初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀课后练习题

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第十九章：一次函数重点题型复习


题型一 函数的概念的理解与运用
【例1】婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁的2倍、3倍，上述过程中，自变量是（  ）
A．年龄 B．婴儿 C．体重 D．倍数
【答案】A
【解析】年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重，年龄是自变量，体重是因变量，故A正确．


【变式1-1】下列说法正确的是（ 　   ）
A．变量x，y满足y=13x+1，则y是x的函数
B．变量x，y满足y2=x，则y是x的函数
C．变量x，y满足y=x，则y是x的函数
D．在V=43πr2中，43是常量，r是自变量，V是r的函数
【答案】A
【解析】A. 变量x，y满足y=13x+1，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则y是x的函数；
B. 变量x，y满足y2=x，，对于自变量x的每一个值，y都有两个值与它对应，则y不是x的函数；
C. 变量x，y满足y=x，对于自变量x的每一个值，y都有两个值与它对应，则y不是x的函数；
D. 在V=43πr2中，43π是常量，r是自变量，V是r的函数. 故选A.


【变式1-2】变量x，y有如下关系：①y＝3x2；②y2＝8x．其中y是x的函数的是________．（填序号）
【答案】①
【解析】y＝3x2，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
②y2＝8x，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义．


【变式1-3】下列所述不属于函数关系的是（    ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
【答案】D
【解析】A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确；
B、x+2随x的变化而变化，是函数关系，故本选项正确；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确；
D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，故选：D．


【变式1-4】下列关系式中，y不是x的函数的是（　　）
A．y=x4 B．y=6x2+5 C．|y|=x D．y=12x
【答案】C
【解析】A、y=x4，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数;
B、y=6x2+5，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数;
C、|y|=x，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数;
D、y=12x，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数；故选：C．

题型二 函数自变量的取值范围
【例2】函数y=x5x−66中，自变量的取值范围是_____.
【答案】x≠65
【解析】根据题意有，5x−6≠0，解得：x≠65. 自变量的取值范围为：x≠65.


【变式2-1】函数y=x+1−1x−2中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥−1且x≠2
【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：x+1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥−1且x≠2．


【变式2-2】已知函数 y=1x−1
（1）自变量的取值范围为_________；（2）当x=4时，y的值为_________.
【答案】x>1 33
【解析】（1）由题意可得：{x−1≥0x−1≠0 ∴x>1
（2）当x=4时，y=14−1=33


【变式2-3】若点P(x,y)在函数y=1x2+−x的图象上，则点P应在平面直角坐标系中的第_____象限．
【答案】二
【解析】解：由题意可得：x2≠0−x≥0，
∴x<0，
∴ 1x2+−x>0，即y>0，
∴P应在平面直角坐标系中的第二象限．


【变式2-4】如图，设正方形的面积为y(m2),边长为x(m).

（1）求关于x的函数表达式和自变量x的取值范围
（2）分别求当x=5，10时，函数的值。
【答案】（1）y=x2(x>0)
（2）当x=5时，y=25:当x=10时，y=100


题型三 求自变量的值或函数值
【例3】一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是y=5x2+10x，当运动员滑下的时间x=3秒时，他滑下的路程y为 米。
【答案】75
【解析】解：当x=3时，y=5x2+10x=5×32+10×3=45+30=75，
即滑下的路程y为75米。


【变式3-1】以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表

根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是 .
【答案】−40
【解析】解：根据题意得：当摄氏温度值为0°C时，华氏温度值为32℉，且摄氏温度值每增加10℃，华氏温度值增加18℉，
设华氏温度值为y，摄氏温度值为x,则
华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式为y=1810x+32=1.8x+32,
当x=y时，x=1.8x+32,
解得：x=−40,
即当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是−40.


