福建省福州市闽侯县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

2022-2023（下）闽侯一中第二次月考

高一数学试卷

2023.5.22

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.

1.如图是水平放置的的斜二测画法的直观图，其中，则是（    ）

A.钝角三角形    B.等腰三角形，但不是直角三角形

C.等腰直角三角形    D.等边三角形

2.在中，角的对边分别为，已知，则（    ）

A.或    B.    C.    D.或

3.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

4.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知复数满足，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：

①    ②

③    ④，

其中正确的命题是（    ）

A.①②    B.①③    C.②④    D.③④

7.已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多个项符合题目要求，全选对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分）

9.若是方程的两个虚数根，则（    ）

A.的取值范围为    B.的共轭复数是

C.    D.为纯虚数

10.已知向量，则下列说法正确的是（    ）

A.与夹角的余弦值为

B.在上的投影向量为

C.若与的夹角为钝角，则

D.若与的夹角为锐角，则

11.在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（    ）

A.若，则一定是锐角三角形

B.若，则一定为直角三角形

C.若，则一定是等边三角形

D.若，则一定是等腰三角形

12.已知正实数满足，则（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知四面体中，分别为的中点，且异面直线与所成的角为，则__________.

14.已知向量满足，则__________.

15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________.

16.在中，已知的平分线，则的体积为__________.

四､解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）设向量满足.

（1）求向量的夹角；

（2）若，求实数的值

18.（12分）已知复数（其中是虚数单位，）.

（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

19.（12分）已知锐角的面积是.

（1）求的值；

（2）若，求周长的取值范围.

20.（12分）如图，四棱锥中，为的中点.

（1）求证：平面.

（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由.

21.（12分）记的内角的对边分别为，且.

（1）若，求的值；

（2）求的最小值.

22.（12分）如图，四面体中，，为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）设，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积.

2022-2023（下）闽侯一中第二次月考高一数学答案

2023.5.22

1-8CCBC ABAA

8.【详解】因为，所以

解得：，则，

所以.

9.BCD    10.ABD    11.BC    12.ACD

12.解：令，则，可得：，

对于选项A：因

为，

所以，故选项A正确；

对于选项，因为，故，

所以，

即

，即，

故B选项错误.

对于选项C：，因为，

所以

因为，所以，即，即，

故选项C正确；

对于选项D：

因为，因为所以等号不成立，

所以，即，

所以，根据“或”命题的性质可知选项止确.

13.或    14.    15.

15.【解析】由题意得，在中，，

.

由正弦定理得，即，解得.

在Rt中，

.

16.

【详解】如图：因为是的平分线，所以，

不妨设，

由题意得，

由余弦定理得：，

所以，解得，负值舍去，所以.

所以，

可得，

所以.

17.【解】（1）因为，

所以，

又，所以.

（2）因为

所以，解得.

18.解：（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，

则，解得；

（2）若，则由②得③

将①③相加得，

故，

因为，则当时，，当时，，

所以的取值范围为.

19.解：（1）由，得，

所以，即，在锐角中，，所以，

所以.

【小问2详解】由（1）知，，在中，.

在中，得，

所以周长

，

因为是锐角三角形，

所以，解得，

所以所以，

所以.所以周长的取值范围是.

20.【证明】（1）取PA的中点，连接，

为的中点，

，又，

，

四边形是平行四边形，，

又平面平面平面.

（2）存在点为的中点，使平面平面，证明如下：

取的中点，连按，

，又，

又四边形为平行四边形，

，又平面平面，

平面，

由（1）可知平面，又，

故平面平面，

故存在的中点满足要求.

21.解：（1）因为，所以，

所以，

则

（2）由，得，

因为，所以，

所以，当且仅当时，取等号，

，

，

令，则，

则，

在单调递减，所以，当且仅当时取等号

所以的最小值为.

22.【解析】（1）因为，点为中点，所以，

因为

所以，

因为点为中点，所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面.

（2）由（1），若，则三角形是等边三角形，

依题意所以，

由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.

，所以，

由于平面，

所以平面.

由于，所以，

由于

所以，所以，

由于.所以当最短时，三角形的面积最小值.

过作，垂足为，

在Rt中，，解得，

所以，

所以.

过作，垂足为，则，所以平面，且，

所以，所以.