安徽部分名校2021-2022学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

绝密★启用前

2021- 2022 学年（下）高二年级阶段性测试（期末）

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B.

2. 已知复数z的共轭复数为，若+i=4 +2i，则z=（    ）

A. 17 B. 18 C. 24 D. 25

【答案】A

【解析】

【分析】先由已知条件求出，然后求出，从而可求出的值

详解】由+i=4 +2i，得，

所以，

所以，

故选：A

3. 已知函数的图象是一条连续的曲线，设p：的定义域为一个闭区间；q：的值域为一个闭区间.则p是q的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分与必要条件的定义，结合函数的性质判断即可

【详解】当的定义域为一个闭区间时，因为连续，故的值域一定为一个闭区间；当的值域为一个闭区间时，若的最大与最小值均在区间内取得，且区间为开区间时，满足的值域为一个闭区间，但的定义域不为一个闭区间.故p是q的充分不必要条件.

故选：A

4. 在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声 ，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲、乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过2s听到第一声，又过3s听到第二声，则该椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题，由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为、、，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即

【详解】如图，甲在，乙在，直接传播路径有，即，由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为，即；声音经过B反射，传播路程为，即，

因为，所以，，故第一声为，第二声为，

因为声音速度恒定，故，故，

故选：B

5. 现有10本书，其中有4本不同的英文读物，6本不同的中文读物，某学生计划一年看完这10本书，为了缓解疲劳，要求英文读物不能相邻阅读，则可以排出的阅读顺序总数为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】不相邻问题用插空，首先将6本不同的中文读物排好，再将4本不同的英文读物插入所形成的个空中的个空，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：依题意首先将6本不同的中文读物全排列则有种排法，

再将4本不同的英文读物插入所形成的个空中的个空有种排法，

按照分步乘法计数原理可得一共有种排法；

故选：D

6. 某中学共有2400名男生，为了解该校的男生身高情况，随机抽取该校100名男生，测量身高，通过数据分析得到该校男生的身高H（单位：cm）服从正态分布N（176，52），若将H≥191的学生视为超高，则该校超高的男生约有（    ）

参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ +σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.

A. 1名 B. 2名 C. 3名 D. 4名

【答案】C

【解析】

【分析】由该校男生的身高H（单位：cm）服从正态分布N（176，52），得，从而求得，由此可求得答案.

【详解】解：因为该校男生的身高H（单位：cm）服从正态分布N（176，52），所以，

所以，

所以该校超高的男生约有，

故选：C.

7. 已知向量，若在上的投影向量为，则 =（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再求出

【详解】因为，

所以在上的投影向量为

，

所以

因为，

所以，

故选：B

8. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 在区间[0，2π]上存在零点

C. 的图象的对称中心为（ ）

D. 的图象的对称轴方程为（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的图象的伸缩变换以及平移变换的规律，求出函数的解析式，判断A;令函数等于0，求得x的表达式，可判断B;根据正弦函数的性质，求出函数的对称中心和对称轴，即可判断C,D.

【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，

得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，故A错误；

令,则，无论k取何值，

则上函数无零点，B错误；

由B的分析可知的对称中心为，，故C错误；

令，则，

即的图象的对称轴方程为（），故D正确，

故选：D

9. 已知函数的定义域是R，为偶函数，，且，则（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知条件可得函数是以4为周期的周期函数，然后利用周期可求得结果

【详解】因为为偶函数，

所以，所以，

所以，

所以，

所以，

所以函数是以4为周期的周期函数，

所以

，

故选：C

10. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，分析可得，当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，设出直线的方程，将抛物线的方程，由可求得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角.

【详解】抛物线的准线为，焦点为，易知点，

过点作，垂足点为，由抛物线的定义可得，

易知轴，则，所以，，

当取得最大值时，取最小值，此时最大，则直线与抛物线相切，

由图可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立可得，则，解得，

因此，直线的倾斜角为或.

故选：D.

11. 设数列{an}中，an是不大于的最大整数，其中，则a1+a2 +……+a100=（    ）

A. 525 B. 615 C. 625 D. 715

【答案】C

【解析】

【分析】根据，以及平方数的特点，即可列举求值.

【详解】由题意可知：，表示不大于的最大整数，故当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，当时，当时，，当时，

故时，，当时，，以此类推，

进而可得

故选：C

12. 如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将棱台的截面拿出来分析，根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上，列方程找出梯形上下底之间的关系即可.

【详解】

把棱台的截面拿出来分析，

如图所示，根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上，

注意到梯形的底角是，解得，

设球心，，

于是是等边三角形，，可确定球心在梯形下底下方.

于是，，故，

，

又上下底面正方形的对角线，

于是上、下底面积之比为.

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数，是的导函数，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】对求导后，令代入即可求解.

【详解】由，可得即.

故答案为：.

14. 如图，在边长为的正方形ABCD中，点A1，B1，C1，D1分别为正方形ABCD各边的中点，点A2，B2，C2，D2分别为正方形A1，B1，C1，D1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn的面积为an，若数列{an}的前m项和Sm =，则m=___________.

【答案】6

【解析】

【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得；

【详解】解：因为，，

依题意可得，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，又，

所以，即，所以；

故答案为：

15. 为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据：

现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则E（X） =________.