【变式3-2】若函数y=x2+2(x≤2)2x(x>2)，则当自变量x＝4时，函数值是（     ）
A．18 B．8 C．18或8 D．无法判断
【答案】B
【解析】∵x=4＞2，∴将x=4代入y=2x中，得y=8，故选：B．


【变式3-3】跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关．根据经验、跳远的距离s=0.085v2，根据函数表达式解答下面的问题：
（1）分别求当v=6，v=10时的函数值，并说明它们的实际意义．
（2）当v=16时，函数值有意义吗？为什么？
【答案】（1）v=6时，s=3.06；v=10时，s=8.5；它们的实际意义分别是：当助跑速度为6米/秒时，跳远的距离为3.06米；当助跑速度为10米/秒时，跳远的距离为8.5米
（2）v=16时，函数值无意义；理由见解析
【解析】（1）解：当v=6时，s=0.085×62=3.06，表示当助跑速度为6米/秒时，跳远的距离为3.06米；
当v=10时，s=0.085×102=8.5，表示当助跑速度为10米/秒时，跳远的距离为8.5米．
（2）解：因为人类短跑速度的最大值小于16米/秒，所以当v=16时，函数值无意义．


【变式3-4】弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm）与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…

下列说法不正确的是（    ）
A．y与x的函数表达式为y=8+0.5x
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式中一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度”
D．挂30kg物体时，弹簧长度为23cm
【答案】D
【解析】解：A．从表格数据中分析可知，弹簧原长为8cm，每增加1kg物体，弹簧长度就增加0.5cm，所以函数表达式为y=8+0.5x，故A选项正确；
B．当所挂物体为6kg时，弹簧的长度为y=8+0.5×6=11cm，故B选项正确；
C．y与x的函数表达式中一次项系数0.5表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度为0.5cm”，故C选项正确；
D．当所挂物体为30kg时，弹簧长度为y=8+0.5×30=23cm，超过弹簧最长限度20cm，故D选项不正确，符合题意．

题型四 函数图象的识别
【例4】下列图象中，表示y是x的函数的个数有（    ）

A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：属于函数的有：


∴y是x的函数的个数有3个，故C正确．


【变式4-1】某消毒液生产厂家自年初以来，在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．上月底以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意：库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故选：C．


【变式4-2】“龟兔赛跑”中兔子跑得快，一开始领先，但它太骄傲在途中睡了一觉再继续跑；乌龟跑得慢，但一直不停地跑，抵达终点，赢得胜利．下面哪幅图基本反映了比赛的过程？（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解： A．因为乌龟早到终点，故本选项不符合题意；
B．正确，故本选项符合题意；
C．因为兔子跑得快，一开始领先，故本选项不符合题意；
D．乌龟早到终点，故本选项不符合题意； 故选：B


【变式4-3】在地球中纬度地区，从地面到高空大约11km之间，气温随高度的升高而下降，每升高1km，气温大约下降6°C；高于11km但不高于20km，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为20°C，设该城市距离地面高度为xkm0≤x≤20处的气温为y°C，则y与x的函数图像是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃；
当x=11时，y=20-11×6=-46℃，
∴y=-6x+20（0≤x＜11）
当11≤x≤20时，y=-46
根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意．


【变式4-4】下面四个问题中的两个变量：
①去超市购买同一种水果，所付出的总价y与数量x；
②汽车从A地匀速行驶到B地，离B地的距离y与时间x；
③面积为定值的长方形，长y与宽x；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度y与时间x．
每个问题中因变量与自变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）

A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【解析】解：①去超市购买同一种水果，所付出的总价y随数量x的增大而增大；
②汽车从A地匀速行驶到B地，离B地的距离y随时间x的增大而减小；
③面积为定值的长方形，长y与宽x的乘积为定值，长y与宽x不是一次函数关系；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度y随时间x增大而减小；
综上分析可知，②④符合题意，故B正确．


题型五 函数的表示方法
【例5】声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温(x°C)之间的关系如下：
气温(x°C)
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343

从表中可知音速y随温度x的升高而_____．在气温为20°C的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点________米．
【答案】     增大     68.6
【解析】解：从表格可以看到y随x的增大而增大；
20°C时，音速为343米/秒，343×0.2=6米，这个人距离发令点68.6米.


【变式5-1】某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用−支出费用）y（元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）
x（人)
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元)
−3000
−2000
−1000
0
1000
2000
…
请回答下列问题：
（1）自变量为　　，因变量为　　；
（2）y与x之间的关系式是 　　；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润
（2）y=2x−4000
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元
【解析】（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．
（2）解：∵从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，
∴每位乘客坐一次车需要1000÷500=2（元)，
即函数关系式为：y=2(x−500)−3000=2x−4000．
（3）解：当x=4000时，
y=2×4000−4000=4000（元)．
答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．


