高考物理二轮复习 第1部分 专题4 微专题5 电磁感应中的双杆模型

这是一份高考物理二轮复习 第1部分 专题4 微专题5 电磁感应中的双杆模型，共11页。
[典例] (2021·河南开封六校联考)两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其他部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，求：
(1) 棒cd达到的最大速度；
(2)在运动中产生的焦耳热最多是多少；
(3)当棒ab的速度变为初速度的eq \f(3,4)时，棒cd的加速度是多大。
审题指导：两个物体相互作用过程，优先从动量、能量守恒角度考虑。两棒受力情况如图所示。
[规范解答] (1)从开始到两棒达到相同速度v的过程中，两棒的总动量守恒，当两棒速度相等时，cd棒达到最大速度
有mv0＝2mv
解得v＝eq \f(1,2)v0。
(2)根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热
Q＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－eq \f(1,2)·2mv2＝eq \f(1,4)mveq \\al(2,0)。
(3)设棒ab的速度变为eq \f(3,4)v0时，cd棒的速度为v′，
则由动量守恒定律可知mv0＝eq \f(3,4)mv0＋mv′
得v′＝eq \f(1,4)v0
此时回路中的感应电动势和感应电流分别为
E＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)v0－v′))Bl，
I＝eq \f(E,2R)
此时棒cd所受的安培力F＝BIl＝eq \f(B2l2v0,4R)
由牛顿第二定律可得棒cd的加速度大小为
a＝eq \f(F,m)＝eq \f(B2l2v0,4mR)，方向水平向右。
[答案] (1)eq \f(1,2)v0 (2)eq \f(1,4)mveq \\al(2,0) (3)eq \f(B2l2v0,4mR)
反思感悟：解答“双杆”模型的三个技巧
(1)确定电源：两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝Bl|v1－v2|。
(2)分析电路结构：分析内、外电路，以及外电路的串并联关系，画出等效电路图。
(3)动量、能量分析：双杆系统所受外力的矢量和为零，首先用动量守恒定律求速度，再用能量守恒定律求电能。
[考向预测]
1．(多选)(等距、光滑、初速度、恒力)(2021·山东名校联考卷)一空间有垂直纸面向里的水平匀强磁场，两根电阻不计的足够长平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示。磁感应强度B＝0.5 T，两导轨间距为0.2 m；导体棒ab、cd紧贴导轨放置，电阻均为0.1 Ω，质量m均为0.1 kg，长度均为0.2 m；现用恒力F＝2 N向上拉动静止的导体棒ab的同时，将cd以初速度v0＝10 m/s向下释放(导体棒ab、cd始终与导轨垂直且接触良好)，重力加速度g取10 m/s2，当两导体棒稳定后，下列说法正确的是( )
A．ab、cd棒均做匀加速直线运动
B．ab、cd棒均做匀速直线运动
C．ab、cd棒速度大小相等
D．cd棒的速度大小是ab棒的3倍
BD [开始时导体棒cd切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv0＝1 V，回路中的感应电流为I＝eq \f(E,2R)＝5 A，导体棒cd、ab所受的安培力大小皆为F安＝BIL＝0.5 N，对两棒受力分析可知，ab棒受到的合力向上，故ab棒向上做加速运动，cd棒受到的合力向下，故cd棒向下做加速运动，两棒运动速度越来越大，可知回路中产生的感应电流也越来越大，两导体棒受到的安培力也越来越大，当安培力等于1 N时，两导体棒受力平衡，之后均做匀速直线运动，且ab棒向上做匀速直线运动，cd棒向下做匀速直线运动，故选项A错误，B正确；两导体棒达到稳定后，设导体棒ab向上运动的速度大小为vab，导体棒cd向下运动的速度大小为vcd，电路中的感应电动势为E总＝BLvab＋BLvcd，回路中总电流I总＝eq \f(E总,2R)，ab棒受到的安培力大小为F′安＝BI总L，又ab棒受力平衡，则有F－F′安－mg＝0，同时对导体棒ab、cd整体由动量定理有(2mg－F)t＋mv0＝－mvab＋mvcd，联立解得vab＝5 m/s，vcd＝15 m/s，故选项C错误，D正确。故选BD。]
2．(等距、初速度、光滑、平行)如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0，求：
(1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小；
(2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能；
(3)两棒之间距离增加量Δx的上限。
[解析] (1)设当cd棒速度减为0.8v0时ab棒的速度为v′，由动量守恒定律有mv0＝0.8mv0＋mv′①
