福建省厦门第一中学2022-2023学年高三五模数学试题

班级：______座号：______姓名：______

（在此卷上答题无效）

福建省厦门第一中学2022-2023学年度第二学期

高三年数学试卷

满分150分  考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名；考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。

3.考试结束，考生只须将答题卡交回。

一、选择题：本题8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，，则的子集共有（    ）

A.2个 B.4个 C.6个 D.64个

2.若i为虚数单位，复数满足，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

3.函数的部分图象大致为（    ）

A. B. C. D.

4.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为：（    ）

A.4 B.7 C.16 D.31

5.已知，则（    ）

A.256 B.255 C.512 D.511

6.已知平面向量，，，，且.若，则的最大值为：（    ）

A. B.10 C.2 D.5

7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且位于第一象限，满足，的平分线与相交于点，若，则椭圆的离心率为：（    ）

A. B. C. D.

8.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是：（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题4小题，每题5分，共20分.全部选对得5分，少选得2分，选错得0分.

9.已知，是正数，且，下列叙述正确的是：（    ）

A.最大值为  B.的最小值为

C.最小值为 D.最小值为

10.函数的部分图像如图所示，，，则下列选项中正确的有：（    ）

A.的最小正周期为 

B.是奇函数

C.的单调递增区间为

D.，其中为的导函数

11.棱长为且体积为的正四面体的底面内有一点，它到平面、、的距离分别为，，，，在与上，且，，下列结论正确的是：（    ）

A.若为定值，则为定值 B.若，则

C.存在，使，，成等比数列 D.若，则，，成等差数列

12.在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是：（    ）

A.对任意三点、、，都有；

B.已知点和直线，则；

C.到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.

D.定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，现在从中选派4人参加校际演出队，要求至少有2人能演舞蹈节目，那么不同选派方法共有______（用数字作答）

14.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于顶点的一点，（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则______.

15.写出一个同时具有下列性质①②的函数______.

①；②.

16.已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求的取值范围.

18.（12分）在①，；②，；③，三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且______.

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，求使取得最大值时的值.

19.（12分）如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于，的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.

（1）证明：平面；

（2）求平面和平面夹角的余弦值.

20.（12分）教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚，扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.

（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；

（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；

（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由.

21.（12分）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.

（1）求的方程；

（2）如图，点为双曲线的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标.

22.（12分）已知函数的导函数为.

（1）若函数存在极值，求的取值范围；

（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意，若关于的不等式在上恒成立，求正整数的取值集合.

（数学）参考答案

1.答案：D.解：，，则的子集共有个

2.【答案】C.解：表示的几何意义是复数对应的点到原点的距离小于等于1，

表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，

故的最大值为.

3.【答案】A.解：的定义域为，关于原点对称，

因为，所以为奇函数，故排除C，D，

又，所以排除B，故选：A

4.【答案】B.解：由题意，，，，

解下第4个圆环，则，即，

而，则，

5.【答案】D.解：令，①，令，②，

①+②得：，∴，

令，，∴.

6.【答案】A.解：设，夹角为，则，当，同向即时取等.故选：A.

7.【答案】D.解：解法一：设，，则.由，

得.因为，所以.在与中，

，所以，即，得.因为，所以，所以，得，即，则，于是在中，由勾股定理，得，整理得，得.

解法二：设，，由得，.因为，所以，在中，由勾股定理，得①.由椭圆的定义得②.因为平分，所以，即③，

联立①②③并化简得，则，得.

8.【答案】D.【详解】切比雪夫不等式的形式为：，

由题知，

则的具体形式为.故选：D.

9.【答案】ABD.解：因为，是正数，且，所以不等式可知，即，得，当且仅当，即，取得等号，所以的最大值为，所以A正确；

因为，是正数，且，所以，，且，所以，当时有最小值为，所以B正确；

，当且仅当，即，取得等号，因为，是正数，所以最大值为，故C不正确；

因为，

当且仅当且即，时取等号，

此时最小值为，所以D正确.故选：ABD.

10.【答案】AD解：由题意可得，所以，故A正确；

则，所以，由，得，

所以，，则，，又，所以，

则，由，得，

所以，则为偶函数，故B错误；

令，得，，

所以的单调递增区间为，故C错误；

，则，故D正确.

11.【答案】ACD【分析】根据，计算即可判断A；

由A求得，从而可求得正四面体的体积，即可判断B；当是中心时，，即可判断C；

根据，，，则，从而可得，

设到，，的距离为，，，从而可得，即可判断D.

