2023年江苏省连云港市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省连云港市中考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −6的相反数是( )
A. −16B. 16C. −6D. 6
2. 在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形.下列汉字中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕.会场所在地园博园分为“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米.其中数据“2370000”用科学记数法可表示为( )
A. 2.37×106B. 2.37×105C. 0.237×107D. 237×104
4. 下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形.下列叙述正确的是( )
A. 只有甲是扇形B. 只有乙是扇形C. 只有丙是扇形D. 只有乙、丙是扇形
6. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为( )
A. 58B. 1350C. 1332D. 516
7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( )
A. x240=x+12150B. x240=x150−12
C. 240(x−12)=150xD. 240x=150(x+12)
8. 如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是( )
A. 414π−20
B. 412π−20
C. 20π
D. 20
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算：( 5)2= ______ ．
10. 如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b ______ 0.(用“>”“<”或“=”填空)
11. 一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是______ .(只填一个即可)
12. 关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两不等实根，则a的取值范围是______．
13. 画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A(6,60°)、B(5,180°)、C(4,330°)，则点D的坐标可以表示为______ ．
14. 以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转______ °.
15. 如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC//x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cs∠OAC=23，则k= ______ ．
16. 若W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3(x、y为实数)，则W的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算|−4|+(π− 2)0−(12)−1．
18. (本小题6.0分)
解方程组3x+y=8①2x−y=7②．
19. (本小题6.0分)
解方程：2x−5x−2=3x−3x−2−3．
20. (本小题8.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=2.求OD的长及tan∠EDO的值．
21. (本小题10.0分)
为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查．
(1)下面的抽取方法中，应该选择______ ．
A.从八年级随机抽取一个班的50名学生
B.从八年级女生中随机抽取50名学生
C.从八年级所有学生中随机抽取50名学生
(2)对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：

暑期课外阅读情况统计表
统计表中的a= ______ ，补全条形统计图；
(3)若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数；
(4)根据上述调查情况，写一条你的看法．
22. (本小题10.0分)
如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．

现将这4张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为______ ；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
23. (本小题10.0分)
渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图.如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？(结果精确到0.1m)
(参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80)
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE//AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
(2)在(1)的条件下，求证：BD=BF．
25. (本小题12.0分)
目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为______ 元；
(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为x m3(x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？(结果精确到1m3)
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y=x2−2x−3的顶点为P.直线l过点M(0,m)(m≥−3)，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点(B在A的右侧).将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
(1)当m=1时，求点D的坐标；
(2)连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
27. (本小题12.0分)
【问题情境建构函数】
(1)如图1，在矩形ABCD中，AB=4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E.设BC=x，AE=y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形新知初探】
(2)在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示.若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．