【答案】##

【解析】

【分析】随机抽查的名学生中，语文分数大于数学分数的人有人，则语文分数不大于数学分数的人有人，分别利用古典概型计算出概率，由期望公式可得答案．

【详解】随机抽查的名学生中，语文分数大于数学分数的人有人，则语文分数不大于数学分数的人有人，

，

，

，

则.

故答案为：

16. 满足不等式的实数m的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】构造函数，可判断其奇偶性和单调性，进而根据条件的特征转化为，根据的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】令，则，故在上单调递增，又，所以是上的奇函数，

由可得即可得，故，即，进而解得：，

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求B；

（2）若，求的面积

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别用正弦定理边化角，正弦和公式，以及即可化简，求得B

（2）结合B的值，由余弦定理角化边， 即可组成方程组求解a、c，最后用可求面积

【小问1详解】

由正弦定理得，，

因为，所以，

又，即.

因为锐角三角形，所以；

【小问2详解】

由余弦定理得，

所以，

解得，所以，

所以的面积为：

18. 在各项均为正数的等比数列{an}中，已知.

（1）求{}的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为 ，证明：

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意列出方程组，解得，即可求得答案;

（2）由（1）结论求得，即可由裂项求和法求得数列的前n项和，结合构造函数判断函数的单调性，即可证明不等式.

【小问1详解】

由题意知 ,设其公比为q（），

由题意 ，即 ，

解得,  

所以

【小问2详解】

由已知得 ,

所以

所以,

不等式可化为，即故只需证明，

设函数，当 时，，

由于，故 ，

所以在上单调递增，

所以当 时，，

因此 ，故原命题得证,即.

19. 为了解温度对物质参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x（单位：°C）与的转化率y% （转化率=）的数据如下表所示：

（1）求y与x的相关系数（结果精确到0.01）；

（2）该研究小组随后又进行了一次该实验，其中的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的..

参考数据： ，，，.

参考公式：相关系数

【答案】（1）   

（2）85°C

【解析】

【分析】（1）计算出，带入相关系数的计算公式，即可算出答案.

（2）由线性回归方程必过样本中心点，即可算出的值，根据题意算出带入回归方程即可算出答案.

【小问1详解】

，

所以

；

【小问2详解】

根据回归直线的性质，，即，得.

由条件可知，

令，得，

因此估计这次实验是在85°C的温度条件下进行的.

20. 如图所示，在三棱锥A -BCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且，BC⊥AC.

（1）证明：BC⊥平面ACD；

（2）若点F为棱BC的中点，，且，求平面CDE与平面ABD夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由勾股定理逆定理证得AD⊥BD，由已知面面垂直证得线面垂直，然后证得AD⊥BC，根据线面垂直判定定理得出线面垂直.

（2）建立坐标系，计算出所需点的坐标，设出法向量，列出方程并计算出所需平面的法向量，计算二面角的余弦值.

【小问1详解】

由条件可得，所以AD⊥BD．

因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD= BD，

所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC．

又BC⊥AC，AC∩AD=A，

所以BC⊥平面ACD.

小问2详解】

因为BC⊥平面ACD，所以BC⊥CD．所以BC=.

以C为坐标原点，直线CD，CB分别为x，y轴，过点C且垂直于平面BCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则

设平面CDE的法向量为，

则

取，则，

,设平面ABD的一个法向量为，

则，取，

设平面CDE与平而ABD的夹角为θ，.

则

故平面CDE与平而ABD的夹角的余弦为.

21. 设直线x=m（m>0）与双曲线C：的两条渐近线分别交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为.

（1）求m的值；

（2）与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.

【答案】（1）m=1    （2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求出渐近线方程，然后可得点A，B两点的坐标，再由△OAB（O为坐标原点）的面积为，列方程可求出，

（2）设l与x轴交于点（p，0） ，则l的方程为（），将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，由，F，N三点共线，得，将坐标代入化简可求出，从而可得结论

【小问1详解】

双曲线C：（m >0）的渐近线方程为，

不妨设点A在x轴上方，则A，B两点的坐标分别为（m，m）和（m， -m），

所以       

解得m=1.

【小问2详解】

由（1）知C：，则F的坐标为（2，0），

设l与x轴交于点（p，0） ，则l的方程为（），

设.则.

联立，得，

由题可知，所以

因为，F，N三点共线，所以，

即，即，

所以

因为k≠0，所以，

所以，

所以，

所以

解得，    

所以直线l经过x轴上的定点

22. 已知函数

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若当x> -1时f（x）≤ax2 ，求实数a的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）   

（2）

【解析】

【分析】(1)求导，根据导函数的符号即可判断；

(2)构造函数 ，对a分类讨论，求的最大值即可.

【小问1详解】

，    

令，得，

当 时，，当时， ，

所以的单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）；

【小问2详解】

令 ，由条件知，

，

设

，

当 时， ， 有2个零点；

∴当，由韦达定理知 有一正一负两个零点，不妨设 ，

则当时，，，所以h（x）在（0，x2）上单调递增，

所以当时，，不符合条件，

若，因为x> -1，

所以，

则当时，，当时，，

所以在（ -1，0）上单调递增，在（0， +∞）上单调递减，.

所以，符合条件，

综上可得，的单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）；实数a的取值范围是.