【变式5-2】用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l关于边长a的函数．
【答案】l=3a(a>0)，图象见解析
【解析】解：∵等边三角形的边长为a，
∴它的周长l为3a，
∴l＝3a，
∴用解析法表示为：l=3a(a>0)．
用图象法表示：
列表如下：
a
…
1
2
…
l
…
3
6
…
如图所示，描点连线



【变式5-3】科学家研究发现，声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x(℃)有关．当气温是0℃时，音速是331米/秒；当气温是5℃时，音速是334米/秒；当气温是10℃时，音速是337米/秒；当气温是15℃时，音速是340米/秒；当气温是20℃时，音速是343米/秒；当气温是25℃时，音速是346米/秒；当气温是30℃时，音速是349米/秒．
（1）请你用表格表示气温与音速之间的关系．
（2）表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?
（3）当气温是35℃时，估计音速y可能是多少?
（4）能否用一个式子来表示两个变量之间的关系?
【答案】（1）见解析；（2）两个变量是：传播的速度和温度，温度是自变量；
（3） 352米/秒； （4） y=331+35x．
【解析】（1）列表如下：
x(℃)
0
5
10
15
20
25
30
y(米/秒)
331
334
337
340
343
346
349
（2）两个变量是：传播的速度和温度，温度是自变量．
（3） 根据表格中音速y（米/秒）随着气温x（℃）的变化规律可知，
当气温再增加5℃，音速就相应增加3米/秒，即为349+3=352（米/秒），
当气温是35℃时，估计音速y可能是：352米/秒．
（4）根据表格中数据可得出：温度每升高5℃，传播的速度增加3，当x=0时，y=331，故两个变量之间的关系为： y=331+35x．


【变式5-4】在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度ycm随所挂物体的质量xkg变化关系的图象如下：

（1）根据图象信息补全表格：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
8
10
12
14
16

（2）写出所挂物体质量在0至5kg时弹簧秤长度ycm与所挂物体质量xkg的关系式；
（3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的．
【答案】（1）18；（2）y=2x+8；（3）当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm．
【解析】解：（1）由题意可知，当x=5时，y=16+2=18，故答案为：18；
（2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm，
根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+8（0≤x≤5）；
（3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm．


题型六 动点问题的函数图象
【例6】如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，ΔABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b−2a=5，则长方形ABCD的周长为（    ）

A．20 B．18 C．16 D．24
【答案】B
【解析】解：根据图2的点(a,10)，可知BC=a，12AB×BC=10，
∴AB=20a，
∴BC+CD+DA=2a+20 a=b，
∴b−2a=20 a，
∵b−2a=5，
∴ 20 a=5，
∴a=4，
∴AB=5，BC=4，
∴长方形ABCD的周长为2×(5+4)=18．故选：B．


【变式6-1】如图，等腰Rt△ABC，AC=BC，∠C=90°，点P由点B开始沿BC边匀速运动到点C，再沿CA边匀速运动到点A为止，设运动时间为t，△ABP的面积为S，则S与t的大致图象是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：假设点P在BC上的运动速度为1，在AC上的运动速度也为1，AC=BC=a，
当点P在BC上的运动时，BP=t，则S△ABP=12BP⋅AC=12at；
当点P在AC上的运动时，AP=a+a−t−a=3a−t，
则S△ABP=12AP⋅BC=32a2−12at，
∴四个选项中只有B选项符合题意．


【变式6-2】如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，正方形除去圆部分的面积为s（阴影面积）则s与t的大致图像为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由图可知，刚开始的时候，阴影部分面积最大，随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分面积开始不再变化，当圆完全穿离正方形时，面积和穿行前的面积一样．故选：A．


【变式6-3】如图1，在直角△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB−BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为（    ）

A．10 B．213 C．52 D．8
【答案】B
【解析】解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，
观察图象x＝0时y＝6，则AC＝6，P从C向B移动的过程中，AP是不断增加的，
而P从B向A移动的过程中，AP是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即x＝a时，BC＝PC＝a，此时y＝a+2，
即AP＝AB＝a+2，AC＝6，BC＝a，AB＝a+2，
∵∠C＝90°，
由勾股定理得：（a+2）2＝62+a2，解得：a＝8，
∴AB＝10，BC＝8，
当点P为BC中点时，CP＝4，
∴AP=AC2+CP2=62+42=213，故选：B．


【变式6-4】如图1，点P从菱形ABCD的顶点D出发，沿D→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点P运动时，△PAB的面积Scm2随时间t（s）变化的关系图象，则m的值为______．

