河北省盐山中学2023届高三模拟数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题

注意事项：

1.考试时间120分钟，总共150分.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效.

4. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.         B.         C.        D.

2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一、二象限       B.第三、四象限       C.第一，四象限        D.第二、三象限

3.已知公比不为1的等比数列满足，则（    ）

A. 40      B. 81       C. 121       D.156

4.已知，满足，则（    ）

A.       B.       C.       D.

5.的展开式中的系数为（    ）

A. -10       B. 10      C. -30       D.30

6.在中，点为与的交点，，则（    ）

A. 0       B.       C.        D.

7.已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（    ）

A.        B.      C. 2       D.

8.已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（    ）

A.0       B. 1       C. 2       D.无数

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9. 某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了90名本校高一高二的学生，其中40名学生来自高一年级，50名学生来自高二年级，经调查，高一年级被调查的这40名学生中有20人认可，有20人不认可；高二年级被调查的这50名学生中有40人认可，有10人不认可，用样本估计总体，则下列说法正确的是（    ）

（参考数据：，，，）

A.高一高二大约有66.7%的学生认可这句话

B.高一高二大约有99%的学生认可这句话

C.依据的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关

D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关

10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，且的最小值为4，为坐标原点，则（    ）

A.

B.存在直线，使得的面积为1

C. 对于任意的直线，都有

D. 当时，直线的倾斜角为或

11.如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B.若平面与平面的交线为，则

C. 三棱柱的外接球的表面积为

D. 当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为

12.已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（    ）

A.函数在上单调递减

B.若函数在内满足恒成立，则

C.存在实数，使得的图象与直线有7个交点

D.已知方程的解为，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.若函数为奇函数，则的最小值为_________.

14.在四棱锥中，平面平面，又为等边三角形，为的中点，为平面内的动点，则直线与直线所成角的正切值最小为____________.

15. 在某一天的幼儿园活动中，5名小朋友每人制作了一个小礼物，每人随机拿一个礼物，则这5名小朋友都没有拿到自己制作的礼物的概率为________________.

16. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为_____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知的内角所对的边分别为，且，角的平分线与边交于点.

（1）求角；

（2）若，求的最小值.

18.（本小题满分12分）

已知正项数列的前项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检检测部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58，36，36，35，33，32，28，26，24，22.

（1）求这30个企业造成污染点的第80百分位数；

（2）已知造成污染点前10名的企业的方差为92，4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差.

20.（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.

（1）证明：平面；

（2）若，,，求平面与平面所成角的大小.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的极值点个数；

（2）若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.

数学参考答案及评分细则

1.B 解析：集合，，所以，故选B.

[命题意图]本题考查知识点为集合的交、补集运算，考查了学生的数学运算素养.

2.D 解析：设，所以，

所以解得或，所以，故选D.

[命题意图]本题考查知识点为复数的运算及几何意义，考查了学生的数学运算素养.

3.C 解析:，所以，

所以，故选C。

[命题意图]本题考查知识点为等比数列基本量运算，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

4.B 解析：，

所以，或，因为，所以，故选B.

[命题意图]本题考查知识点为二倍角公式，考查了学生的数学运算素养.

5.C解析：的展开式中的系数为，故选C.

[命题意图]本题考查知识点为二项展开式的特定项系数，考查了学生的逻辑推理素养.

6.B解析：三点共线，可得，三点共线，

可得，所以

可得，则，故选B.

[命题意图]本题考查知识点为平面向量基本定理，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

7.C解析：因为为的平分线，所以，又因为，

所以，点在渐近线上，，所以点的坐标为，

所以，所以，所以，

所以，可得，故选C.

[命题意图]本题考查知识点为双曲线的几何性质，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

8.C解析：根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，所以对于曲线，切点，对于曲线，

切点，因为公切线过两点，所以，

进而可得，令，.

因为单调递增，且，所以存在使得，即,

所以在上单调递减，在上单调递增，，故.又因为，当时，，因为，所以在内存在，使得，当时，，因为，，所以在内存在，使得，综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，故选C.

[命题意图]本题考查知识点为公切线问题，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

9.AC 解析：随机调查了90名学生，其中一共有60名学生认可，所以认可率大约为66.7%，故A正确，B错误；，又因为，故C正确、D错误，故选AC.

[命题意图]本题考查知识点为独立性检验和样本估计总体，考查了学生的数据分析和逻辑推理素养.

10.AC 解析：为该抛物线的焦点弦. ，故A正确；设直线的倾斜角为，则，故B错误；对于选项C，设，由于为该抛物线的焦点弦，所以，，则，故C正确；由于为该抛物线的焦点弦，所以或，故D错误，故选AC.

