2020-2021学年江苏省南京市六校高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市六校高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．不存在， 

C．， D．，

2．（5分）设集合，，，，则　　

A． B． C．， D．，0，

3．（5分）设函数，则　　

A．1 B． C．2 D．4

4．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　

A． B． C． D．

5．（5分）“”是“”的　　

A．必要条件 B．充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6．（5分）已知，且，则的最小值为　　

A． B． C．6 D．8

7．（5分）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的31次方是个35位数，那么根据，取常用对数得可得到，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是　　

A．5 B．6 C．7 D．8

8．（5分）关于的不等式对任意的恒成立，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分.

9．（5分）下列命题正确的有　　

A．， 

B．是函数为偶函数的充要条件 

C． 

D．是的必要条件

10．（5分）若，则下列不等式中恒成立的有　　

A． B． C． D．

11．（5分）下列不等式恒成立的有　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）已知，则下列说法正确的有　　

A．奇函数 B．的值域是， 

C．的递增区间是， D．的值域是，，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）计算的值是　　．

14．（5分）已知函数，，，且，则（2）的值是　　．

15．（5分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是　　．

16．（5分）设集合，中的最大、最小元素分别为、，则的值是　　，当取最小元素时的值是　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合，．

（1）当时，设全集，则；

（2）若，则实数取值范围．

18．（12分）设正实数，满足．

（1）求的最小值，并指出最小值时相应的，的值；

（2）求的最小值，并指出取得最小值时相应的，的值．

19．（12分）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元件）分别近似地满足下列关系：，，其中，当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．

（1）求平衡价格和平衡需求量．

（2）若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值，并求出最大值．

20．（12分）已知关于的不等式的解集是．

（1）若，求的取值范围；

（2）若函数的零点是和，求不等式的解集；

（3）直接写出关于的不等式的解集．

21．（12分）已知函数，且单调递增区间是，．

（1）若对任意实数都成立，求，的值．

（2）若在区间，上有最小值，求实数的值．

（3）若，对任意的，，，总有，求实数的取值范围．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求函数，的最大值；

（2）令，求证：对任意给定的实数，存在唯一的实数使得成立的充要条件是．

2020-2021学年江苏省南京市六校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．不存在， 

C．， D．，

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定为，．

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

2．（5分）设集合，，，，则　　

A． B． C．， D．，0，

【分析】进行并集的运算即可．

【解答】解：，，，，

，0，．

故选：．

【点评】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

3．（5分）设函数，则　　

A．1 B． C．2 D．4

【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．

【解答】解：函数，

，

则．

故选：．

【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．

4．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．

【解答】解：对于，函数为奇函数，在，上单调递增，故不符合题意；

对于，函数为奇函数，在定义域上为减函数，符合题意；

对于，函数为偶函数，不符合题意；

对于，函数为奇函数，且在定义域上为增函数，不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．

5．（5分）“”是“”的　　

A．必要条件 B．充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【分析】直接利用充要条件的判断方法判断充要条件即可．

【解答】解：因为，但是不能说一定为0，所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查逻辑推理能力．

6．（5分）已知，且，则的最小值为　　

A． B． C．6 D．8

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：因为，且，

则，

当且仅当即，时取等号，

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．

7．（5分）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的31次方是个35位数，那么根据，取常用对数得可得到，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】根据题意可得设这个数为，则，即可求出，即可求出．

【解答】解：某个正整数的57次方是个45位数，设这个数为，

则，

则，

则，

，

故选：．

【点评】本题考查了归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题．

8．（5分）关于的不等式对任意的恒成立，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】令，得到对任意的恒成立，利用参数分离法求出的取值范围．

【解答】解：关于的不等式对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，则对任意的恒成立，

也即对任意的恒成立，

所以只需，

所以，即．

故选：．

【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分.

9．（5分）下列命题正确的有　　

A．， 

B．是函数为偶函数的充要条件 

C． 

D．是的必要条件

【分析】利用方程的解是否存在小于0的解，判断；“”与函数是偶函数的关系，判断；利用无理式的几何意义可得；利用充要条件判断．

【解答】解：对于，，解得，所以，，所以正确；

对于，“”时，函数函数，“函数是偶函数时，由得到，故正确．

，所以；不正确，及不正确．

可得，反之不成立，所以不正确．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及函数的零点，函数的奇偶性的判断，不等式的解法以及充要条件的判断，是基本知识的考查．

