.

（2）请你根据小亮的作法补全图形（保留作图痕迹），完成证明并求出当，时，的长.

19.（本题9分）随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为人民群众喜闻乐见的运动方式.为让青少年以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，并随机在八、九年级各抽取了20名学生的成绩（百分制），部分过程如下：

收集数据：八年级20名学生的成绩如下：

80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，85

整理数据：八年级20名学生成绩频数分布表：

分析数据：八、九年级20名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下表：

请根据上述信息，回答下列问题：

（1）填空：________，________；

（2）估计该校九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数；

（3）在收集九年级20我学生成绩的过程中，误将一个数据“80”写成了“85”，小宇认为从中位数角度看，不会影响该校学生户外运动知识一般水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由；

（4）随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增长，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动项目逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式之一.为近一步了解户外运动的参与群体，小宇和小强收集了印有这四种户外运动项目的图案的卡片（依次记为，，，，除正面编号和内容外，其余完全相同）.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是（骑行）和（爬山）的概率.

20.（本题8分）随着智慧校园的建设和推动，人脸识别系统被广泛应用于各学校，记录师生的入校时间，仪表检查，实现多效功能；如图①是一款人脸识别终端，图②是其侧面示意图，其中为底座，撑板，屏幕，底座与撑板的夹角，屏幕可绕点旋转.当撑板与屏幕的夹角时，求点到底座的距离.（结果精确到.参考数据：，，，，，）

21.（本题8分）阅读与思考

阅读下列材料，并完成相应任务.

任务：

（1）横线上应填空的条件是________；

（2）请你根据小明的思路写出方程的实数根的情况的探究过程；

（3）尝试推断方程的实数根的个数为________.

22.（本题13分）综合与实践

问题情境：

在“数学活动”课上，老师让同学们利用如下图形进行图形变换的有关探究.如图①，已知四边形，其中，，，对角线平分.

数学思考：

（1）“勤学小组”在图①的基础上连接，经过观察发现，请证明这个结论；

猜想证明：

（2）“奋进小组”在图①的基础上，将沿方向平移，得到，连接，，如图②，当时，试判断四边形的形状，说明理由并求出此时平移的距离；

（3）“好问小组”在图①的基础上，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，如图③，请判断线段和的数量关系，并加以证明；

（4）在图③中，若，请直接写出线段的长度.

23.（本题13分）综合与实践

如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为.过点作，交于点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的长度最大时，求线段的最大值，并写出此时点的坐标；

（3）连接，试探究，在点运动的过程中，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

2023年山西省初中学业水平考试

数学

快速对答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.  12.30  13.  14.  15.1.6

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）（以下给出了各题的一种解法及评分标准，其他符合题意的解法请参照相应题的解答赋分）

16.解：（1）原式………………………………………………（3分）

；…………………………………………………………（4分）

（2）任务一：①小辉；……………………………………………………（5分）

等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；……（6分）

②三；…………………………………………………………………………（7分）

去括号时，括号外是“-”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；………………（8分）

或①小莹；……………………………………………………………………（5分）

等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）；…………（6分）

②四；…………………………………………………………………………（7分）

移项未变号；……………………………………………………………………………………（8分）

任务二：正确的解为……………………………………………………………………（9分）

任务三：②-①×2.（答案不唯一）………………………………………………………………（10分）

17.解：设雄忻高铁的设计时速为千米/小时，………………………………………………（1分）

根据题意得，，…………………………………………………………（3分）

解得，……………………………………………………………………………………（4分）

经检验，是原分式方程的解，且符合题意.……………………………………（5分）

答：雄忻高铁的设计时速为350千米/小时.……………………………………………………（6分）

18.解：（1）④；……………………………………………………………………（1分）

（2）补全图形如解图；……………………………………………………………………（4分）

∵四边形是平行四边形，∴，，∴.

∵，，∴.

∴，∴.……………………………………………………（6分）

∵，∴，是等腰直角三角形，

∴，∴，……………………………………（7分）

设，则，根据勾股定理，得，

∴，解得，

即的长为.…………………………………………………………………………（8分）

19.解：（1）4；………………………………………………………………………………………………（1分）

77.5；…………………………………………………………………………………………（2分）

（2）由表知八年级20名学生成绩的优秀率为10%，

∵八年级20名学生中，成绩在90分以上的人数为2人，所占百分比为，

∴可知成绩在90分以上为优秀，…………………………………………………………（3分）

∴（人）.

答：九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数约为125人；………………（4分）

（3）小宇的结论不正确.………………………………………………………………（5分）

理由：由表知九年级20名学生成绩的中位数为82.5，将数据“80”识破写成了“85”，中位数有可能变大，即反映该校学生户外运动知识一般水平的情况发生变化，故小宇的结论不正确；…………（6分）

（4）画树状图如解图；

………………………………………………（8分）

由画树状图知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（骑行）和（爬山）的结果有2种，

∴（抽到的两张卡片恰好是（骑行）和（爬山））.…………………………（9分）

20.解：如解图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，……（1分）

在中，∵，，，

∴.…………………………（3分）

∵，∴.

又∵，∴.………………………………………………（4分）

在中，∵，，，

∴.………………………………（6分）

∵，∴四边形是矩形，

∴.…………………………（7分）

答：点到底座的距离约为.………………………………………………（8分）

21.解：（1）；……………………………………………………………………（1分）

（2）方程可变形为，………………………………（2分）

设，，……………………………………………………………………（3分）

画出两函数图象如解图，………………………………………………………………………………（4分）

观察图象可知，两函数图象有两个交点，…………………………………………（5分）

故方程有两个不相等的实数根；………………………………（6分）

（3）一个.………………………………………………………………………………（8分）

22.解：（1）∵平分，

∴.………………………………………………………………（1分）

又∵，，

∴，…………………………………………（2分）

∴，，

∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，

∴是线段的垂直平分线，

∴；…………………………………………………………………………（3分）

（2）四边形是矩形.…………………………………………………………（4分）

理由：∵，∴.

又∵，

∴，∴.

又∵，∴，∴四边形是平行四边形.

又∵，∴四边形是矩形，…………………………………………（5分）

∴.

又∵，∴.

如解图，过点作于点，…………………………………………（6分）

∵在中，，，∴，

∴，

∴在和中，根据勾股定理得，，

∴，即此时平移的距离为；……………………（7分）

（3）.…………………………………………………………（8分）

证明：由（1）知，

∴，，，∴，

∴，即.……………………（9分）

又∵，，∴，

∴；………………………………………………………………（11分）

（4）的长为.………………………………………………………………（13分）

23.解：（1）将，分别代入中，

得解得……………………………………………………（2分）

∴抛物线的函数表达式为；………………………………（3分）

（2）在中，令，得，∴.

又∵，，∴，，，∴.

如解图，过点作轴的平行线，交于点，…………………………（4分）

∵，∴.∵，∴，

∴，∴，即，

∴.…………………………………………（5分）

设直线的函数表达式为，

将，代入，得解得

∴直线的函数表达式为.……………………………………（6分）

∵，∴，

∴，

∴，……………………………………（7分）

∴当时，有最大值，最大值为，…………………………………………（8分）

此时点的坐标为；……………………………………………………（9分）

（3）存在点，点的坐标为或.………………………………（13分）