初中数学人教版八年级下册20.2 数据的波动程度精品练习

20.2 数据的波动程度

1、方差：设有个数据, ,…, ,各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用

来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。

注：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；

当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小。

反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

2、极差：一组数据中最大值与最小值的差，称为这组数据的极差。在反映数据波动程度的各种量中，极差是最简单、最便于计算的一个量。但是它仅仅反映了数据的波动范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大。

3、平均差：每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，即

这个式子可以用来度量数据的波动程度，我们把它叫做这组数据的平均差。

4、标准差：方差的算术平方根，即

，

标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中也常用它度量数据的波动程度。

题型一 求一组数据的方差

【例1】为了解同一型号50辆汽车每耗油所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下数据（单位：）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（　　）

A．20 B．12 C．4 D．2

【变式1-1】小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为，，，，，这组数据的方差为 _____．

【变式1-2】已知一组数据x，，4，1的中位数为1，则其方差为_______．

【变式1-3】若甲组数据，，，，的方差是，乙组数据，，，，的方差是，则____．（填“”、“”或“”）

【变式1-4】甲、乙两台机床同时加工直径为的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下表（单位：）：

（1）分别计算两组数据的平均数与方差；

（2）根据（1）的计算结果，你能知道哪一台机床加工这种零件更符合要求吗？

题型二 已知方差求未知数

【例2】某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则的值是（    ）

A．48 B．50 C．64 D．68

【变式2-1】若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为_____．

【变式2-2】已知样本的平均数为100，方差是2，则________．

【变式2-3】小芳测得连续五天日最低气温并整理后得出下表：

由于不小心被墨迹污染了两个数据，这两个数据分别是_______，_______．

【变式2-4】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______．

题型三 利用方差判断稳定性

【例3】如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（    ）

A．甲 B．一样 C．乙 D．不能确定

【变式3-1】甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：

如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【变式3-2】甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是环，方差如下表：

则这四人中成绩发挥最稳定的是______．

【变式3-3】若甲、乙两人射击比赛的成绩(单位：环)如下：

甲：5,8,8,9,10；乙：7,8,8,8,9.

则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是           （填甲或乙）

【变式3-4】图1，图2分别是某小组月份和月份读书册数的统计图，与月份相比，月份读书册数的变化情况是（    ）

A．中位数变大，方差不变 B．中位数变小，方差不变

C．中位数不变，方差变小 D．中位数不变，方差变大

题型四 求极差

【例4】如图，曲线表示一只蝴蝶某次飞行高度与飞行时间的关系图，那么本次飞行的高度极差为（    ）

A． B． C． D．

【变式4-1】扬州某日天气预报显示最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为______．

【变式4-2】已知一组数据2、、6、4、，这组数据的极差是____________

【变式4-3】一组数据3、5、x、9、6的平均数是7，那么这组数据的极差是____________．

【变式4-4】一组数据的极差为5，则对于另一组数据的极差为（    ）

A．5 B．9 C．10 D．无法确定

题型五 已知极差求未知数

【例5】若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（    ）．

A． B．8或 C．8 D．7或

【变式5-1】某地一周的日最高气温分别本周的日最高气温的极差是，则x的值可能是（    ）．

A．2 B．14 C．2或14 D．8

【变式5-2】某日天气预报说今天最高气温为8℃，气温的极差为10℃，则该日最低气温为_________．

【变式5-3】一组数最大值和最小值相差若组距为，则应分（  ）

A．组 B．组 C．组 D．组

【变式5-4】如果一组数据﹣1，0，2，3，x的极差为6

（1）求x的值；

（2）求这组数据的平均数．

题型六 求标准差

【例6】某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（   ）

A． B．2 C． D．6

【变式6-1】在一次数学测验中，随机抽取了份试卷，其成绩如：则这组数据的标准差为 ___________ ．

【变式6-2】已知一组数据，，3，，6的中位数是1，则这组数据的标准差为_________．

【变式6-3】已知一组数据的方差为2，则这组数据的标准差为 _____．

【变式6-4】某车间有甲、乙两个生产组，甲组工人的月平均工资为6530元，工资的标准差为1275元，乙组工人的月工资资料如下：

（1）计算乙组工人的月平均工资和工资的标准差（计算结果保留整数）；

（2）计算说明甲、乙两个生产组哪个组的月平均工资更具有代表性（计算结果%前保留1位小数）．

题型七 综合应用题

【例7】双手向上掷实心球是2023年福州市初中毕业升学考试体育科目的一个抽考项目．如图是某同学在体育中考前的5次练习成绩制成的统计表，在体育中考结束后，他将自己的实心球成绩录入到这5次练习当中.如果录入后6次成绩的平均值、方差都大致不变，则可以推测这名同学在实心球项目的成绩可能是（　　）

A．7米 B．9米 C．10米 D．11米

【变式7-1】某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示：

根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以（    ）

A． B．

C． D．

【变式7-2】在一次数学测验中，6名学生的成绩分别是85，85，90，95，100，100，统计时误将一位同学的成绩85分记成了80分，则其中不受影响的统计量是（　　）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

【变式7-3】疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

（1）根据所给信息填空：

（2）八年级说他们的最高分人数高于七年级，所以他们的决赛成绩更好，但是七年级说他们的成绩更好，请你说出2条支持七年级的理由．

【变式7-4】武侯区某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动，随机选取了该校八年级的50名学生进行测评，统计数据如下表：

（1）这50名学生的测评成绩的平均数是          分，众数是          分，中位数是          分，方差是          分2；

（2）若该校八年级共有学生300名，测评成绩在90分以上（包含90分）为优秀，试估计该校八年级优秀学生共有多少名？