解得v′＝0.2v0
此时回路的电流是I＝eq \f(Bl0.8－0.2v0,2R)②
cd棒的加速度为a＝eq \f(BIl,m)③
解得a＝eq \f(3B2l2v0,10mR)。
(2)设两棒稳定时共同的末速度为v，根据动量守恒定律有
mv0＝(m＋m)v④
得v＝eq \f(1,2)v0⑤
Q＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－eq \f(1,2)(m＋m)v2＝eq \f(1,4)mveq \\al(2,0)。
(3)由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的感应电动势E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(BlΔx,Δt)⑥
这段时间内回路的电流为eq \(I,\s\up6(－))＝eq \f(E,2R)⑦
对ab棒由动量定理得Beq \(I,\s\up6(－))lΔt＝mv⑧
由⑤～⑧解得Δx＝eq \f(mRv0,B2l2)。
[答案] (1)eq \f(3B2l2v0,10mR) (2)eq \f(1,4)mveq \\al(2,0) (3)eq \f(mRv0,B2l2)
3．(等距、初速度、光滑、平行)(2021·山东聊城高三检测)如图所示，水平放置的两根光滑平行金属导轨固定在桌面上，导轨间距为L，处在磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中。桌面离地面的高度为H。初始时刻，质量为m的杆ab与导轨垂直且处于静止，距离导轨边缘为d，质量也为m的杆cd与导轨垂直，以初速度v0进入磁场区域，最终发现两杆先后落在地面上。已知两杆的电阻均为R，导轨电阻不计，两杆落地点之间的距离为s，重力加速度为g。
(1)求ab杆从磁场边缘射出时的速度大小；
(2)当ab杆射出时，求cd杆运动的距离；
(3)在两根杆相互作用的过程中，求回路中产生的电能。
[解析] (1)设ab、cd杆从磁场边缘射出时的速度分别为v1、v2，设ab杆落地点到抛出点的水平距离为x1，cd杆落地点到抛出点的水平距离为x2，则有
x1＝v1eq \r(\f(2H,g))
x2＝v2eq \r(\f(2H,g))
且x2－x1＝s
根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2
解得v2＝eq \f(v0,2)＋eq \f(s,2)eq \r(\f(g,2H))，v1＝eq \f(v0,2)－eq \f(s,2)eq \r(\f(g,2H))。
(2)ab杆运动距离为d，对ab杆应用动量定理，有
BILΔt＝BLq＝mv1
设cd杆运动距离为d＋Δx
q＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(BLΔx,2R)
解得Δx＝eq \f(2Rmv1,B2L2)
cd杆运动距离为d＋Δx＝d＋eq \f(Rm,B2L2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0－s\r(\f(g,2H))))。
(3)根据能量守恒定律，电路中产生的电能等于系统损失的机械能，即
Q＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＝eq \f(1,4)mveq \\al(2,0)－eq \f(mgs2,8H)。
[答案] (1)eq \f(v0,2)－eq \f(s,2)eq \r(\f(g,2H)) (2)d＋eq \f(Rm,B2L2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0－s\r(\f(g,2H)))) (3)eq \f(1,4)mveq \\al(2,0)－eq \f(mgs2,8H)
4．(不等距、光滑、恒力、平行)如图所示，两根质量均为m＝2 kg的金属棒垂直放在光滑的水平导轨上，左右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间有大小相等但左、右两部分方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻。现用250 N的水平拉力F向右拉CD棒，CD棒运动s＝0.5 m时，其上产生的焦耳热为Q2＝30 J，此时两棒速率之比为vA∶vC＝1∶2，现立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求：
(1)在CD棒运动0.5 m的过程中，AB棒上产生的焦耳热；
(2)撤去拉力F瞬间，两棒的速度大小vA和vC；
(3)撤去拉力F后，两棒最终匀速运动的速度大小vA′和vC′。
[解析] (1)设两棒的长度分别为l和2l，所以电阻分别为R和2R，由于电路中任何时刻电流均相等，根据焦耳定律Q＝I2Rt可知Q1∶Q2＝1∶2，则AB棒上产生的焦耳热Q1＝15 J。
(2)根据能量守恒定律
有Fs＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋Q1＋Q2
