2023年贵州省遵义市第五十七中学中考数学四模试卷（含答案）

2023年贵州省遵义五十七中中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算正确的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在一个不透明的盒子中，装有质地、大小完全相同的白色乒乓球个，黄色乒乓球个随机摸出个球，摸到黄色乒乓球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，是边上的点，，：：，则与的面积比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

6.  圆锥的底面半径是，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图所示，直线：与直线：交于点，不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

10.  如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则点到的距离为(    )

 

A.  B.  C.  D.

11.  在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
；；；；．
其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

12.  如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点不与，重合，交于点以点为圆心，为半径的圆交直线于点，若，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  在实数范围内分解因式：______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是______ ．

15.  如图，在四边形中，对角线，相交于点，，若，则的面积是______，______度．

16.  如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，当的值最小时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.  有三个不等式，，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
小红在计算时，解答过程如下：

小红的解答从第______ 步开始出错，请写出正确的解答过程．

四、解答题（本大题共8小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同，转盘甲上的数字分别是，，，转盘乙上的数字分别是，，规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次．
转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是______；转盘乙指针指向正数的概率是______．
若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率．

19.  本小题分
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
求这个反比例函数的表达式；
根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围．
 

20.  本小题分
如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．
求证：≌；
若，，求四边形的面积．

21.  本小题分
如图所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，在同一条直线上根据以上数据，解答下列问题：
求灯管支架底部距地面高度的长结果保留根号；
求灯管支架的长度结果精确到，参考数据：．

22.  本小题分
如图，是的直径，弦与交于点，且，连接，．
求证：≌；
若，，求弦的长；
在的条件下，延长至点，使，连接求证：是的切线．

23.  本小题分
遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台．
求，型设备单价分别是多少元；
该校计划购买两种设备共台，要求型设备数量不少于型设备数量的设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．

24.  本小题分
如图，抛物线：与抛物线：开口大小相同、方向相反，它们相交于，两点，且分别与轴的正半轴交于点，点，．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
是直线上方抛物线上的一个动点，连接，，运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．

25.  本小题分
如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．

求线段的长；
求证四边形为菱形；
如图，，分别是线段，上的动点与端点不重合，且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，的倒数是，
故选：．
运用实数的倒数是进行求解、辨别．
此题考查了倒数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方的运算法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：随机摸出一个球共有种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有种，
随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为．
故选：．
随机摸出一个球共有种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有种，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
直接利用分式的加减运算法则化简得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以解答本题．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解方程即可得到母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【解答】
解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得．
即圆锥的母线长为，
圆锥的高为：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：设年平均增长率为，可列方程为：
，
故选：．
设投入的年平均增长率为，由题意得等量关系：年销量增长率年销量，根据等量关系列出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知：当时，直线：在直线：的上方，
即，
所以不等式的解集是．
故选：．
利用函数图象写出直线：与在直线：上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，反比例函数的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数，即，
通过观察发现，点、、可能在图象上，点不在图象上，
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象进行判断即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象以及图象上点的坐标特征是正确判断的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于，

，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于，利用含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据，得，代入计算可得答案．
本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：图象开口向下，
，
对称轴为直线，
，
图象与轴的交点在轴的上方，
，
，
说法正确，
，
，
，
说法错误，
由图象可知时，，根据对称性时，，
，
说法错误，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
说法正确；
当时，，
，
，
说法正确，
正确的为，
故选：．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
故选：．
图中阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积．
本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积．
 

13.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
在实数范围内把写作，原式满足平方差公式的特点，利用平方差公式即可把原式分解因式．
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果要注意可以出现无理数．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
点的坐标是，
，
在直角三角形中，，
，
点的坐标，
与关于原点对称，
点的坐标．
故答案为：．
根据菱形性质得的长，因而得点的坐标，根据对称性质可得答案．
此题考查的是菱形的性质、坐标与图形的性质，掌握菱形的对称性质是解决此题关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：过作于，如图：

设，，则，，
，，
∽，
，即，
，
在中，，
，
由得负值已舍去，
，，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
又，，
≌，
，
，
故答案为：，．
过作于，设，，则，，由∽，有，，在中，，可解得，，即得，由，，可得是等腰直角三角形，故，，从而知，证明≌，得，即得．
本题考查等腰直角三角形性质及应用，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点设．