【答案】52
【解析】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E．

由图象可知，点P由点D到点C用时为m秒，△PAB的面积为mcm2．
∴DC=m，
∴ 12AB⋅CE=12DC⋅CE=12m⋅CE=m，
∴ CE=2，
当点P由点C到点A用时为5秒，
∴CA=5，
∴Rt△ACE中，AE=AC2−CE2=52−22=1．
∵ ABCD是菱形，
∴BE=AB−1=m−1，CB=m，
∵Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2，
∴m2=m−12+22，解得m=52．


题型七 正比例函数的定义
【例7】下列函数中，正比例函数是（　　）
A．y=x3 B．y=−2x+1 C．y=2x2 D．y=3x
【答案】A
【解析】A、y=x3是正比例函数，故选项正确；B、C、D不是正比例函数.



【变式7-1】下列各关系中，符合正比例关系的是（　　）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【答案】A
【解析】A．根据正方形的周长公式可得C=4a，这是一个正比例函数；
B．根据速度=路程÷时间可得v=st，这是一个反比例函数；
C．根据剩下的长度=总长−减去的长度可得y=40−x，这是一个一次函数；
D．根据正方体的体积公式，可得V=m3，是一个三次函数，不是正比例函数．
故选：A．


【变式7-2】若函数y=(m−1)x|m|是y关于x的正比例函数，则m=________．
【答案】−1
【解析】根据题意得：m=1m−1≠0，∴m=−1．


【变式7-3】下列正比例函数中，其图象恰好经过点2,−4的是（    ）
A．y=2x B．y=−2x C．y=12x D．y=−12x
【答案】B
【解析】A、把x=2代入y=2x得y=4≠−4，故函数y=2x不经过点2,−4；
B、把x=2代入y=−2x得y=4，故函数y=−2x经过点2,−4；
C、把x=2代入y=2x得y=1≠−4，故函数y=12x不经过点2,−4；
D、把x=2代入y=−12x得y=−1≠−4，故函数y=−12x不经过点2,−4； 故选B．


【变式7-4】若一个正比例函数的图象经过A1,−2，Bm,4两点，则m的值为_______．
【答案】−2
【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kxk≠0，
将A1,−2代入y=kx，得：−2=k，
∴正比例函数解析式为y=−2x，
当y=4时，−2m=4，
解得：m=−2．


题型八 正比例函数的图象与性质
【例8】正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，则直线y=−a−1x经过（   ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∴−a−1<0，
∴直线y=−a−1x经过第二、四象限．故选：C．


【变式8-1】在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A4,b，Ba,3两点，则a，b一定满足的关系式为（    ）
A．a−b=1 B．a+b=7 C．ab=12 D．ab=34
【答案】C
【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kx，将A4,b，Ba,3代入得，b=4k3=ak
∴b4=3a
∴ab=12，故选：C．


【变式8-2】已知正比例函数y=2−kx，如果它的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是________．
【答案】k>2
【解析】解：∵正比例函数y=2−kx的图象经过第二、四象限，
∴2−k<0，
解得：k>2.


【变式8-3】已知正比例函数y=2x的图像过点x1,y1、x2,y2，若x2−x1=5，则y2−y1=_____．
【答案】10
【解析】解：∵正比例函数y=2x的图像过点x1,y1、x2,y2，
∴y1=2x1，y2=2x2，
∵x2−x1=5，
∴y2−y1=2x2−2x1=2x2−x1=2×5=10，故答案为：10．


【变式8-4】对于正比例函数y=kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（　　）
A．3 B．−2 C．−3 D．−0.5
【答案】C
【解析】∵正比例函数y=kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，
∴y−6=kx+2，
∴y−6=kx+2k，
∴2k=−6，
解得：k=−3．故选：C．


题型九 一次函数概念的理解与运用
【例9】有下列函数：①y=πx，②y=2x−1；③y=1x④y=32x2−2x−6x2；⑤y=3x−1x；⑥y=x2−1，其中是一次函数的有（    ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解：因为一次函数的一般形式为y=kx+b(其中k，b是常数且k≠0 )，
所以①②④是一次函数，
③⑤⑥自变量的次数不为1，不是一次函数，故选B．


