2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知全集，0，1，，，，则集合　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）“”是“”的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．（5分）已知，则的值为　　

A． B．1 C． D．

5．（5分）函数的值域为　　

A．， B． C． D．，

6．（5分）下列四组函数中，与（或表示同一个函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

7．（5分）已知实数，，且，则的最小值为　　

A． B． C．4 D．

8．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）设集合，则下列表述不正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）下列命题中是真命题的有　　

A．若函数在，和上都单调递增，则在上单调递增 

B．狄利克雷函数在任意一个区间都不单调 

C．若函数是奇函数，则一定有 

D．若函数是偶函数，则可能有

12．（5分）已知，，且，那么下列结论正确的有　　

A．有最大值 B．有最小值 

C．有最大值 D．有最小值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知，则（6）　　．

14．（5分）已知函数，，则（3）　　．

15．（5分）某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元盒，桔子65元盒，水蜜桃80元盒，荔枝90元盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的．

①时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付　　元；

②在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即，则的最大值是　　．

16．（5分）为定义在上的偶函数，在区间，上是增函数，则不等式的解集为　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

17．（10分）已知、是正实数，求证：．

18．（12分）计算：

（1）；

（2）．

19．（12分）已知二次函数的值域为，，且不等式的解集为．

（1）求的解析式；

（2）若对于任意的，，都有恒成立，求实数的取值范围．

20．（12分）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域修建花圃，规定的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域用来种花，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设米，种花区域的面积为平方米．

（1）将表示为的函数；

（2）求的最大值．

21．（12分）已知集合，集合．

（1）若，求的取值范围；

（2）在中有且仅有两个整数，求的取值范围．

22．（12分）设，为大于0的常数）．

（1）若的最小值为4，求的值；

（2）用定义证明：在，上是增函数；

（3）在（1）的条件下，当时，都有恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知全集，0，1，，，，则集合　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】直接求补集．

【解答】解：因为全集，0，1，，，，

所以：，，

故选：．

【点评】本题考查补集，属于基础题．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】解，得集合，，根据充要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：解一元二次方程，得集合，，

，，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了充要条件的定义及一元二次方程的解，属于基础题．

3．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】特称命题“，”的否定是：把改为，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即，使”．

【解答】解：特称命题“，”的否定是全称命题：

，使”．

故选：．

【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可．

4．（5分）已知，则的值为　　

A． B．1 C． D．

【分析】根据完全平方公式即可求出．

【解答】解：由，可得．

故选：．

【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．

5．（5分）函数的值域为　　

A．， B． C． D．，

【分析】利用函数的单调性求时的的值域，再由二次函数的单调性求时的函数的值域，取并集得答案．

【解答】解：当时，单调递减，，；

当时，，其对称轴方程为，图象是开口向下的抛物线，

函数在，上单调递增，在，上单调递减，又，（1），（3）．

，．

综上所述，函数的值域为，，．

故选：．

【点评】本题考查分段函数的值域及其求法，分段函数的值域分段求，然后取并集，是基础题．

6．（5分）下列四组函数中，与（或表示同一个函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】根据函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数，对选项中的函数进行判定即可．

【解答】解：对于，，；，；它们的对应关系不同，不是同一函数；

对于，，；，，；它们的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；

对于，，，，；，；它们的定义域不同，不是同一函数；

对于，，；，；它们的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．

故选：．

【点评】本题考查了判定两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．

7．（5分）已知实数，，且，则的最小值为　　

A． B． C．4 D．

【分析】先对式子变形，再由题设条件利用基本不等式求得结果．

【解答】解：由题设可得：，

当且仅当，时取“ “，

故选：．

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．

8．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据函数的定义域，奇偶性和函数值的变化趋势即可判断．

【解答】解：的定义域为，，，，故排除，

，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除，

当时，，故排除，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的定义域，奇偶性和函数值的变化趋势是关键，属于基础题．

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）设集合，则下列表述不正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】先求出集合，再利用集合与元素的关系和集合间的基本关系求解．

