2020-2021学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）已知集合，，，若，，2，，则实数的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（5分）学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为　　

A． B． C． D．

4．（5分）若函数的零点所在的区间为，则整数的值为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知，都是正数，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

7．（5分）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则所在的区间为　　

A．， B．， C．， D．，

8．（5分）已知是定义在，上的奇函数，且，当，，且时，，已知，，若对，恒成立，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（5分）下列命题中，正确的有　　

A．若，则 B．若，则 

C．若且，则 D．若且，则

10．（5分）某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行价就减少5000册．要使该杂志的销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为　　

A．2.5 元 B．3 元 C．3.2 元 D．3.5 元

11．（5分）对于函数（其中，下列结论正确的有　　

A．若桓成立，则的取小值为 2 

B．当时，的图象关于点，中心对称 

C．当时，在区间上记单调函数 

D．当时，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

12．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为关于函数有以下四个命题，其中真命题有　　

A．既不是奇函数也不是偶函数 

B．， 

C．， 

D．，，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）若角的终边经过点，则　　．

14．（5分）计算：　　．

15．（5分）已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为　　．

16．（5分）已知函数若关于的方程（2）在，上有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知全集，函数的定义域为集合，集合．

（1）若，求；

（2）设；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）（1）已知，求的值

（2）已知，且为第四象限角，求的值．

19．（12分）已知是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）求不等式的解集．

20．（12分）已知函数，，的部分图象如图所示．

（1）求的解析式：

（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若，求的值．

21．（12分）设矩形的周长为20，其中．如图所示，把它沿对角线对折后，交于点，设，．

（1）将表示成的函数，并求定义域：

（2）求面积的最大值．

22．（12分）已知函数，函数．

（1）填空：函数的增区间为　　．

（2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围：

（3）是否存在实数，使函数在，上的最大值为0？如果存如果存在，求出实数所有的值．如果不存在，说明理由．

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题“，”的否定是：

“，”．

故选：．

2．【解答】解：因为，，2，，，，

所以，而，则．

故选：．

3．【解答】解：由题意知，，，

所以扇形弧所对的圆心角为

．

故选：．

4．【解答】解：函数的定义域为，且函数单调递增，

（2），（3），

在内函数存在零点，，

故选：．

5．【解答】解：由，

则，可知是奇函数，排除，选项，

当或时，，所以的值趋向于0，即图象向轴的靠拢，

排除选项，

故选：．

6．【解答】解：由得，

平方得，

，都是正数，，即必要性成立，

当，时，满足，但不成立，即充分性不成立，

则“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

7．【解答】解：

．

所以，．

故选：．

8．【解答】解：设，

因为是定义在，上的奇函数，

所以．

又，所以，由题设有，

因为，

所以，

即，

所以函数在，上是增函数，

所以（1），

所以对，恒成立，

所以，即，即，

又因为，，所以，

解得．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．【解答】解：．当时，不成立，故错误；

．由，可知，，，故正确；

．且，，故正确；

．由且，取，，，则不成立，故错误．

故选：．

10．【解答】解：设杂志的定价为元，总销售收入为元，

根据题意可得：

，

当销售收入不少于22.4万元时，，解得，

故选：．

11．【解答】解：对于：若桓成立，所以，

则，

即，解得，当时，取小值为2，故正确；

对于：当时，，当时，，故函数的图象关于点，中心对称，故正确；

对于：当时，，当时，，所以函数不单调，故错误；

对于：当时，的图象可由的图象向左平移个单位得到，故正确；

故选：．

12．【解答】解：有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

对任意，都有，故不正确；

若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，

，所以正确；

当为有理数时，；当为无理数时，，

当为有理数时，（1）；当为无理数时，，

，均有，故正确；

取，，则，，

所以，，，故正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【解答】解：角的终边经过点，

则，

，

则．

故答案为：．

14．【解答】解：原式，

故答案为：．

15．【解答】解：函数是幂函数，

且时，单调递减，

，且，求得，

则，

故答案为：．

16．【解答】解：因为函数，

所以（2），

所以，

作出函数的图象如图中的黑色实线部分，

因为方程（2）在，上有3个不相等的实数根，

则在，上有3个不相等的实数根，

即函数的图象与的图象有3个不同的交点，

所以，

故实数的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17．【解答】解：由，得，得，即，，

由得，

得或，

即，，．

（1）若，则，，，

，

则，．

（2）若是的充分不必要条件，

则，

即或，

得或．

18．【解答】解：（1）由，

所以，

又，

所以，

所以

．

（2）已知，

所以，

解得，

所以；

又为第四象限角，所以，且，

所以．

19．【解答】解：（1）根据题意，函数为定义在上的奇函数，且时，，

令，则，则，

又为定义在上的奇函数，当时，，

故，

（2）根据题意，，

其图象如图：

则在区间，上为增函数，

若，必有，即或，

必有，

即不等式的解集为，．

20．【解答】解：（1）由函数的部分图象知，

，，解得，所以；

又时，即，

所以，；

解得，；

又，所以，

所以．

（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得的图象，

即，所以；

所以，

，

，

所以．

21．【解答】解：因为，所以，

又，所以，

则在直角三角形中，，

即，整理可得：，

令，解得，

即，且函数的定义域为；

（2）面积为：，

令，则，

所以

．

当且仅当，此时，面积的最大值：．

22．【解答】解：（1）函数的增区间为，；

理由如下：因为，所以函数为偶函数，

任取，

则，

因为，所以，，

故，

所以的增区间为，；

（2），

令，

当且仅当时取等号，

则“，”为真命题可转化为“，”为真命题，

因为，

当且仅当时取等号，

所以，

所以；

（3）由（1）可知，当，时，函数单调递增，

故，

记，

若函数在，上的最大值为0，

①当，即时，在上的最小值为1，

因为图象的对称轴为，

所以（2），

解得，故符合题意；

②当，即时，在上的最大值为1，且恒成立，

因为的图象是开口向上的抛物线，在上的最大值可能是（2）或，

若（2），则，不符合题意，

若，则，

此时对称轴，

由，不符合题意，

综上所述，存在实数，使函数在，上的最大值为0．

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日期：2021/4/10 17:46:51；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394