【变式9-1】若y=m−1x2−m+1是关于x的一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．−1 C．±1 D．±2
【答案】B
【解析】解：∵y=m−1x2−m+1是关于x的一次函数，
∴2−m=1，m−1≠0，
∴m=−1，故选：B．


【变式9-2】一次函数y=a−32x2−a+a2+6的图象过一、二、三象限，则a=____________．
【答案】3
【解析】解：∵一次函数y=a−32x2−a+a2+6的图象过一、二、三象限，
∴2−a=1a−32>0a2+6>0，解得：a=1或a=3，
∵1−32=−12<0，
∴a=1不符合题意舍去，
∴a=3．


【变式9-3】在平面直角坐标系中，直线y=3x+1过点Pa，b，则3a−b+2023的值为______．
【答案】2022
【解析】解：∵直线y=3x+1过点Pa，b，
∴b=3a+1，
∴3a−b=−1，
∴3a−b+2023=−1+2023=2022，故答案为：2022．


【变式9-4】已知关于x的一次函数y=(m−1)x+m2的图象过点0,4，且y随x的增大而增大，求m的值．
【答案】2
【解析】∵关于x的一次函数y=(m−1)x+m2的图象过点0,4，且y随x的增大而增大，
∴m−1>0m2=4，解得m=2．


题型十 求一次函数自变量或函数值
【例10】一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x小时后剩余油量y升．
（1）写出一次加满油后剩余油量y与时间x的函数关系式．
（2）求出自变量的取值范围．
【答案】（1）y=−5x+40（2）0≤x≤8
【解析】（1）解：由题意得：y=40−5x=−5x+40；
（2）解：∵一次加满油40升，
∴5x≤40，解得：x≤8，
∴自变量的取值范围为0≤x≤8．


【变式10-1】如图，等腰三角形ABC的周长为20cm，底边BC长为y（cm），腰AB长为x（cm）．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）腰长AB=3时，底边的长．
【答案】（1）y=−2x+20（2）5 【解析】（1）解：由三角形的周长为20cm，得2x+y=20，
∴y=−2x+20；
（2）∵x，y是三角形的边长，
∴x−x 解得：5 （3）当AB=3，即x=3时，y=−2×3+20=14．
所以腰长AB=3时，底边的长为14cm．


【变式10-2】已知一支蜡烛长20cm，每小时燃烧4cm．设剩下的蜡烛的长度为y cm，蜡烛燃烧了x h．
（1）直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当蜡烛长度为8cm时，蜡烛燃烧的时间是多少？
【答案】（1）y=−4x+200≤x≤5
（2）当蜡烛长度为8cm时，蜡烛燃烧的时间是3小时
【解析】（1）解：设剩下的蜡烛的长度为y cm，蜡烛燃烧了x h，根据题意得，
y=−4x+20，
∵x≥0y≥0
∴−4x+20≥0，
解得：x≤5
∴y=−4x+200≤x≤5；
（2）将y=8，代入y=−4x+20，
即−4x+20=8，
解得：x=3．
即当蜡烛长度为8cm时，蜡烛燃烧的时间是3小时．


【变式10-3】设ycm2表示周长比12cm小x(cm)的正方形的面积，求：
（1）y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）当x=8时函数y的值．
【答案】（1）y=−19x2+160 【解析】（1）正方形的边长为：1312−x =4−13x，
∴y=4−13x2=16−19x2，
∵x>012−x>0，
解得0 ∴y=−19x2+160 （2）当x=8时，y=−19×82+16=809．


【变式10-4】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
（1）求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
（2）当S=12时，求P的坐标．
【答案】（1）S=-4x+40，0 【解析】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，
∴y=10-x，
∴OA=8，P（x，10-x）
∴S=12×8(10-x)=-4x+40．
又∵x>0，且10-x>0，
∴0 （2）当S=12时，即12=40-4x，
解得x=7，
∴y=10-7=3，
∴S=12时，P点坐标（7，3）．


题型十一 列一次函数解析式并求值
【例11】甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点0,−2；乙：y随x的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为______．
【答案】y=−x−2
【解析】解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，
∵函数的图象经过点(0,-2)，∴b=−2 ，
∵y随x的增大而减小，∴k＜0，
当取k=−1时，一次函数表达式为：y=−x−2，
∴满足上述性质的一个函数表达式为：y=−x−2（答案不唯一）．