【解答】解：集合，，

，，，，

故选：．

【点评】本题主要考查了集合与元素的关系，考查了集合间的基本关系，是基础题．

10．（5分）下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用充要条件的定义逐项分析即可判断．

【解答】解：对于：若，则，则，反之不成立，正确．

对于：当时，，错误，

对于：若，由，则，反之不成立，正确，

对于在单调递减，若，则，反之不成立，正确．

故选：．

【点评】本题考查了充要条件的定义，属于基础题．

11．（5分）下列命题中是真命题的有　　

A．若函数在，和上都单调递增，则在上单调递增 

B．狄利克雷函数在任意一个区间都不单调 

C．若函数是奇函数，则一定有 

D．若函数是偶函数，则可能有

【分析】反例判断；利用函数值判断单调性，判断；反例判断；特例判断；

【解答】解：对于，反例，所以不正确；

对于，在任意区间上，总可以取，，使得，

则在上是不单调的，所以正确；

对于，反例，是反函数，但是没有意义，所以不正确；

对于，函数是偶函数，利用，满足题意，所以正确；

故选：．

【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数的单调性以及函数的奇偶性，是基本知识的考查．

12．（5分）已知，，且，那么下列结论正确的有　　

A．有最大值 B．有最小值 

C．有最大值 D．有最小值

【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．

【解答】解：，，且，

，当且仅当且，

即时取等号，

解可得，正确，错误；

因为，

当且仅当且即时取等号，

解得，错误，正确．

故选：．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知，则（6）　　．

【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．

【解答】解：由，

可得（6），

（6），

即（6），

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接求解，注意变量的取值范围．

14．（5分）已知函数，，则（3）　9　．

【分析】由函数，可得函数是奇函数．即可得出．

【解答】解：函数，

函数是奇函数．

（3），

又，

（3）．

故答案为：9．

【点评】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．

15．（5分）某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元盒，桔子65元盒，水蜜桃80元盒，荔枝90元盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的．

①时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付　130　元；

②在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即，则的最大值是　　．

【分析】①由一盒梨子与一盒水蜜桃的价格和减去10得答案；

②购买总价刚好为120元时，折扣比例最高，由此列不等式求得的范围得答案．

【解答】解：①由于梨子60元盒，水蜜桃80元盒，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，总价为元，

超过120元，则顾客少付元，需要支付元；

②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高，

此时有，解得．

的最大值是15元．

故答案为：130；15元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，正确理解题意是关键，是基础题．

16．（5分）为定义在上的偶函数，在区间，上是增函数，则不等式的解集为　　．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

【解答】解：因为为定义在上的偶函数，即，

所以，

所以为偶函数，

因为在，上是增函数，

由可得，

即，

所以，

解得．

故答案为：

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用

三、解答题：本大题共6小题，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

17．（10分）已知、是正实数，求证：．

【分析】利用基本不等式可得，两式相加，即可证得

【解答】证明：、是正实数，（当且仅当时，取“”号）

两式相加得

即

【点评】本题主要考查了基本不等式在不等式证明中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则

18．（12分）计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）根据指数的运算性质即可求出．

（2）根据对数的运算性质即可求出．

【解答】解：（1）原式，

（2）原式．

【点评】本题考查了对数的运算性质和指数的运算性质，属于基础题．

19．（12分）已知二次函数的值域为，，且不等式的解集为．

（1）求的解析式；

（2）若对于任意的，，都有恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）设，由题意可得（1），，3为的两根，可得，，的方程，解方程可得的解析式；

（2）由题意可得对，恒成立，令，则，判断的单调性，可得最小值，即可得到所求范围．

【解答】解：（1）设，

由题意可得对称轴为，且（1），又，3为的两根，

则，，，

解得，，，

即；

（2）对于任意的，，都有恒成立，

即为对，恒成立，

令，则，

当，，可得递减，则的最小值为（2），

则．

【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．

20．（12分）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域修建花圃，规定的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域用来种花，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设米，种花区域的面积为平方米．

（1）将表示为的函数；

（2）求的最大值．

【分析】（1）由，结合矩形花圃面积可得，，再由矩形面积公式得，由、大于0求解函数的定义域；

（2）由（1）中求得的的函数解析式利用基本不等式求最值．

【解答】解：（1），，，，

，

，，解得，

；

（2），

当且仅当，时取等号，

的最大值为．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．

21．（12分）已知集合，集合．

（1）若，求的取值范围；

（2）在中有且仅有两个整数，求的取值范围．

【分析】（1）根据，讨论是空集和不是空集，得到关于的不等式，解出即可；

（2）通过讨论的范围，以及满足中有且仅有两个整数的条件下，得到关于的不等式，解出的范围即可．

【解答】解：（1）若，则，

，故，，

集合的不等式可化为，

①，即△，解得：，符合题意；

②，即时，此时，，解得：且，

综上：；

（2）集合中有3个整数0，1，2，，

由中有且只有2个整数，可得中有0，1，2中的2个整数，

即时，，

则中整数仅有0，1或仅有1，2，

若仅有0，1，则，，解得：，

若仅有1，2，则，，无解，

即时，，不满足题意，

即时，，

则中整数仅有0，1或仅有1，2，

若仅有0，1，则，，解得：，

若仅有1，2，则，，无解，

综上，实数的取值范围是，，．

【点评】本题考查了集合的包含关系以及集合的交集，并集问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

22．（12分）设，为大于0的常数）．

（1）若的最小值为4，求的值；

（2）用定义证明：在，上是增函数；

（3）在（1）的条件下，当时，都有恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）运用基本不等式可得的最小值，解方程可得所求值；

（2）运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；

（3）原不等式可化为，即恒成立．由基本不等式可得不等式右边的最小值，可得所求范围．

【解答】解：（1）由，，，

当且仅当时取得等号，

所以，解得；

（2）证明：任取，，，设，

，

因为，所以，，且，

所以，即，所以在，上是增函数；

（3）原不等式可化为，即恒成立．

因为，

当且仅当时取得等号，

所以．

【点评】本题考查函数的单调性和最值的求法，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想，运算能力，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:22:39；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394