【数形结合深度探究】
(3)在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是−4 2【抽象回归拓展总结】
(4)若将(1)中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是______ ；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
【解答】
解：−6的相反数是6，故ABC错误，D正确．
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：中沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，“中”是轴对称图形，
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：2370000=2.37×106，
故选：A．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：A.主视图是三角形，故此选项不符合题意；
B.主视图是梯形，故此选项不合题意；
C.主视图是圆，故此选项符合题意；
D.主视图是矩形，故此选项不合题意；
故选：C．
分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．
5.【答案】B
【解析】解：由扇形的定义可知，只有乙是扇形，
故选：B．
根据扇形的定义进行判断．
本题主要考查了认识平面图形—扇形，应熟知扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的圆弧围成的图形叫做扇形．
6.【答案】B
【解析】解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a，
∴点P落在阴影部分的概率为2a2+2×(1.5a)216a2+4×(1.5a)2=1350，
故选：B．
求出阴影部分的面积，根据概率是即可求出概率．
本题考查几何概率的求法，注意结合概率的性质进行计算求解．用到的知识点为：用到的知识点为：概率=阴影面积与整个图形面积之比．
7.【答案】D
【解析】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了(x+12)天．
根据题意得：240x=150(x+12)．
故选：D．
由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了(x+12)天，利用路程=速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB=4，BC=5，
∴BD2=AB2+AD2=41，
S阴影部分=S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD−S以BD为直径的圆
=π×(42)2+π×(52)2+4×5−π×(BD2)2
=41π4+20−41π4
=20，
故选：D．
根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分=S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD−S以BD为直径的圆进行计算即可．
本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
9.【答案】5
【解析】解：( 5)2=5，
故答案为：5．
( a)2=a(a≥0)，据此即可求得答案．
本题考查二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】<
【解析】解：由数轴可得a<0|b|，
则a+b<0，
故答案为：<．
由数轴可得a<0|b|，根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案．
本题考查实数与数轴及其加法法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.【答案】4(大于2小于8的数即可)
【解析】解：由题意得：5−3即：2∴x的值可以是：4(大于2小于8的数即可)．
故答案为：4(大于2小于8的数即可)．
根据三角形的三边关系定理可得5−3此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12.【答案】a<1
【解析】解：根据题意，得
Δ=−22−4×1×a=4−4a>0，
解得：a<1．
故答案为：a<1．
根据一元二次方程根的判别式得到Δ=4−4a>0，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
13.【答案】(3,150°)
【解析】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，
∴点D的坐标为(3,150°)．
故答案为：(3,150°)．
在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角．
该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法．
14.【答案】60
【解析】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=120°，
要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，
则∠DCD′至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．
故答案为：60°．
以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD′是旋转角，∠BCD=120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD′至少要旋转60°．
本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．
15.【答案】−83
【解析】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC=90°，cs∠OAC=23，
∴OAAC=23，
∵对角线AC//x轴，
∴∠AOE=∠OAC，
∵∠OEA=∠AOC=90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴S△OEAS△AOC=(OAAC)2，
∴S△OEA3=49，
∴S△OEA=43，
∵S△OEA=12|k|，k<0，
∴k=−83．
故答案为：−83．
作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键．
16.【答案】−2
【解析】解：W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3
=x2+4x2−4xy+y2−2y+8x+3
=4x2−4xy+y2−2y+x2+8x+3
=(4x2−4xy+y2)−2y+x2+8x+3
=(2x−y)2−2y+x2+4x+4x+3
=(2x−y)2+4x−2y+x2+4x+3
=(2x−y)2+2(2x−y)+1−1+x2+4x+4−4+3
=[(2x−y)2+2(2x−y)+1]+(x2+4x+4)−2
=(2x−y+1)2+(x+2)2−2，
∵x，y均为实数，
∴(2x−y+1)2≥0，(x+2)2≥0，
∴原式W≥−2，
即原式的W的最小值为：−2，
故答案为：−2．
将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．
本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．
17.【答案】解：原式=4+1−2
=5−2
=3．
【解析】根据绝对值的性质，零次幂和负整数指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】解：3x+y=8①2x−y=7②，
①+②得：5x=15，
解得：x=3，
将x=3代入①得：3×3+y=8，
解得：y=−1，
故原方程组的解为：x=3y=−1．
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法为代入消元法和加减消元法，必须熟练掌握．
19.【答案】解：去分母得：2x−5=3x−3−3(x−2)，
去括号得：2x−5=3x−3−3x+6，
移项得：2x−3x+3x=5−3+6，
合并同类项得：2x=8，
把x的系数化为1得：x=4，
检验：把x=3代入最简公分母x−2=4−2=2≠0，
故原分式方程的解为：x=4．
【解析】两边同时乘以最简公分母x−2去分母，然后去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为1，即可算出x的值，然后再检验．
此题主要考查了分式方程的解法，关键是不要忘记检验，没有分母的项不要漏乘，这是同学们最容易出错的地方．
20.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，
∵AC=4，
∴OA=2，
∵E是AD中点，
∴OE=12AD，
∵OE=2，
∴AD=4，
∴OD= AD2−OA2= 42−22=2 3，
∴tan∠EDO=AOOD=22 3= 33．
【解析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA=12AC=2，由直角三角形的性质求出AD=4，由勾股定理求出OD=2 3，由锐角的正切求出tan∠EDO= 33．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，解直角三角形，关键是应用菱形的性质求出OA的长，由直角三角形斜边中线的性质得到AD的长，由勾股定理求出OD长，由正切定义即可求出tan∠EDO．
21.【答案】C 15
【解析】解：(1)下面的抽取方法中，应该选择从八年级所有学生中随机抽取50名学生，
故答案为：C；
(2)由题意得，a=50−5−25−5=15，
补全条形统计图如下：

