浙江省北斗星盟2023届高三数学5月联考试题（Word版附解析）

高三数学学科试题

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题纸.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求集合A、由幂函数的性质得集合B，再求并集即可.

【详解】由题意可得，

易知在定义域单调递增，故，故.

故选：B

2. 若，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法运算及求模公式计算即可.

【详解】由，

故选：A

3. 已知单位向量满足，其中，则在上的投影向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.

【详解】因为单位向量满足，

所以，

由投影向量计算公式可知在上的投影向量是，

即

故，而，故.

故选：D

4. 《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在底面，且底面为正方形的阳马中，若，则（    ）

A. 直线与直线所成角为

B. 异面直线与直线的距离为

C. 四棱锥的体积为1

D. 直线与底面所成角的余弦值为

【答案】B

【解析】

【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.

【详解】由底面，底面为正方形，而，则阳马可补形成正方体，如图，

对于A，由底面，底面，则，因此直线与所成角为，A错误；

对于B，连接，平面，平面，则有平面，

从而异面直线与直线的距离等于直线与平面的距离，

取的中点，连接，则，而平面，

平面，于是，又平面，

因此平面，所以直线与平面距离为，B正确；

对于C，四棱锥的体积，C错误；

对于D，连接，则是直线与底面所成的角，而，

因此，D错误.

故选：B

5. 临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.

【详解】恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有种，

恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有种，

恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有种，

恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种，

因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为个，

至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有个基本事件，

所以至少有3位同学摸到自己写祝福卡片的概率.

故选：C.

6. 定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分段写出函数解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.

【详解】依题意，，

函数的递减区间是，，，

于是或，，

即，，解得，由，得，无解；

或，，解得，由，得，则或，

当时，，当时，，选项C满足，ABD不满足.

故选：C

7. 已知点是双曲线右支上一点，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点是的内心，再借助三角形面积公式求解作答.

【详解】作的平分线交的平分线于，过作轴，垂足分别为，如图，

则点为的内心，有，设，

，则，

于是直线与直线重合，而的角平分线与直线交于点，即与重合，则点为的内心，

因此令，由，得，

因此，即有，即，

所以双曲线的离心率为.

故选：B

8. 已知，且满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.

【详解】由，得，

由，得，

由，得，

令函数，显然，求导得，

当时，，单调递减，当时，单调递增，

于是，即有，而，

所以.

故选：B

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 样本数据的上四分位数为9.5

B. 若随机变量服从两点分布，若，则

C. 若随机变量服从正态分布，且是偶函数，则

D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1

【答案】AC

【解析】

【分析】求出上四分位数判断A；求出两点分布的方差判断B；利用正态分布的对称性求出u判断C；利用相关系数与相关性强弱的关系判断D作答.

【详解】对于A，样本数据，由，得上四分位数为，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，由是偶函数，得，

又，因此，C正确；

对于D，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，D错误.

故选：AC

10. 直三棱桂中，为棱上的动点，为中点，则（    ）

A.

B. 三棱锥的体积为定值

C. 四面体的外接球表面积为

D. 点的轨迹长度为

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意补直三棱柱为正方体，结合正方体的特征可判定A，利用等体积法转化可判断B，利用正方体的外接球及球的表面积公式可判断C，利用三角形中位线判断D即可.

【详解】

由题意可知：直三棱柱为正方体ABCD-A1B1C1D1的一半，如图所示.

对于A，连接AB1，A1B，结合正方体的特征，易知BE⊥AB1，AB1⊥A1B，

故AB1⊥面A1BE，面A1BE，则，即A正确；

对于B，由题意可知F到上下底面的距离均为0.5，故是定值，即B正确；

对于C，四面体的外接球即正方体的外接球，故其直径为，所以其表面积为,即C错误；

对于D，连接A1C，取其中点O，连接OF，易知OF为的中位线，故E从B运动到C的过程中F的运动轨迹长度为BC一半，即D正确.

综上ABD三项正确.

故选：ABD

11. 抛物线的准线方程为，过焦点的直线交抛物线于，两点，则（    ）

A. 的方程为

B. 的最小值为

C. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条

D. 过点分别作的切线，交于点，则直线的斜率满足

【答案】BD

【解析】

【分析】求出抛物线方程判断A；设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计算判断B；设出过点M的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C；求导并结合选项B的信息求解判断D作答.

【详解】对于A；依题意，，解得，的方程为，A错误；

对于B，由选项A知，，设直线的方程为，由消去y得，

设，则有，

，当且仅当时取等号，B正确；

对于C，过点且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y轴，设此直线方程为，

由消去y得：，当时，，直线与抛物线仅只一个交点，

当时，，解得，即过点且与抛物线相切的直线有2条，

所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C错误；

对于D，由求导得，由选项B知，，，

，由两式相减得：

，即，则，

于是，，即点，

所以，D正确.

故选：BD

12. 已知，则（    ）

A. 对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线

B. 对于给定的实数，存在，使得成立

C. 在上的最小值为0，则的最大值为

D. 存在，使得对于任意恒成立

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B，由可得，从而可判断，对于C，令，再由可得，由题意设为的极小值点，然后列方程表示出，从而可用表示，再构造函数，利用导数可证得结论，对于D，根据函数值的变化情况分析判断.