，，
，
，
，
，
，
欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图中，

作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，
此时直线的解析式为，
当时，，
的值最小时，的值为，
故答案为：．
过点作于点设，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图中，作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，此时直线的解析式为，求出点的坐标，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】一 

【解析】解：第一种组合：，
解不等式，得，
解不等式，得
原不等式组的解集是；

第二种组合：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组无解；

第三种组合：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组无解；
任选其中一种组合即可；
一，
解：
．
故答案为一．
根据题意，挑选两个不等式，组成不等式组．然后解之即可．
应用完全平方公式错误．
本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了；也考查了整式的运算．
 

18.【答案】  

【解析】解：转盘甲被等分为份，其中份标有正数，所以转动转盘甲次，指针指向正数的概率是，
转盘乙也被等分为份，其中份标有正数，所以转动转盘乙次，指针指向正数的概率是，
故答案为：，；
同时转动两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为负数的有种，
所以同时转动两个转盘，指针所指数字之和为负数的概率为，
即满足的概率为．
根据概率的定义进行解答即可；
用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
 

19.【答案】解：一次函数过点，
．
点的坐标为．
反比例函数的图象过点，
．
这个反比例函数的表达式为；
反比例函数过点，
，解得，
点的坐标为．
一次函数值小于反比例函数值，
一次函数图象在反比例函数图象的下方．
在第二象限，；在第四象限，．
一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为：或． 

【解析】

【分析】
把点的坐标代入一次函数表达式，求出的值，得到点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数表达式求出的值即可；
把点的坐标代入反比例函数表达式，求出的值，得到点的坐标，一次函数图象在反比例函数图象的下方时的取值范围就是一次函数值小于反比例函数值的取值范围．
【点评】
本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合问题，根据两个函数图象确定其对应不等式的解时，首先应确定函数图象的交点坐标，其次要注意函数图象的位置．  

20.【答案】解：在矩形中，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
又，
在中，，
，，
． 

【解析】利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两队相等的角，利用证得两三角形全等即可；
利用全等三角形的性质求得，，从而利用勾股定理求得的长，利用求得答案即可．
本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．
 

21.【答案】解：在中，，，
米，
灯管支架底部距地面高度的长为米；
延长交于点，

，，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，米，，
米，
米，
米，
在中，米，
米，
灯管支架的长度约为米． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
延长交于点，根据已知易得，从而利用三角形的内角和可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
，，
≌；
解：如图，连接，

，
，
，
≌，
，
，
，
，
；
证明：如图，连接，

，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
是的切线． 

【解析】可证，则由定理可证明结论；
可证，则，由直角三角形的性质可求出的长；
可得出，，连接，可证出，则结论得证．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

23.【答案】解：设每台型设备的价格为万元，则每台型号设备的价格为万元，
根据题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解．
，
每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元．
设购买台型设备，则购买台型设备，
，
由实际意义可知，，
且为整数，
，
随的增大而增大，
当时，的最小值为元．
，且最少购买费用为元． 

【解析】设每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元，根据“用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台”建立方程，解方程即可．
根据总费用购买型设备的费用购买型设备的费用，可得出与的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：令：，则或，即点，
、：开口大小相同、方向相反，则，
则点，将点的坐标代入的表达式得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
联立、表达式并解得：或，
故点，
作点关于对称轴的对称点，
连接交函数的对称轴于点，

此时的值最小为：线段的长度，
此时点；
直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，

设点，则点，
则，
，故，
故当点时，最大值为． 

【解析】、：开口大小相同、方向相反，则，将点的坐标代入的表达式，即可求解；
作点关于对称轴的对称点，连接交函数的对称轴于点，此时的值最小，即可求解；
，即可求解．
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．
 

25.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
证明：四边形是矩形，
，
∽，
，
由得：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
在中，，，
，，
，
如图，

当时，
在中，
，
在中，
，
，，
，
如图，

当时，，
，
，
，
，
在中，
，
综上所述：或． 

【解析】在直角三角形中，由勾股定理求出，进而求得，设，则，在直角三角形，根据勾股定理累出关于的方程；
根据得出∽，从而得出，求出；
先求得的正切和正弦值，当时，解直角三角形和直角三角形；当时，解直角三角形和直角三角形．
本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，考虑全面，充分利用解直角三角形或相似三角形的知识．