故答案为：15；
(3)800×15+550=320(人)，
答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数约为320人；
(4)大多数学生暑期课外阅读数量不够多，要加强宣传课外阅读数的重要性(答案不唯一)．
(1)根据样本要具有代表性解答即可；
(2)用总数减去其它类别的人数，可得a的值，进而补全条形统计图；
(3)用800乘样本中暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数所占比例即可；
(4)答案不唯一，只要合理即可．
本题考查了条形统计图，统计表以及用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为14；
故答案为：14；
(2)画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数为7，
所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率=716．
(1)直接根据概率公式计算；
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
23.【答案】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，

在Rt△ABE中，sin∠BAE=BEAB，
∴BE=ABsin∠BAE=92×sin48°≈92×0.74=68.08m，
过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△CBF中，sin∠CBF=CFBC，
∴CF=BC×sin∠CBF≈30×0.60=18.00m，
∵FD=BE=68.08m，
∴DC=FD+CF=68.08+18.00=86.08≈86.1m．
答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m．
【解析】过点B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分别在Rt△ABE和Rt△CBF中分别解三角形求出BE，CF的长，二者相加就是CD的长．
本题主要考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握把实际问题转化成解直角三角形的问题是解决问题的关键．
24.【答案】(1)解：如图：

过B作BF⊥AB，交CE与F，直线BF即为所求直线；
(2)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AB//CE，
∴∠ABC=∠BCF，
∴∠BCF=∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF=90°，
∵AB//CE，
∴∠BFC+∠ABF=180°，
∴∠BFC=90°，
∴∠BDC=∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
∠BDC=∠BFC∠DCB=∠FCBBC=BC，
∴△BCD≌△BCF(AAS)，
∴BD=BF．
【解析】(1)过B作AB的垂线即为过点B的⊙O的切线；
(2)由AB=AC，AB//CE，可得∠BCF=∠ACB，而点D在以AB为直径的圆上，BF为⊙O的切线，可得∠BDC=∠BFC，即可证明△BCD≌△BCF，从而BD=BF．
本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图，能熟练运用三角形全等的判定定理．
25.【答案】534
【解析】解：(1)200×2.67=534(元)，
故答案为：534；
(2)根据题意得：y=400×2.67+(1200−400)×3.15+3.63(x−1200)=3.63x−768，
∴y与x的函数表达式为y=3.63x−768(x>1200)；
(3)∵400×2.67+(1200−400)×3.15=3588<3855，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，
由(2)知，当y=3855时，3.63x−768=3855，
解得x=1273.6，
又∵2.67×(100+400)+3.15×(1200+200−500)=4170>3855，且2.67×(100+400)=1335<3855．
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯，
设乙户年用气量为am3则有2.67×500+3.15(a−500)=3855，
解得a=1300，
1300−1273.6=26.4≈26m3，
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
(1)用200乘以第一阶梯的电价即可；
(2)根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可；
(3)先根据甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，判断甲、乙两家的燃气量的范围，再分别计算出出燃气量即可．
本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式．
26.【答案】解：(1)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线L1的顶点坐标P(1,−4)，
∵m=1，点P和点D关于直线x=1对称，
∴点D的坐标为(1,6)；
(2)∵抛物线L1的顶点P(1,−4)与L2的顶点D关于直线y=m对称，
∴D(1,2m+4)，抛物线L2：y=−(x−1)2+(2m+4)=−x2+2x+2m+3，
∴当x=0时，C(0,2m+3)，

