2023年广东省深圳市福田重点学校中考数学三模试卷

2023年广东省深圳市福田重点学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  截止年月，连云港市常住人口约为人将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  从张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这个字的卡片大小、形状完全相同中随机抽取两张，则这两张卡片上面恰好写着“加”“油”两个字的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：

关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是(    )

A. 众数 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

7.  如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、若，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  关于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象的对称轴是直线
B. 图象与轴没有交点
C. 当时，取得最小值，且最小值为
D. 当时，的值随值的增大而减小

9.  七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在中，，，是等边三角形，点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：        ．

12.  如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是______ ．

13.  如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在处测得，在处测得，米，仪器高度米，这棵树的高度为______ 米结果用含根号表示．

14.  如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为______ ．

15.  如图所示，等腰直角中，，是斜边的中点，为下方一点，且，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简再求值：，其中是从，，当中选一个合适的值．

18.  本小题分
推行“减负增效”政策后，为了解九年级学生每天自主学习的时长情况，学校随机抽取部分九年级学生进行调查，按四个组别；组小时，组小时，组小时，组小时进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

本次调查的学生人数是______人；组小时在扇形统计图中的圆心角的大小是______；
将条形统计图补充完整；
若该校九年级有名学生，请估计其中每天自主学习时间不少于小时的学生人数．

19.  本小题分
某商场有、两种商品，一件商品的售价比一件商品的售价多元，若用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍．
求、两种商品每件售价各多少元；
商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？

20.  本小题分
如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的交于，交于，若．
求证：为的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点在的内部或边上，作于点，于点，则将称为点与的“点角距”，记作如图，在平面直角坐标系中，、正半轴所组成的角记为．

已知点、点，则 ______ ， ______ ；
若点为内部或边上的动点，且满足，在图中画出点运动所形成的图形；
如图与图，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为．
在图中，点的坐标为，试求的值；
在图中，抛物线经过，与射线交于点，点是，两点之间的抛物线上的动点点可与，两点重合，求的值和当取最大值时点的坐标．

22.  本小题分
已知矩形，点、分别在、边上运动，连接、，记、交于点．
如图，若，，，求线段的长度；
如图，若，，求；
如图，连接，若，，，直接写出的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：图形不是轴对称图形，不符合题意；
B.图形不是轴对称图形，不符合题意；
C.图形是轴对称图形，符合题意；
D.图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A选项不合题意；
，故B选项符合题意．
，非同类项，不可合并，故C选项不合题意；
，故D选项不合题意；
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题是基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中这两张卡片上面恰好写着“加”“油”两个字的结果有种，
这两张卡片上面恰好写着“加”“油”两个字的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及这两张卡片上面恰好写着“加”“油”两个字的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：这组数据出现次数最多的是吨，共出现次，所以用水量的众数是吨，因此选项A符合题意；
这组数据的平均数为吨，因此选项B不符合题意；
将这户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为吨，因此选项C不符合题意；
这组数据的方差为，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作图过程可得：为的垂直平分线，
，．
设与交于点，如图，

则．
四边形是矩形，
，
，，
在和中，

≌，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为菱形，
四边形的周长．
设，则，
，
在中，
，
，
解得：，
四边形的周长．
故选：．
利用作图过程可得为的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证明四边形为菱形，利用勾股定理求得，则结论可得．
本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形为菱形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的顶点为，对称轴为直线，故A不合题意，
二次函数开口向下，顶点在第一象限，与轴有两个交点，故B不合题意，
当时，取得最大值，且最大值为，故C不合题意，
当时，的值随值的增大而减小，故D符合题意．
故选：．
根据二次函数解析式得出函数性质即可解答．
本题考查二次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设七巧板正方形的边长为，
，
，
，
，
，
故选：．
设七巧板正方形的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出，的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、、，