[命题意图]本题考查知识点为抛物线与直线的位置关系，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

11.BD 解析：对于选项A，若，又因为平面，但是不一定在平面上，所以A不正确：对于选项B，因为，所以平面，平面平面，所以，所以B正确；对于选项C，取的中心，的中心，的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为，所以C不正确；对于选项D，该几何体的外接球即为三棱柱的外接球，的中点为该外接球的球心，该球心到平面的距离为，点到平面的最大距离为，所以D正确，故选BD

[命题意图]本题考查知识点为组合体的线面位置关系及外接球问题，考查了学生的直观想象和数学运算素养.

12.BCD 解析：因为，所以函数为奇函数，函数的图象如图所示，对于选项A，函数在上不单调，故A错误；对于选项B，，结合图象可知，故B正确：对于选项C，分析可得，当时，的图象与直线有7个交点，故C正确；对于选项D，当方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得.分析图象可知，当时，方程的解为3个，，又因为，，所以，故D正确，故选BCD.

[命题意图]本题考查知识点为函数综合应用，考查了学生数形结合的能力及逆辑推理和数学运算素养.

13.解析：，又，所以的，又最小值为.

[命题意图]本题考查知识点为三角函数的奇偶性，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

14.解析：因为为平面内的动点，所以直线为平面上的任意直线，根据线面角的定义可得，平面的一条斜线与平面上任意直线所成的角中，平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的角为最小角，所以本题可转化为求直线与平面所成的角，因为平面平面，所以直线在平面上的投影为，分析可得，直线与所成角为，所以直线与直线所成角的正切值最小为.

[命题意图]本题考查知识点为异面直线所成角，考查了学生的数学抽象和逻辑推理素养.

15.解析：5人分配5个礼物，基本事件总数，都没有拿到自己制作的礼物所包含的基本事件总数，概率.

 [命题意图]本题考查知识点为错排问题，考查了学生的逻辑推理素养.

16. 解析：假设存在这样的点，使得，则，设点，

则，

即，

该圆对照，所以，所以点，

所以

[命题塞图]本题考查动点轨迹问题以及与圆相关的最值问题，考查了学生转化的思想方法及数学抽象和数学运算素养.

17.解：（1）由正弦定理可得

，

，

即，

又，∴，∴，又，

∴.

（2）根据角的平分线与边交于点，所以，

，即，

所以，即.

当且仅当时，即时，等号成立.

所以的小值为18.

[命题意图]本题考查知识点为正弦定理、三角形面积转化及基本不等式，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

18.解：（1），，两式子作差可得

，

又，所以，

可得数列为公差为2 的等差数列，

当时，，

所以，数列的通项公式为.

（2），

.

所以，数列的前项和.

[命题意图]本题考查知识点为数列求通项与分组求和，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

19.解：（1）根据定义可得，此30个数据从小到大排列，，所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即.

（2）按照金业造成的污染点数从小到大排列，记为，，...，其平均数记为，方差记为；把剩下10个数据记为，，...，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.

由题意可知，，，

则，由题知，

代入数据可得

所以，这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.

[命题意图]本题考查知识点为统计中的用样本估计总体，考查了学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养.

20.解：（1）连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，

又为的中点，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）因为，又，所以平面，所以，

又，所以平面，可得平面平面，

取的中点，因为，所以平面，，

建立如图所示空间直角坐标系，，

由得，则，

设平面的法向量为，

则，

令，所以 ，

因为平面，所以可取平面的法向量为.

设平面与平面所成角为，则，

故平面与平面所成角为.

[命题意图]本题以斜三棱柱为载体，考查了线面平行和二面角，考查空间想象、数形结合等数学思想，考查学生逻辑推理和数学运算等核心素养.

21.解：（1）因为椭圆过点，所以，

设满足，又，

所以椭圆的方程.

（2）直线，代入椭圆，可得，

由于直线交椭圆于两点，所以，整理得.

设，由于点与关于原点对称，所以，

于是有，

，

又，

于是有

故直线的斜率与直线的斜率之和为0.

[命题意图]本题考查知识点为椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.

22.解：（1）已知，

可得

令，则，

函数单调递减，且当时，，故函数先增后减，

当时，，

其中，∴，∴

当时，，

∴函数只有一个零点，∴函数的极值点个数为1.

（2）变形，得，

整理得，

令，则，∵，∴，

若，则恒成立，即在区间上单调递增，

由，∴，∴，∴，此时可取的最大整数为2，

若，令，则，令，则，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以在区间上有最小值，，

于是问题转化为成立，求的最大值，

令，则，∵当时，，单调递减，

当时，单调递增，∴在处取得最大值，

∵，∴，∵，，

，此时可取的最大整数为4.

综上，可取的最大整数为4.

[命题意图]本题考查知识点为导数极值点个数的讨论、恒成立求参问题，考查了学生的逻辑推理和数学运算素养.