【变式11-1】已知直线y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与直线y=2x平行，且与直线y=3x+4交于y轴的同一点，则此一次函数的表达式为_____________．
【答案】y=2x+4
【解析】解：∵直线y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与直线y=2x平行，∴k=2，
∵直线y=3x+4与y轴的交点坐标为0，4，且直线y=kx+b与直线y=3x+4交于y轴的同一点，
∴直线y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与y轴的交点坐标为0，4，
∴b=4，∴直线y=kx+b的解析式为：y=2x+4，


【变式11-2】已知：y与x−2成正比例，且当x=4时，y=6
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）若点(2m+1,3)是该函数图象上的一点，求m的值．
【答案】（1）y=3x−6；（2）m=1
【解析】（1）设y=k(x−2)，
把x=4，y=6代入得，
6=k×(4−2)，
解得：k=3，
∴y与x函数关系式为y=3(x−2)=3x−6；
（2）把点(2m+1,3)代入y=3x−6得：
3=32m+1−6，
解得m=1．


【变式11-3】已知函数y=−2x+3．
（1）若Am,7在该函数的图象上，则m= ；
（2）求出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；
（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）−2（2）32,0，0,3（3）94
【解析】（1）解：∵Am,7在该函数的图象上，
∵当x=m时，−2m+3=7，
∴m=−2．
（2）解：当x=0时，y=3；
当y=0时，x=32；
∴图象与x轴交点的坐标32,0，图象y轴的交点的坐标0,3．
（3）解：S=12×32×3=94．
答：函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积94．


【变式11-4】已知一次函数y=kx+b的图象经过点A0，2和点B−a，3，且点B在正比例函数y=−3x的图象上．
（1）求a的值；
（2）求一次函数的表达式
（3）若Pm，y1，Qm−1，y2是此一次函数图象上两点，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）a=1（2）y=−x+2（3）y1 【解析】（1）解：∵点B−a，3在正比例函数y=−3x的图象上，
∴3=−3×−a，
∴a=1；
（2）解：由（1）可得点B的坐标为−1，3，将−1，3和0，2代入y=kx+b中，
得−k+b=3b=2，解得k=−1b=2，
∴一次函数的解析式为y=−x+2；
（3）解：∵−1<0，
∴y随x的增大而减小．
又∵m>m−1，
∴y1

题型十二 画一次函数图像
【例12】在下面的坐标系中画出一次函数y=−3x+1的图象，并判断点A2,5是否在该函数图象上?

【答案】图象见解析，点A2,5不在该函数图象上
【解析】解：令y=0，得−3x+1=0，解得x=13，
令x=0，得y=1，
∴一次函数图象与x轴交点为13,0，与y轴交点为0,1，
图象如图所示：

当x=2时，y=−3×2+1=−5≠5，
∴点A2,5不在该函数图象上．


【变式12-1】（1）画出函数y=x+2的图象．
（2）求函数图象与坐标轴围成的图形的面积；

【答案】（1）见解析（2）2
【解析】（1）解：对于函数y=x+2，
当y=0时，x+2=0，解得x=−2，即经过点−2,0，
当x=0时，y=2，即经过点0,2．
画出函数y=x+2的图象如下：

（2）解：函数图象与坐标轴围成的图形的面积为12×2×2=2．



【变式12-2】已知函数y=m−2xm−1+4是关于x的一次函数．

（1）求m的值；
（2）在如图中画出该函数图象；
（3）y的值随x的值的增大而___________．（填“增大”或“减小”）
【答案】（1）0（2）见解析（3）减小
【解析】（1）解：由y=（m−2）xm−1+4是关于x的一次函数，得
m−2≠0m−1=1，
解得m=0，
即函数解析式为y=−2x+4，
（2）∵y=−2x+4，
当x=0时，y=4，当x=2时，y=0，
过（0，4）和（2，0）画一条直线即可，

（3）∵k=−2，
∴y的值随x的值的增大而减小，故答案为：减小．


【变式12-3】在如图所示的平面直角坐标系中，点A在边长为1的正方形网格的格点上，点A关于y轴的对称点为A'．

（1）写出点A，A'的坐标；
（2）若一次函数y=kx−3的图象经过点A'，在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
【答案】（1）A−2,3；A'2,3（2）画图见解析
【解析】（1）解：由A在坐标系内的位置可得：A−2,3，
而A'与点A关于y轴的对称，
∴A'2,3；
（2）一次函数y=kx−3的图象经过点A'2,3，
∴2k−3=3，
解答：k=3，
∴一次函数为：y=3x−3，
列表：
x
1
0
y=3x−3
0
−3