，，
，，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
，
，
，
解得，，
即，
故选：．
取的中点，连接，，，分别证明≌和≌，然后根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质推出≌，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：为的直径，
，
，
四边形内接于，
，
故答案为：．
利用直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算，利用圆内接四边形的性质求得的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形，
、均为直角三角形，
所以米，米．
在中，
，
即，
在中，
，
即，
又，
，
即，
，
米，
故答案为：
根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可
本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，作轴于，则，，
，，
，，
，
连接交于点，根据翻折性质可知：，
，
．
．
在和中，，，
∽，
，即：，
，．
点在第二象限，
，
点在双曲线上，
，
故答案为：．
先过点作轴于，作轴于，构造矩形，再根据折叠的性质求得，，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得与的长，得出点的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握直角三角形的性质以及相似性质的应用、折叠的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，且，连接、，并延长交于点，交于点，连接，则，
是等腰直角三角形，是斜边的中点，
，，
，
，
≌，
，，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去，
，
，
故答案为：．
过点作，且，连接、，并延长交于点，交于点，连接，证≌，得，，再证，则是等腰直角三角形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：


，
，，
时，原式． 

【解析】根据题意先对括号内的式子进行通分并利用同分母分式的减法法则计算，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果；观察分母其不能等于和，所以将代入即可求值．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次抽取的学生人数为名，
，
故答案为：，；
组人数为人，
补全图形如下：

人，
答：每天自主学习时间不少于小时的学生约有人．
由组人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用乘以组对应的比例即可求出其人数；
根据总人数求出小时的人数即可补全图形；
总人数乘以样本中、组所占比例之和可得答案．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力及中位数的定义．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

19.【答案】解：设种商品每件售价元，则种商品每件售价元，
用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
种商品每件售价元，种商品每件售价元；
根据题意得：
，
，
当时，取最大值，最大值为元，
种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】设种商品每件售价元，根据“用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍“列方程并检验，即可得到答案；
，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，涉及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式．
 

20.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为的切线；
解：过点作于点，

在中，由勾股定理得，
，
，
，，
，，
． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质可证，，根据，可证，进而得，根据切线的判定可知是切线；
利用勾股定理求出的长，根据求出，进而可求出的长．
本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解答．
 

21.【答案】   

【解析】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，
，
点到轴的距离是，到轴的距离是，
，
故答案为：；；
设点的坐标是，
，
，
点运动所形成的图形是线段，如图所示：

如图，过点作于点，轴于点，延长交于点，则，

直线对应的函数关系式为，
点的坐标为，
，，
，
，
又，
，
在和中，，，
∽，
，
，
，
；
如图，过点作于点，作轴于点，交于点，

把代入，
得，
解得．
，
令，
解得，，
故点的横坐标为，
设点的坐标为，其中，
则，
点的坐标为，，
，．
∽，
，
，
，




，
，，
当时，取得最大值为，
此时，点的坐标为．
首先根据点到轴的距离是，到轴的距离是，可得；然后根据点到轴的距离是，到轴的距离是，求出的值即可；
首先设点的坐标是，然后根据，可得，据此求出点运动所形成的图形即可；
首先过点作于点，轴于点，延长交于点，则，然后根据直线对应的函数关系式为，求出点的坐标为，进而求出，的值；最后根据相似三角形判定的方法，判断出∽，再根据相似三角形的性质，即可求出的值，据此即可求解；
首先过点作于点，作轴于点，交于点，设点的坐标为，其中，则，然后判断出点的坐标，以及，的大小，再判断出∽，再根据相似三角形的性质，即可求出；最后求出的值，根据二次函数最值的求法，求出当取最大值时点的坐标即可．
此题主要考查了二次函数综合题，分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，过点作于，过点作于，交于，

，，
，设，则，
，
，
由得∽，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
故的长度为． 

【解析】根据矩形的性质可得：，，，，结合四边形内角和可证得∽，得出，即可求得答案；
根据已知条件可证得∽，得出，进而得出，利用，即可得出答案．
过点作于，过点作于，交于，根据等腰三角形性质可得，设，则，即，仿照可得∽，得出，推出，由，可得，得出，，再证得∽，得出，解方程，即可求得答案．
本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．