山东省济宁市曲阜孔子高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题

2022—2023学年度第二学期

高一年级第二次月考数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上。非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数z满足z－3i＝1，则复数z对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

2．下列说法正确的是（    ）

A．多面体至少有3个面

B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

3．已知向量，，若，则＝（    ）

A． B．3    C．   D．2

4．已知复数z满足（1－i）z＝－2i，则（    ）

A．1－i B．1＋i    C．－1＋i   D．－1－i

5．在正方体中，异面直线AC与所成角的大小为（    ）

A． B．    C．    D．

6．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（    ）

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形  C．直角三角形  D．等边三角形

7．已知向量、满足，，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B．   C．   D．

8．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（    ）．

A． B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的为（    ）

A．z的实部为1 B．z在复平面内对应点的坐标为（－1，－1）

C．z的共轭复数为1＋I D．z的虚部为－1

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．过任意三点有且仅有一个平面

B．m为直线，α，β为不同的两个平面，若m⊥α，m⊥β，则

C．m，n为不同的直线，α为平面，若，，则

D．m，n为不同的直线，α为平面，若m⊥α，n⊥α，则

11．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（    ）

A．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元

B．用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满

C．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120°

D．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米

12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（    ）

A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形

B．若sinA＝2cosBsinC，则△ABC是等边三角形

C．若，则△ABC为钝角三角形

D．若2b＝a＋c，且2cos2B－8cosB＋5＝0，则△ABC是等边三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．正方体的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______．

14．如图，是水平放置的△OAB的直观图，，，，则原△AOB的面积为______．

15．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15nmile的C处．现甲船以35nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25nmile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为______h．

16．已知向量，，若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出证明过程或演算步骤

17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，c＝2，B＝30°

（1）求b

（2）求sinA的值

18．（12分）已知i是虚数单位，复数，．

（1）当复数z为实数时，求m的值；

（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；

19．（12分）在△ABC中，∠BAC＝120°，，AC＝1，，D是边BC上一点，DC＝2BD，设，．

（1）试用，表示；

（2）求的值．

20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若点F是棱AB的中点，求证：平面PAE．

21．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为AE的中点．

（1）求证：平面BDF；

（2）求三棱锥E－BDF的体积．

22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．

（1）求角B的大小；

（2）若，求ABC的面积的最大值．

2022－2023学年度第二学期

高一年级第二次月考数学答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．12π 14．12

15．1 16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出证明过程或演算步骤

17．（10分）

解：（1）由余弦定理，

所以b＝2

余弦定理公式正确给1分

（2）由正弦定理．

余弦定理公式正确给1分

18．（12分）

解：（1）∵z为实数，∴，解得：m＝0或m＝2．

（2）∵z为纯虚数，∴，解得：m＝3

不舍m＝2本小题得4分

19．（12分）

解：（1）∵D是边BC上一点，DC＝2BD，∴

又∵，，得

∴

（2）∵，，∠BAC＝120°，∴

20．（12分）

解：（1）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BD

又因为底面ABCD是菱形，则BD⊥AC

，PA，平面PAC，所以BD⊥平面PAC

（2）连接CF，AE如图所示

因为E，F分别为CD，AB的中点，则且AF＝CE，所以四边形AFCE为平行四边形，所以

平面PAE，平面PAE，所以平面PAE．

21．（12分）

解：（1）

如图，连接AC交BD于点O，再连接OF

在△ACE中，O为AC中点，F为AE的中，所以

且平面BDF，平面BDF，所以平面BDF．

（2）因为该几何体为正方体，所以点D到平面的距离等于AD，

所以点D到平面BEF的距离等于AD，

根据等体积法可知

22．（12分）

解：（1）因为，由余弦定理得

又，所以∠B＝120°

（2）因为，

由（1）得，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以，

面积

所以三角形面积的最大值为．