解：正四面体的高为，由，

即，所以，所以，故A正确；

由A知，，∴，B不正确；

当是中心时，，此时，，成等比数列，故C正确；

对于D选项，因为，，若，则，

则，设到，，的距离为，，，∴，又因为平面、平面、平面与平面所成角相等，∴，所以，，成等差数列，故D正确.

12.答案：AD.解：A选项：对任意三点、、，若它们共线，设，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，或，，，则；若，或，对调，可得；

若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，

由矩形或矩形，；

则对任意的三点，，，都有；故A正确；

B选项：设点是直线上一点，且，

可得，由，解得或，即有，当时，取得最小值；由，解得，即有，的范围是，无最值，

综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故B错误；

C选项：到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点；

设，即为，

若，则，两边平方整理得；

若，则，两边平方整理得；

故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；

D选项：定点、，动点，满足，

可得不在轴上，若在线段间，可得，解得，

由对称性可得也成立，即有两点满足条件；

若在第一象限内，满足，即为，为射线，

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.故D正确.故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】105.解：根据题意，某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，则该表演队一共有9人，不会表演舞蹈的有4人，从9人中任选4人，有种选法，其中4人都不会表演舞蹈的有种情况，只有1人会表演舞蹈的有种情况，则至少有2人能演舞蹈节目，有种.

14.【答案】3.

解：依题意，设，由，得为的中点且，

则，易得直线的垂线的方程为.

令，得，故，由抛物线的定义易知，

故.故答案为：3

15.【答案】（答案不唯一）解：依题意，令，则，，，所以，故满足①；

又，则，即满足②；故答案为：（答案不唯一）

16.【答案】.【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上.因为零点存在，则，即，令，，

令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，

所以，的最小值为.故答案为：

17.解：（1）由题意.

令，，解得，，

故函数的单调递减区间为，；

（2）由（1）知，解得，因为，所以.

由正弦定理可知，则，，

所以

在锐角中，易知，得，

因此，则，故的取值范围为.

18.解：（1）由，又因为，所以，

所以，设数列的公比为，则，

选①，因为，，所以，

又，所以，所以，

若选②，，所以，，即，

所以或，因为，所以，则.

若选③，由，得，又，解得，

因为，所以，所以.

（2）由（1）得，所以，

因为，

所以当或2时，；当时，；当时，，

所以，所以使得取得最大值时的值为3或4.

19.解：（1）∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于，的点，故又∵，，∴∵，∴，

∴∴，又∵，，，平面∴平面

（2）取的中点，连接，，则，由（1）可知，∵，∴平面，又∵

∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，∵平面，

∴，四边形为矩形，∴平面的一个法向量为.

设平面的一条法向量为，，.

由得令，则，

，平面的一个法向量为

则平面与平面的夹角的余弦值为

∴平面和平面夹角的余弦值为

20.解：（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，

则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；

（2）表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，的可能取值有0，1，2.

；；.

分布列为：

（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：，

，

，

因为，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人.

21.【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得，，即得答案；

（2）根据，，，四点共圆结合几何性质可推出，设，，，从而可以用点的坐标表示出，再设直线，联立双曲线与直线方程，利用根与系数的关系式，代入的表达式中化简，可得答案.

解：（1）因为实轴长为4，即，，又，

所以，，故的方程为.

（2）由，，，四点共圆可知，，又，即，故，即，所以，设，，，

由题意可知，则直线，直线，

因为在直线上，所以，代入直线方程，可知，

故坐标为，所以，又，由，则，整理可得，当直线斜率不存在时，显然不符合题意，

故设直线，代入双曲线方程：中，

可得，所以，，

又

，

所以，

故，即，所以点坐标为.

22.【分析】（1）求解导数，表示出，再利用的导数可求的取值范围；

（2）表示出，结合二次函数知识求出的最小值，再结合导数及基本不等式求出的最值，从而可求正整数的取值集合.

解：（1）因为，所以，

所以，则，由题意可知，解得；

（2）由（1）可知，，所以

因为

整理得，

设，则，所以单调递增，

又因为，所以存在，使得，

设，是关于开口向上的二次函数，

则，

设，则，令，则，

所以单调递增，因为，

所以存在，使得，即，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

因为，所以，

又由题意可知，所以，

解得，所以正整数的取值集合为.