描点并画图：



【变式12-4】已知一次函数y=−2x−2

（1）根据关系式画出函数的图象
（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标
（3）求A、B两点间的距离．
（4）y的值随x值的增大怎样变化？
【答案】（1）见解析（2）A−1,0，B0,−2（3）5（4）y的值随x值的增大而减小
【解析】（1）列表如下：
x
0
−1
y
−2
0

画图如下：
；
（2）当x=0时，y=0−2=−2
∴图象与y轴的交点坐标为B0,−2，
当y=0时，即0=−2x−2，解得x=−1
∴图象与x轴的交点坐标为A−1,0；
（3）∵A−1,0，B0,−2
∴OA=1,OB=2
∴AB=OA2+OB2=5
∴A、B两点间的距离为5；
（4）∵y=−2x−2，−2<0
∴y的值随x值的增大而减小．


题型十三 一次函数的图象与性质
【例13】关于一次函数y=2x−1的图象和性质，下列叙述正确的是（    ）
A．与y轴交于点0,2 B．y随x的增大而减小
C．函数图象不经过第二象限 D．当x>12时，y<0
【答案】C
【解析】解：A、当x=0时，y=−1≠2， ∴与y轴的交点是0,−1，故此选项错误；
B、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，故此选项错误;
C、∵k=2>0，b=−1<0，∴图象过一、三、四象限，不经过第二象限，故此选项正确;
D、当x>12时，y>0，故此选项错误. 故选：C．


【变式13-1】点P1−3，y1，点P24，y2是一次函数y=−3x+b图像上的两个点，则y1与y2的大小关系是（   ）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1 【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=−3x+b中，k=−3<0，
∴y随x的增大而减小，
∵−3<4，
∴y1>y2．故选：A．


【变式13-2】如图，直线y=kx+b与x轴交于点(−4,0)，则当y<0时，x的取值范围是（    ）

A．x>−4 B．x>0 C．x<−4 D．x<0
【答案】C
【解析】由函数图象可知x<−4时y<0．故选：C．


【变式13-3】已知点a，b，a+1，c在一次函数y=2x−3的图像上，则函数y=4x+c−b的图像不经过（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】解：∵点a，b，a+1，c在一次函数y=2x−3的图像上，
∴2a−3=b2a+1−3=c，
∴c−b=2，
∴函数y=4x+c−b=4x+2的图像不经过第四象限，故选D．


【变式13-4】直线l1：y=kx−b和直线l2：y=bkx+2b在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=bkx+2b中，b>0，不一致；
B、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=bkx+2b中bk<0，b<0，则k>0，一致；
C、直线l1：y=kx−b中k<0，b>0，l2：y=bkx+2b中bk>0，b<0，则k<0，不一致；
D、直线l1：y=kx−b中k<0，b>0，l2：y=bkx+2b中bk<0，b<0，则k>0，不一致． 故选：B．


题型十四 一次函数图象与几何问题
【例14】在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b沿x轴向右平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为（    ）
A．2 B．−2 C．4 D．−4
【答案】C
【解析】解：平移后抛物线的解析式为y=2x−2+b，
将0,0代入解析式可得0=−4+b，
∴b=4，故选：C．


【变式14-1】直线y=kx+b向上平移5个单位长度后与y=5x−1重合，则kb=___________．
【答案】−30
【解析】解：将直线y=kx+b向上平移5个单位长度后得到直线y=kx+b+5=5x−1，
∴k=5，b+5=−1，
即k=5，b=−6，
∴kb=5×−6=−30，故答案为：−30．


【变式14-2】一次函数y=kx+b的图像经过点A2,3，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图像向上平移2个单位长度的表达式是________．
【答案】y=3x−1．
【解析】解：∵函数图像经过点A2，3，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，
∴函数图像经过点3，6，
∴根据题意可得方程：3=2k+b6=3k+b
∴解方程得：k=3b=−3
∴一次函数的解析式为：y=3x−3，
∴函数图像向上平移2个单位长度的表达式为：y=3x−3+2=3x−1,
故答案为：y=3x−1．


【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B(6,2)，，直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则t的值为(   )

