青岛版九年级上册4.1 一元二次方程课时练习

专题11 一元二次方程及其应用

1、理解配方法

2、会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；

一、一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．

它的一般形式为(a≠0)．

例1．下列是一元二次方程的有（        ）个．

①；②；③；④．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．进而可以判断．

【详解】

解：①，是一元二次方程；

②，是一元二次方程；

③，整理得，是一元一次方程，不是一元一次方程；

④，不是整式方程，不是一元二次方程；

综上，是一元二次方程的是①②，共2个，

故选：B．

二、一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．

（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．

（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．

（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．

注意：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．

例2．关于的一元二次方程的根是（    ）

A． B．，

C． D．

【答案】B

【分析】

利用直接开平方法求解即可．

【详解】

解：∵x2=1，

∴x1=1，x2=-1，

故选：B．

三、一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为．

△>0方程有两个不相等的实数根；

△＝0方程有两个相等的实数根；

△<0方程没有实数根．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．

注意： △≥0方程有实数根.

例3．一元二次方程的根的情况为（   ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【答案】B

【分析】

计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．

【详解】

∵a=1，b=－3，c=－1

∴

∴一元二次方程有两个不相等的实数根

故选：B.

四、一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．

例4．方程2－5＋＝0没有实数根，则的取值范围是（    ）

A．＞ B．＜ C．≤ D．≥

【答案】A

【分析】

利用判别式的意义得到△＝（-5）2﹣4×2m<0，然后解关于m的不等式即可．

【详解】

解：∵方程2－5＋＝0没有实数根，

∴△＝（-5）2﹣4×2m<0，

解得m>．

故选：A．

1．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）方程的根是（    ）

A．5 B．-5，5 C．0，-5 D．0，5

【答案】D

【分析】

利用因式分解法求解即可．

【详解】

解：∵x（x－5）＝0

∴x＝0或x－5＝0，

∴，．

故选D．

2．（2022·福建省福州延安中学九年级开学考试）若是一元二次方程的一个根，则的值是（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】A

【分析】

根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于b的方程即可．

【详解】

解：把x=0代入得b2-4=0，

解得b=±2，

∵b-1≥0，

∴b≥1，

∴b=2．

故选：A．

3．（2022·云南师范大学实验中学九年级期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设AB长为xm，则可列方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程．

【详解】

解：设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米=（22-3x）米，

依题意，得：x（22-3x）=40，

故选A．

4．（2022·蒙城县第六中学九年级开学考试）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为（     ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．

【详解】

解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，

∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，

即2019年我国快递业务收入为7500亿元，

∴可列方程：，

故选：C．

5．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）判断关于的方程（是常数，）的根的情况（    ）

A．存在一个，使得方程只有一个实数根 B．无实数根

C．一定有两个不相等的实数根 D．一定有两个相等的实数根

【答案】A

【分析】

当k=0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0即可判断原方程有实数根．

【详解】

解：∵k＜1，

∴当k=0时，原方程为-x+1=0，

解得：x=1；

当k≠0时，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，

依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．

故选：D．

7．（2022·深圳市新华中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程没有实数根，即实数c的取值范围是________．

【答案】

【分析】

根据题意可知，判别式，求解即可．

【详解】

解：∵方程没有实数根，

∴，

解得

故答案为

8．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．

【答案】且

【分析】

根据一元二次方程的定义，以及根的判别式确定的取值范围即可．

【详解】

根据题意得且，

解得且．

故答案为：且．

9．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）解下列方程：

（1）2x2+7x+3=0（用配方法）．

（2）5（x+3）2=x2﹣9．

【答案】（1）；（2）x1=−3，x2=−．

【分析】

（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【详解】

解：（1）方程整理得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：；

（2）∵5(x+3)2=(x+3) (x-3)，

∴5(x+3)2-(x+3) (x-3)=0，

∴(x+3) [5(x+3)-(x-3)]=0，

即(x+3) (4x+18)=0，

∴x1=−3，x2=−．

10．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具，以每件80元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件．

（1）若商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为多少元？

（2）若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？

【答案】（1）65元；（2）每件玩具的售价定为70元时，商店每天盈利最多，最多盈利为800元

【分析】

（1）根据题意和题目中的数据，可以写出相应的方程，然后求解即可，注意又要使顾客得到更多的实惠，也就是售价越低越好；

（2）根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系，然后根据二次函数的性质解答即可．

【详解】

解：（1）设每件玩具的售价为a元，

由题意可得，（a﹣50）[20＋2（80﹣a）]＝750，

解得a1＝65，a2＝75，

∵要使顾客得到更多的实惠，

∴a＝65，

答：商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为65元；

（2）设每件玩具的售价定为x元，商店每天盈利为w元，

由题意可得，w＝（x﹣50）[20＋2（80﹣x）]＝﹣2（x﹣70）2＋800，

∵a＝﹣2，

∴该函数开口向下，有最大值，

∴当x＝70时，该函数取得最大值，此时w＝800，

答：商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为70元时，商店每天盈利最多，最多盈利为800元．