2023年湖南省娄底市中考数学三模试卷

2023年湖南省娄底市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  据统计，年全国新冠病毒疫苗及接种费用余亿元，将数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  以下是某校九年级名同学参加学校演讲比赛的统计表：

则这组数据的中位数和众数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的直径，弦交于点，连接、若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，矩形与反比例函数是非零常数，的图象交于点，，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接，若四边形的面积为，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镇嵌得到图，将图着色后，再次镇嵌便得到图，则图中的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图是显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是(    )

A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对

12.  基本不等式的性质：一般地，对于，，我们有，当且仅当时等号成立．例如：若，则，当且仅当时取等号，的最小值等于根据上述性质和运算过程，若，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  已知：点与点关于轴对称，则的值为______ ．

14.  “五一”期间，小明准备从长津湖、您好，北京、雄狮少年、检察风云四部电影中随机选择部进行观看，则选择长津湖观看的概率是______ ．

15.  如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是______ ．

16.  某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则__________．
 

17.  如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是          ．

18.  如图，在中，，，，若是边上一动点，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  如图是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，参考数据：，
求的长；
若米，求，两点的距离精确到．

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中满足．

22.  本小题分
某校为了促进学生的个性发展，计划开设四类拓展性课程，包括艺术体育类、自然科学类、人文社科类及其他类每人限选一项，要求人人都要参加为了解学生喜爱哪种课程，学校做了一次抽样测查根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据图中的信息回答下列问题：
此次抽样调查的样本容量是______ 人
求人文社科类在扇形统计图中所占圆心角的度数；
请将条形统计图补充完整；
若该校有名学生，请估计喜欢艺术体育类拓展课的学生人数．

23.  本小题分
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买，两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买种树苗棵，种树苗棵，要元；若购买种树苗棵，种树苗棵，则需要元．
求购买，两种树苗每棵各需多少元？
考虑到绿化效果和资金周转，购进种树苗要多于种树苗，且用于购买这两种树苗的总资金不能超过元，若购进这两种树苗共棵，则有哪几种购买方案？哪种购买方案最省钱？

24.  本小题分
如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
在正方形中，点是边的中点，点在线段上不与点重合，点在边上，且，连接，以为边在正方形内作正方形．
如图，若，当点与点重合时，求正方形的面积．
如图，已知直线分别与边，交于点，，射线与射线交于点．
求证：；
设，和四边形的面积分别为，求证：．

 

26.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点．

求抛物线的解析式；
当面积最大时，求点的坐标；
如图，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、原式，原计算正确，故此选项符合题意；
C、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则，完全平方公式解答即可．
此题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则，完全平方公式，熟练掌握法则和公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第个和第个数的平均数，
因此中位数是，
这名学生成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
故选：．
根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握众数、中位数的计算方法是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，不符合题意，
B、不是轴对称图形，不符合题意，
C、不是轴对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，符合题意，
故选：．
根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义，正确理解定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得，
所以点坐标为，
所以关于，的二元一次方程组的解是．
故选：．
先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

8.【答案】 

【解析】解：点、均在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
，
，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
故选：．
先确定的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了菱形的性质，学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作于，

，
，
，
，
，
即，
，和分别平分和，
，，
，
，
，
，
的面积为．
故选：．
过作于，根据角平分线的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设为常数，
两式相除得，，
为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：．
由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与是反比例关系，可得为常数，即可得到答案．
本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
，
的最小值是．
故选：．
，把看成一个整体，根据题目中的性质和运算过程运算即可．
本题主要考查反比例函数的性质，非负数的性质，不等式的性质，读懂题意，灵活运用非负数的性质是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：从长津湖、您好，北京、雄狮少年、检察风云四部电影中随机选择部进行观看共有种等可能结果，其中选择长津湖观看的只有种结果，
所以选择长津湖观看的概率为，
故答案为：．
利用概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以的最大整数值是．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后找出最大整数值即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，
，
，
，，
又，，
，，
．
故答案为：．
过点作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．
首先运用旋转变换的性质求出的度数，结合，即可解决问题．
【解答】
解：由题意及旋转变换的性质得：，
，
，
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，过作于，
中，，，，
，，，，
中，，即，
与关于对称，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，
此时，中，，
的最小值为，
即的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接，，过作于，依据与关于对称，可得，进而得出，当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，依据的最小值为，即可得到的最小值．
本题主要考查了最短距离问题，掌握最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换，作点关于某直线的对称点是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过作于，
则四边形为矩形，
米，米，
米
在中，

米；

如图，连接，过作交射线于点，则，
，
米，
米，
米，
米，
，
，
在中，米，
，两点的距离约为米． 

【解析】过作于，可得四边形为矩形，利用利用度角的直角三角形可求出的长；
连接，过作交射线于点，则，利用度角的直角三角形的性质与锐角三角函数即可求出，两点的距离．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握度角的直角三角形的性质与锐角三角函数．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项负整数指数幂法计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：




，
，
，
当时，
原式． 

【解析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：人，
即此次调查人．
故答案为：；
，
答：人文社科类在扇形统计图中所占圆心角的度数为；
喜欢“自然科学”的人数为人，
喜欢“其它类”的人数为人，
补全条形统计图如图所示：

名，
答：估计喜欢艺术体育类拓展课的学生人数大约有名．
从两个统计图中可知，喜欢“体育”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；
求出人文社科类所占的百分比，因此圆心角占的；
求出喜欢“自然科学”的人数和喜欢“其它类”的人数，即可补全条形统计图；
样本估计总体，样本中喜欢艺术体育类拓展课的占，估计总体人中约有喜欢“艺术体育类”．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系式解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元，
依题意得，
解得．
答：购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元．
设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案，
方案：购进种树苗棵，种树苗棵；元，
方案：购进种树苗棵，种树苗棵；元，
方案：购进种树苗棵，种树苗棵．元，
购进种树苗棵，种树苗棵最省钱． 

【解析】设购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
 

24.【答案】 证明：连接，如图．

，，
，．
又，
．
是的直径，
，
，
，即，
是的切线．
解：，，
，
∽，
，即．
又，，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据圆周角定理得到，得到，于是得到结论；
作，垂足为点，证明∽，由相似三角形的性质求出答案．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

点是边的中点，若，当点与点重合，
，
，
，
在中，，
正方形的面积；
如图，

证明：
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
证明：四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】由点是边的中点，若，当点与点重合，得出，由，得出，由勾股定理得出，即可求出正方形的面积；
由“一线三直角”证明∽，得出，由，得出，进而证明；
先证明≌，得出，再证明∽，得出，由正弦的定义得出，进而得出，得出，即可证明．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线过点，，，
代入得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
设，则，
设直线解析式为，
直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
当时，即当时，；
存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，则，．
，
如图，过点作轴于点，则，

由可得：，，，
，
是等腰直角三角形，

当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点，
当∽时，，即，
解得：或舍去，
；
当∽时，，即，
解得：或舍去，
．
综上所述，或． 

【解析】将，，三点的坐标代入，得到关于，，的三元一次方程组，解方程组即可；
设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论；
分∽和∽两种情况列式求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第小问，要注意分类求解，避免遗漏．