2023江苏省淮宿七校高一下学期第三次联考数学试卷含答案

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2022—2023学年第二学期高一年级七校联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）1. 若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|等于(　　)A．1                 B．7               C．5              D．25答案　C2. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　)A．2              B．2               C．2－2     D．1答案　B3. 若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是(　　)A．3π               B.π              C．3π            D．9π答案　A4. 已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．答案C5. 三星堆古遗址作为“长江文明之源”被誉为人类最伟大的考古发现之一．3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现．如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为A．72πcm2               B．162πcm2          C．216πcm2             D．288πcm2 答案C 6. P是所在平面上一点，满足，则的形状是（    ）A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形      D. 等边三角形答案B7. 在中，若，则（    ）A.             B.              C.            D. 答案D8. 在中，，为线段上的点，且.若，则（    ）A.  B.  C.  D. 答案B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）9. 在复数集内，下列命题是真命题的是（    ）A.若复数，则     B.若复数满足，则C.若复数，满足，则 D.若复数满足，则答案：AD 10. 设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)A．若＝，则＝＋B．若＝2－3，则点M，B，C三点共线C．若点M是△ABC的重心，则＋＋＝0D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的答案　ACD11. 在中，下列结论中，正确的是（    ）A. 若，则是等腰三角形或直角三角形B. 若，则C. 若，则为钝角三角形D. 若，，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是答案BC12. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（  ）A．无论，取何值，三棱锥的体积为定值30B．当时，的最小值为C．当时，直线与直线恒为异面直线D．当时，平面答案BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）13. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为_______ .答案　14. 化简：＝________.答案1 15. “牟合方盖”是我四古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖．如图，已知棱长为2的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是__________．答案 16.  已知的外心为，满足，则的最小值是___________.答案 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. (本小题满分10分)已知是虚数单位，复数满足.（1）求复数的共轭复数；（2）若，且，求实数的值.17.解：（1）∵，∴，∴复数的共轭复数，…5分 （2），∴，又，即，∴.…10分  18. (本小题满分12分)设向量，满足，且.（1）求与的夹角；（2）求的大小.18.解：（1）∵，；∴∴，…3分 则∵∴与的夹角为；…6分（2）∵…10分 ∴…12分19. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．（1）求证：平面；（2）求证：F为的中点；（1）证明：如图所示：连接AC交BD于点G，连接GE，因为ABCD为平行四边形，所以G为AC的中点，又E为PC的中点，所以，…3分又平面BDE，平面BDE，所以平面；…6分（2）证明：因为底面为平行四边形，所以，又 平面ABEF， 平面ABEF，所以 平面ABEF，…9分又平面平面，所以，又因为E 为PC的中点，所以F为的中点. …12分 20. (本小题满分12分) 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的，位于该市的某大学与市中心的距离km，且. 现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，km．   （1）求大学与站的距离；   （2）求铁路段的长. 解：（1）在中，，，且，，    由余弦定理，得     所以，所以大学与站的距离为km.  （4分）   （2）因为，且为锐角，所以在中，由正弦定理，    得即， 解得   （6分） 由题意知为锐角，所以 所以 因为所以， 所以  （8分） 又所以 在中，由正弦定理，得 即，解得  （11分） 所以铁路段的长为km.    （12分）   21. (本小题满分12分) 已知△的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． (1)由正弦定理，得，即，故.…4分(2)由（1）知，因为的面积为，所以，解得，…6分又因为，所以．…8分于是,那么．…10分所以（当且仅当时等号成立）故的最大值为．…12分22. (本小题满分12分) 如图，六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图所示，且.（1）求二面角的余弦值；（2）求四棱锥外接球的体积.（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，则，．连接AC，则，；平面ADEF. …3分 又又,又，就是二面角的平面角，在,所以二面角的余弦值为.…6分（2）取的中点,连接,易证四边形、均为平行四边形所以,所以为等腰梯形的外心，…9分取的中点,连接,,平面ADEF. 平面ADEF. 又易得，所以为四棱锥外接球的球心，所以 …12分