2022-2023学年北京重点中学高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年北京重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知数列满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若数列的前项分别是，，，，则该数列的一个通项公式为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知数列的前项和，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知数列的通项公式为，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  A、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是(    )

A. 在区间上，是增函数
B. 当时，取到极小值
C. 在区间上，是减函数
D. 在区间上，是增函数

10.  垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在等比数列中，，且，则 ______ ．

12.  已知是单调递增的等比数列，，，则公比的值是______ ．

13.  的展开式中的常数项为______ ．

14.  已知某质点的位移单位：米与时间单位：秒的运动方程为，则该质点在秒时的瞬时速度为        米秒．

15.  某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为        取，

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知等比数列满足，，为数列的前项和．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若，求的值．

17.  本小题分
在件产品中，有件不合格品，从中任取件，问：
“恰有件不合格品”的取法有多少种？
“没有不合格品”的取法有多少种？
“至少有件不合格品”的取法有多少种？

18.  本小题分
已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，在，；，；，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题．
问题：若，且_____，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．

19.  本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的最值．

20.  本小题分
设函数．
讨论的单调性；
若恒成立，求的值．

21.  本小题分
已知函数为实常数．
若，求证：在上是增函数；
当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据递推关系，求解即可得出答案．
本题考查数列递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：数列的前项分别是，，，，
其分子均为，分母分别为，，，，，且前面的系数正负交替；
该数列的一个通项公式为：．
故选：．
分别研究分子与分母的规律，即可得出通项公式．
本题考查了数列的通项公式的应用问题，解题时应根据数列的各项特征，归纳数列的通项公式，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：数列的前项和，
．
故选：．
由已知转化为求，结合已知和公式可求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系在项的求解中的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为的通项为，当时，．
所以的系数为．
故选：．
用二项式定理的通项公式展开，使得的系数为，可以确定的值，即可求得．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，所以．
故选：．
根据通项公式代入计算可得．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
．
故选：．
根据导数公式求出，进而可以求出结果．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，
将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，
综上共有种排法．
故选：．
利用捆绑法求解相邻问题，即可求解．
本题考查捆绑法的应用，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：分以下两种情况讨论：
若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，
此时不同的排法种数为种；
若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，
此时不同的排法种数为．
综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种．
故选：．
对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，先小于，后大于，
故在先递减再递增，故A错误，
当时，取极大值，故B错误，
当时，先大于，再小于，
故在上先递增再递减，故C错误，
当时，，函数单调递增，故D正确．
故选：．
由已知结合导数与单调性关系分析各选项即可判断．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，
考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种．
故选：．
将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为等比数列中，，且，
则．
故答案为：．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由等比数列性质知，
联立，解得或，
因为是单调递增的等比数列，所以，，
即．
故答案为：．
利用等比数列性质得到，再解方程组即可．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式通项公式为，
令，解得，
故，
所以展开式中常数项为．
故答案为：．
利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据导数的物理意义，对运动方程，
求导得；，令 解得，
即该质点在秒时的瞬时速度为．
故答案为：．
根据导数的物理意义，该质点的瞬时速度即为某点关于位移的导数，求导然后代入即可．
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：第一年年底剩余资金，
第二年年底剩余资金
第年年底剩余资金，，
所以，，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
，即，
令，
解得，
两边同时取对数得：，
即，
又，则正整数的最小值为．
故答案为：．
由已知归纳出第年年底剩余资金，由构造法以及等比数列的通项公式求出，根据对数的运算解不等式，得出正整数的最小值．
本题考查数列的应用，考查对数的运算，属于中档题．
 

16.【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，
所以；
Ⅱ由知，
由，得，
解得． 

【解析】Ⅰ由已知结合等比数列的通项公式先求出公比，进而可求；
Ⅱ由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：恰有件不合格品，即件不合格品、一件合格品，
所以取法有种；
没有不合格品，即全是正品，
所以取法有种；
利用间接法可知，至少有件不合格品的取法有：种． 

【解析】因为取件产品，恰有件不合格品，即件不合格品、一件合格品，利用组合数定义即可求到结果；
没有不合格品，即全是正品，利用组合数定义即可求到结果；
至多、至少问题，一般采用间接法求解．
本题考查排列、组合的运用，解题时要理解“至多”、“至少”的含义，从而分类讨论，属于基础题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
即，
解得或舍去，又，
所以数列的通项公式为．
解：选，由，，
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，，
两式相减得，
所以．
选，由，，
当时，，
所以，所以数列为以为首项为公比的等比数列，
所以，则，
所以，，，
两式相减得，
所以．
选，由，，得，又，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以．
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，，
两式相减得，
所以． 

【解析】根据等比中项性质，结合等差数列通项公式得，再求通项公式即可；
根据题意求得，再根据错位相减法求解即可．
本题主要考查等差数列的与等比数列的综合，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为函数，所以，
又函数在处取得极值．
则有，即，解得：，
经检验，，时，符合题意，故，．
由知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
也即．
由知：函数，则，
令，解得：，，
在时，随的变化，，的变化情况如下表所示：

由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为． 

【解析】求导，利用在处的导数值为，并且，解之检验即可求解；
结合的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
结合的结果，列出在时，随的变化，，的变化情况，进而即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：的定义域为，
又，
若，则，在上单调递增；
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
由知，若，则当时，，矛盾，
因此，由知此时，
又恒成立恒成立，
设，即恒成立，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
显然函数在处有唯一零点，且，
而恒成立，所以，
所以． 

【解析】利用导数的性质分类讨论进行求解即可；
根据的结论，结合构造函数法进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：证明：由题可知函数的定义域，
，，，
令，解得，
在上是增函数．
，，，
令解得，令解得，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数有最小值为，
，，
当时，函数有最大值为．
由得，即，
，，，，
且当时，在恒成立，，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，
令，解得，
在单调递减，单调递增，
，
时，恒成立，
，
实数的取值范围是． 

【解析】利用导数大于零即可证明；
利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；
利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．