①当∠BCD=90°时，如图1，过D作DN⊥y轴于N，
∵D(1,2m+4)，
∴N(0,2m+4)，
∵C(0,2m+3)，
∴DN=NC=1，
∴∠DCN=45°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCM=45°，
∵直线l//x轴，
∴∠BMC=90°，
∴∠CBM=∠BCM=45°，BM=CM，
∵m≥−3，
∴BM=CM=(2m+3)−m=m+3，
∴B(m+3,m)，
∵点B在y=x2−2x−3的图象上，
∴m=(m+3)2−2(m+3)−3，
∴m=0或m=−3，
∵当m=3时，得B(0,−3)，C(0,−3)，此时，点B和点C重合，舍去，当m=0时，符合题意；
将m=0代入L2：y=−x2+2x+2m+3得L2：y=−x2+2x+3，
②当∠BDC=90°，如图2，过B作BT⊥ND交ND的延长线于T，
同理，BT=DT，
∴D(1,2m+4)，
∴DT=BT=(2m+4)−m=m+4，
∵DN=1，
∴NT=DN+DT=1+(m+4)=m+5，
∴B(m+5,m)，
∵当B在y=x2−2x−3的图象上，
∴m=(m+5)2−2(m+5)−3，
解得m=−3或m=−4，
∵m≥−3，
∴m=−3，此时，B(2,−3)，C(0,−3)符合题意；
将m=−3代入L2：y=−x2+2x+3得，L2：y=−x2+2x−3，
③易知，当∠DBC=90°，此种情况不存在；
综上所述，L2所对应的函数表达式为y=−x2+2x+3或y=−x2+2x−3；
(3)如图3，由(2)知，当∠BDC=90°时，m=−3，
此时，△BCD的面积为1，不合题意舍去，
当∠BCD=90°时，m=0，此时，△BCD的面积为3，符合题意，
由题意得，EF=FG=CD= 2，取EF的中点Q，
在Rt△CEF中可求得CQ=12EF= 22，在Rt△FGQ中可求得GQ= 102，
当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为 10− 22．
【解析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．
本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析，综合应用．
27.【答案】①④ y=2kx x2+k2x2+k2(x>0,k>0)
【解析】解：(1)在矩形ABCD中，∠ABC=∠BCM=90°，
∴∠ABE+∠MBC=90°，
∵AE⊥BM，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠AEB=∠BCM，∠MBC=∠BAE，
∴Rt△ABE∽Rt△BMC，
∴ABBM=AEBC，
∵AB=4，点M是CD的中点，
∴CM=12CD=12AB=2，
在Rt△BMC中，BM= BC2+CM2= x2+22= x2+4，
∴4 x2+4=yx，
∴y=4x x2+4=4x x2+4x2+4(x>0)；
(2)x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：
若P(a,b)为图象上任意一点，则b=4a a2+4a2+4，
∴设P(a,b)关于原点的对称点为Q，则Q(−a,−b)，
∵当x=−a时，y=4(−a) (−a)2+4(−a)2+4=−4a a2+4a2+4，
∴Q(−a,−b)也在函数y=4x x2+4x2+4的图象上，
∴当x取任意实数时，函数y=4x x2+4x2+4的图象关于原点对称；
(3)观察图象，①函数值y随x的增大而增大；故正确，
②函数值y的取值范围是−4③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，
④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确．
故答案为：①④；
(4)y关于x的函数表达式为y=2kx x2+k2x2+k2(x>0,k>0)，
当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：
当k>0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为−2k当k<0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的哦值范围为水2k函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称；
故答案为：y=2kx x2+k2x2+k2(x>0,k>0)．
(1)证得Rt△ABE∽Rt△BMC，得出ABBM=AEBC，由题意CM=12CD=12AB=2，利用勾股定理求得，BM= x2+4，即可得到4 x2+4=yx，从而得到y=4x x2+4=4x x2+4x2+4(x>0)；
(2)把P点的对称点Q(−a,−b)代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性；
(3)观察图象即可判断；
(4)分析函数的解析式即可得出函数的性质．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
阅读数量(本)
人数
0
5
1
25
2
a
3本及以上
5
合计
50
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3(含400)的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3(含1200)的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3