又vA∶vC＝1∶2，联立以上两式并代入数据得
vA＝4 m/s，vC＝8 m/s。
(3)撤去拉力F后，AB棒继续向左做加速运动，而CD棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电路中电流为零，即两棒切割磁感线产生的电动势大小相等，此时两棒的速度满足
BLvA′＝B·2LvC′
即vA′＝2vC′(不对过程进行分析，认为系统动量守恒是常见错误)
对两棒分别应用动量定理，规定水平向左为正方向，有
eq \(F,\s\up6(－))A·t＝mvA′－mvA
eq \(F,\s\up6(－))C·t＝－mvC′－(－mvC)。
因为FC＝2FA，故有eq \f(v′A－vA,vC－vC′)＝eq \f(1,2)
联立以上各式解得vA′＝6.4 m/s，vC′＝3.2 m/s。
[答案] (1)15 J (2)4 m/s 8 m/s (3)6.4 m/s 3.2 m/s
5．(等距、初速度、光滑、平行)(2021·山东青岛高三检测)如图所示，平行光滑金属导轨由eq \f(1,4)竖直圆弧轨道MNM′N′和无限长水平轨道PQP′Q′平滑连接，在连接处有宽度很窄的无磁场区域PP′N′N，轨道MNM′N′间存在与轨道垂直的辐向分布磁场，PQP′Q′轨道间存在竖直向上的匀强磁场，金属棒a从轨道顶端由静止开始下滑，与静止于PP′N′N区域内的金属棒b发生弹性碰撞。已知a棒的质量为m、电阻为r，b棒的质量为eq \f(1,3)m、电阻为2r，圆弧轨道半径为R，导轨的间距都为L，轨道上的磁感应强度大小均为B，金属棒a与b碰前达到最大速度时距轨道顶端的高度为eq \f(R,2)，碰后一直到两棒稳定过程中通过b棒的电量为q。重力加速度为g，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不考虑导轨的电阻与回路的自感，求：
(1)金属棒a与b碰前所能达到的最大速度v；
(2)金属棒a与b碰前的速度大小v0；
(3)金属棒a与b碰前运动过程中，a棒产生的焦耳热Qa。
[解析] (1)设a棒速度为v时，切割产生的感应电动势为E，感应电流为I，安培力大小为FA，和圆轨道圆心的连线与水平成θ角，则E＝BLv
I＝eq \f(BLv,3r)
FA＝eq \f(B2L2v,3r)
此时a棒沿切线方向加速速度为0，有mgcs θ＝FA
cs θ＝eq \f(\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))eq \s\up12(2)),R)
联立解得v＝eq \f(3\r(3)mgr,2B2L2)。
(2)设a棒运动到NN′时的速度为v0，a和b棒碰撞后的速度分别为v1和v2，碰撞过程中
mv0＝mv1＋eq \f(1,3)mv2
eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)m))veq \\al(2,2)
a和b棒在水平轨道PQP′Q′运动时，二者所受合外力为零，动量守恒
mv1＋eq \f(1,3)mv2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,3)m))v
a棒在水平轨道PQP′Q′间运动时，由动量定理得
eq \x\t(FA)t＝mv－mv1
eq \x\t(FA)t＝BqL
联立得v0＝eq \f(4BqL,m)。
(3)设a棒在圆弧轨道下滑过程中，安培力做的功大小为WA，有
mgR－WA＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
WA＝Qa＋Qb
Qb＝2Qa
联立解得Qa＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mgR－\f(8q2B2L2,m)))。
[答案] (1)eq \f(3\r(3)mgr,2B2L2) (2)eq \f(4BqL,m) (3)eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mgR－\f(8q2B2L2,m)))
题型一(等距、初速度、光滑、平行)
题型二(不等距、初速度、光滑、平行)
题型三(等距、恒力、光滑、平行)
示意图
导体棒长度L1＝L2
导体棒长度L1＝2L2，两棒只在各自的轨道上运动
导体棒长度L1＝L2
图象观点
力学观点
棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒以相等的速度匀速运动
棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，速度之比为1∶2
开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动
动量观点
两棒组成的系统动量守恒
两棒组成的系统动量不守恒
对单棒可以用动量定理
两棒组成的系统动量不守恒
对单棒可以用动量定理
能量观点
系统动能的减少量等于产生的焦耳热
系统动能的减少量等于产生的焦耳热
拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(焦耳热)：W＝Q＋Ek1＋Ek2