2023江苏省淮宿七校高一下学期期中数学试卷含答案

2022—2023学年第二学期高一年级期中考试

数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）

1． 若i为虚数单位，则()12的值为

A．1 B．－1 C．i D．－i

2． 已知a、b是不共线的向量，且＝3a＋4b，＝－2a－6b，＝2a－4b，则

A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 

C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线

3． 已知a＝(2，－1)，b＝(－1，0)，若(a－tb)⊥(a＋b)，则实数t的值为

A．5 B．2 C．－1 D．－3

4． 设复数z满足|z－i|＋|z＋i|＝2，其中i为虚数单位，则|z|的最大值为

A．1 B．2 C． D．

5． 海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为

A． B． C． D．

6． 已知tan(α＋β)、tan(α－β)是关于x的方程x2＋mx－4＝0的两根，且tanα＝，则m的值为

A．－12 B．－ C．4 D．

7． 为了军事国防需要，现准备发射一颗通信卫星．通信卫星在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面．将地球看作是一个球(球心为O，半径为rkm)，地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为θ的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角)，若点A的纬度为北纬30°，tanθ＝－，则该通信卫星的轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为

A．2r B．3r C．6r D．7r

8． 已知△ABC中，AC＝2，sinA＝tanB，A∈(0，]，则边AB的最小值为

A．2 B．3 C．2＋ D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）

9． 设函数，则下列结论正确的是

A．的最小正周期是  B．是的一个对称轴

C．的最小值是   D．若在上单调递减，则最大值是

10．如图，若△ABC的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是

A．若⊙O的半径为定值，则·为定值 

B．若CA、CB的长度为定值，则·为定值 

C．·＝· 

D．·＝2－2

11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是

A．C1、O、A、M四点共面 

B．直线C1O与直线A1C为异面直线 

C．直线A1A与直线OM相交 

D．D1、D、O、M四点共面

12．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，且tanB是关于x的方程sinC·x2＋2(1－cosC)x－sinC＝0的一个根，则

A．－是方程的另一个根 B．tan2B·tan＝2 

C．角B的取值范围为(，) D．的取值范围为(3，2＋)

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）

13．写出同时满足条件①：“(1＋i)·z∈R”、条件②：“|z|＞3”的一个复数z＝________．

14．若sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)＝________．

15．空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定________个平面．

16．在△ABC中，若BC＝AB，＝2，·＝2，则·＝________．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．(本小题满分10分)

关于复数z＝a＋bi(a、b∈R，i为虚数单位)，有下列四个命题：①a＝2；②b＝；③z·＝4；④z＋＝||；且上述四个命题中只有一个是假命题．

(1)请问假命题是哪一个，并求出复数z；

(2)设复数z1、z2满足|z1|＝|z2|＝|z|，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|．

18．(本小题满分12分)

如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别

为BC、AD的中点．

(1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小；

(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小

为60°，求线段EF的长．

19．(本小题满分12分)

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3a2＋b2＝c2．

(1)式子tanB－tanA－2tanA·tan2B的值为是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；

(2)若C＝120°，求cosA的值．

20．(本小题满分12分)

在△ABC中，已知＝．

(1)求的值；

(2)求＋＋的最小值．

21．(本小题满分12分)

已知锐角△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a(tanA＋tanC)＝2b·tanA．

(1)求C的大小；

(2)若△ABC的面积为，求a的取值范围．

22．(本小题满分12分)

我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．伞完全收拢时，伞圈D滑到D'的位置，且A、B、D'三点共线，AD'＝40cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm．

(1)当伞完全张开时，求∠BAC的余弦值；

(2)如图(2)，当∠BAC＝时，在线段AB、AC上分别取点M、N，使得AN＝4AM＝4t，0＜t＜5，连接MN交AD于点G，若△AMN的面积为△ABC面积的，求·的值．