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】解：∵平行四边形是中心对称图形，
设t秒后直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则直线经过平行四边形的对角线的交点
∵点B(6,2)，
∴平行四边形对角线的交点坐标为3，1
当y=2x+b过3，1时，则1=2×3+b
解得：b=−5，
∴y=2x+1向下平移6个单位得到y=2x−5，6÷1=6
∴经过6秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．故选：D．


【变式14-4】直线y=k1x+3与直线y=k2x−4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们y轴的交点为分别为A、B，以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为______．

【答案】49
【解析】解：y=k1x+3，令x=0，则y=3，那么A0，3
y=k2x−4，令x=0，则y=−4，那么B0，−4，故AB=7，
则正方形ABCD的面积7×7=49.


题型十五 一次函数与一元一次方程
【例15】关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=1，则直线y=kx+b的图像与x轴的交点坐标是（    ）．
A．1,0 B．0,1 C．0,0 D．−1,0
【答案】A
【解析】∵一元一次方程kx+b=0的解是x=1，
∴当x=1时，y=kx+b=0，
故直线y=kx+b的图像与x轴的交点坐标是1,0．故选：A．


【变式15-1】如图是一次函数y=3x+n的图象，则关于x的一次方程3x+n=0的解是（　　）

A． x=−2 B． x=−3 C． x=32 D． x=−23
【答案】D
【解析】解：从图象可知：一次函数y=3x+n与y轴的交点坐标是0，2，
代入函数解析式得：2=0+n，
解得：n=2，
即y=3x+2，
当y=0时，3x+2=0，
解得：x=−23，
即关于x的一次方程3x+n=0的解是x=−23，故选：D．


【变式15-2】如图是一次函数y=ax−b的图象，则关于x的方程ax−b=1的解为x=______．

【答案】4
【解析】解：∵点4,1在一次函数y=ax−b的图象上，
∴关于x的方程ax−b=1的解是x=4．


【变式15-3】已知方程3x+b=0的解是x=−3，则函数y=3x+b与x轴的交点坐标是______．
【答案】−3,0
【解析】解：∵方程3x+b=0的解是x=−3，
∴函数y=3x+b与x轴的交点坐标是（−3，0）．
故答案为：（−3 ，0）．


【变式15-4】如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程ax+b=4的解是_______．

【答案】x=2
【解析】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，
当x=2时，ax+b=4，
∴方程ax+b=4的解是x=2．


题型十六 一次函数与一元一次不等式
【例16】若一次函数y=(m+2)x−m+3（m是常数）与y轴交于负半轴，则m的值可能是（    ）
A．4 B．3 C．0 D．−3
【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=m+2x−m+3的图象与y轴的负半轴相交，
∴ −m+3<0m+2≠0，
解不等式组得m＞3且m≠−2，
∴解不等式组的解集为m＞3，
在四个选项中只有A符合题意.


【变式16-1】如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)，有下列结论：①当x<0时，y<3；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④关于x的方程kx+b=0的解为x=2；其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【解析】解：由图象得：
①当x<0时，y>3，错误；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；故选：C．


【变式16-2】从−3,−2,−1,0,4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组2x+3<43x−1>−11的解，又在函数y=12x2+2x的自变量取值范围内，则a的值为________．
【答案】−3或−2
【解析】解：解不等式组2x+3<43x−1>−11，
由2x+3<4解得x<12，
由3x−1>−11解得x>−103，
所以，不等式组的解集为−103 函数y=12x2+2x的自变量取值范围为：2x2+2x≠0，
解得x≠0且x≠−1，
所以，−103 所以，a的值为−3或−2，
故答案为：−3或−2．


【变式16-3】一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的部分自变量和对应函数值如下表：
x

…
−2
−1
0
1
2
…
y1

…
5
2
−1
−4
−7
…
y2

…
1
2
3
4
5
…

则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集是______．
【答案】x<−1
【解析】解：根据表可得y1=kx+b中y随x的增大而减小；
y2=mx+n中y随x的增大而增大．且两个函数的交点坐标是(−1,2)．
则kx+b>mx+n的解集为：x<−1．


【变式16-4】如图，已知直线y1=x+m与y2=kx−1相交于点P−1,1，则关于x的不等式x+m>kx−1的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：当x>−1时，y1>y2，
所以关于x的不等式x+m>kx−1的解集为x>−1，
用数轴表示为：． 故选：D．