【详解】对于A，，

当时，，

当时，，

综上，，

所以对于任意的实数，存在，使与有交集，

所以对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线，所以A正确，

对于B，由于给定的实数，当给定时，则为定值，由，得

，，所以存在使上式成立，所以B正确，

对于C，令，而，

由题意可知，当时，恒成立，所以，

所以，即，

若在上递增，

因为在上的最小值为0，

所以，得，

所以，则在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，所以，

所以，

若在上不单调，

因为在上的最小值为0，

所以设为的极小值点，则

，解得，

所以

令，则

由，得，

或，

解得，或（舍去），或（舍去），或，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以，

综上，所以C正确，

对于D，，当时，，所以D错误，

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于选项C解题的关键是由题意设为的极小值点，则，求出，则可表示出再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知的展开式中常数项为120，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于的方程，解出即可.

【详解】的展开式通项为，

的展开式中的常数项为,解得.

故答案为：.

14. 已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）

【答案】或（写出一条即可）

【解析】

【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.

【详解】若过M的切线斜率不存在，即为，此时显然与两圆都相切；

若过M的切线斜率存在，不妨设为，则到的距离分别为，

即.

综上过M与两圆都相切的直线为：或

故答案为：或（写出一个即可）

15. 已知等差数列的公差为，前项和记为，满足，若数列为单调递增数列，则公差的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，确定恒成立，再分析判断，结合已知等式求解作答.

【详解】因为数列为单调递增数列，则当时，，

而等差数列的公差，若，由知，数列单调递减，

存在正整数，当时，，与数列为单调递增数列矛盾，

因此，由，得，即，解得，则，

所以公差的取值范围为.

故答案为：

16. 若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.

【详解】依题意，方程，即有三个不等实根，

设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为，

于是，

整理得，

因此，则，即有，解得或，

所以的取值范围是..

故答案：

【点睛】思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可求出的通项公式，再根据，作差得到数列是首项为，公比为的等比数列，即可得解；

（2）由（1）可得，利用分组求和法求出，令，利用作差法判断的单调性，即可求出，从而得到关于的对数不等式，解得即可.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，且成等比数列，

，即，解得或（舍去），

所以.

数列的前项和，

当时，，

当时，，，

即数列是首项为，公比为的等比数列，

.

【小问2详解】

由（1）可得，

.

令，，

单调递增，.

，，.

18. 在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大.某市研究组为了解该市市民压力的情况，随机邀请本市200名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，绘制如下样本数据频率分布直方图.

（1）求的值，并估计该市市民压力分值位于区间的概率；

（2）估计该市市民压力分值的平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

（3）若市民的压力分值不低于70，则称为“高压市民”.研究组对“高压市民”按年龄段进行研究，发现年龄在30岁到50岁的“高压市民”有35人，年龄在30岁到50岁的“非高压市民”有25人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段.为研究方便，记年龄在30岁到50岁为年龄段，其余为年龄段.根据所给数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.

附：，其中.

【答案】（1），；   

（2）58；    （3）列联表见解析，有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.

【解析】

【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出a，再由频率估计概率作答.

（2）利用频率分布直方图估计压力分值的平均值作答.

（3）由（1）及已知完善列联表，求出的观测值，与临界值比对作答.

【小问1详解】

依题意，，解得，

记“该市市民的压力分值在区间”为事件，则.

【小问2详解】

由频率分布直方图及（1）知，压力分值在各分组区间内的频率依次为：

，

所以.

【小问3详解】

由（1）知，高压市民有人，年龄段的人数有35人，年龄段的人数为35人，

所以列联表为：

零假设：该市高压市民与其年龄在在30岁到50岁无关，

，

所以有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.

19. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面.

（1）若为的中点，证明：平面；

（2）若，求平面与平面所夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答.

（2）根据给定条件，作出平面与平面所成二面角的平面角，再结合对应三角形计算作答.

【小问1详解】

在四棱锥中，为的中点，又，则，而，

因此平面，

所以平面.

【小问2详解】

在平面内过点作交直线于，连接，如图，

因为平面平面，平面平面，则平面，

而平面，则有，又，平面，

于是平面，平面，则，有，得，

平面，平面，则平面，平面与平面的交线为，

因此，有，从而为平面与平面所成二面角的平面角，

显然，则，

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

20. 记锐角内角的对边分别为.已知.

（1）求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到，进而求解；

（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.

【小问1详解】

由，故，

故，

，

故，因是锐角三角形，故，.

故，故，所以.

【小问2详解】

由正弦定理可知，

故，

.

.

由是锐角三角形，可知，

故，

故.

21. 已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为.

（1）求的方程；

（2）若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得曲线过点，然后根据曲线的离心率和之间的关系即可求解；

（2）设直线的方程为，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解.

【小问1详解】

由题知过点，则，解得，

.

【小问2详解】

设直线的方程为，

联立，得，

，

则，而，则，

故以为切点的切线为，即，

同理以为切点的切线为，则，

由，故两式作差得：，所以，

两式求和得：，

所以点由在椭圆上，即.

点到直线的距离，

所以，，

，

而、在上递增且恒正，

则在上递增，.

22. 己知函数有三个极值点，其中.

（1）求的取值范围；

（2）求证：；

（3）求证：

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为有两个不等实根，令，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；

（2）根据题意，是的两个根，将问题等价转化为证明，令，利用函数的单调性进而求证；

（3）根据题意可得，将要问题等价转化为，令，利用导数与函数的单调性得到，令，，根据函数的单调性进而求证.

【小问1详解】

有两个不等根

令，则

在单调递增，上单调递减，且

.

【小问2详解】

由（1）知，是的两个根

先证

令，

则

在上单调递增

又得证

【小问3详解】

因为，所以，

，所以

要证，即证：，

又因为，即证：.

令，

所以单调递减，单调递增，

，即.令，

时，单调递减，

所以所以，即，

即成立.

【点睛】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.