10．（5分）若，则下列不等式中恒成立的有　　

A． B． C． D．

【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．

【解答】解：对于，，故正确；

对于，，故，故正确；

对于：若，则错误；

对于，故正确；

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．

11．（5分）下列不等式恒成立的有　　

A． B． 

C． D．

【分析】取特殊值判断，作差法判断．

【解答】解：对于；令．，显然错误；

对于，故正确；

对于，故正确；

对于，故正确；

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法以及作差法的应用，是一道基础题．

12．（5分）已知，则下列说法正确的有　　

A．奇函数 B．的值域是， 

C．的递增区间是， D．的值域是，，

【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，其定义域为，有，为奇函数，正确；

对于，，变形可得，则有△，解可得，即函数的值域为，，正确，

对于，，其导数，若，解可得，即的递增区间为，，正确，

对于，由选项的结论，错误，

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）计算的值是　　．

【分析】进行对数的运算即可．

【解答】解：原式．

故答案为：．

【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．

14．（5分）已知函数，，，且，则（2）的值是　5　．

【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得（2），结合（2）的值，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，则（2），，

则有（2），

又由，则（2），

故答案为：5．

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．

15．（5分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是　，　．

【分析】根据奇函数的性质可知在上是减函数，根据奇偶性和单调性可将不等式转化为，故而可得的范围．

【解答】解：是奇函数，在，上是减函数，

在上单调递减，

，

，

即，

，

解得．

故答案为：，．

【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题．

16．（5分）设集合，中的最大、最小元素分别为、，则的值是　　，当取最小元素时的值是　　．

【分析】根据不等式的性质求出最小值，取最小值为1，取最大值为2，结合基本不等式，即可求出答案．

【解答】解：，

取最小值为1，取最大值为2．

所以最大值，

又，

当且仅当时，取到等号，

即时，有最小值，

所以，

当取最小元素时的值是．

故答案为：，．

【点评】本题考查了集合的问题与不等式相结合．属于基础题

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合，．

（1）当时，设全集，则；

（2）若，则实数取值范围．

【分析】（1）可求出，时，可求出集合，然后进行补集和交集的运算即可；

（2）根据可得出或，然后解出的范围即可．

【解答】解：（1），时，，，

或，；

（2），，

或，解得，或，

实数的取值范围为，或．

【点评】本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，全集的定义，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18．（12分）设正实数，满足．

（1）求的最小值，并指出最小值时相应的，的值；

（2）求的最小值，并指出取得最小值时相应的，的值．

【分析】（1）因为，是正实数，根据基本不等式得，解出的取值范围，当且仅当时取等号；

（2）因，是正实数，根据1的代换，利用基本不等式得，求得最小值即可．

【解答】解：（1）因为，是正实数，则，即，

当且仅当时取等号，由，，

所以的最小值是8，，．

（2）因，是正实数，

则，

当且仅当时取等号，

所以的最小值是9，此时．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，用解不等式法，或者用1的代换是求解条件配凑的关键，属于基础题．

19．（12分）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元件）分别近似地满足下列关系：，，其中，当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．

（1）求平衡价格和平衡需求量．

（2）若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值，并求出最大值．

【分析】（1）令求得值，得到的值，则答案可求；

（2）由题意，，得到，然后分段求最大值，取最大值中的最大者得结论．

【解答】解：（1）令，得，解得，此时，

答：平衡价格是30元，平衡需求量是50万件；

（2）由题意，，

故．

当时，，可得时，；

当时，，即时，，

综上所述，当时，时，．

答：市场价格取40元时，市场销售额取得最大值，最大值为1600万元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．

20．（12分）已知关于的不等式的解集是．

（1）若，求的取值范围；

（2）若函数的零点是和，求不等式的解集；

（3）直接写出关于的不等式的解集．

【分析】（1）把代入不等式，求关于的不等式解集即可；

（2）利用函数零点是对应方程的根求出的值，代入不等式求解集即可；

（3）讨论的取值，求出对应不等式的解集即可．

【解答】解：（1）若，则不等式化为，解得，

所以的取值范围是，；

（2）若函数的零点是和，

所以方程的两根是和，

由根与系数的关系得，解得；

所以不等式化为，解得，或；

所以所求不等式的解集为，，；

（3）时，不等式为恒成立，不等式的解集为；

时，不等式化为，且，所以不等式的解集为，；

时，不等式化为，且，所以不等式的解集为，；

综上知，时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为，；

时，不等式的解集为，．

【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

21．（12分）已知函数，且单调递增区间是，．

（1）若对任意实数都成立，求，的值．

（2）若在区间，上有最小值，求实数的值．

（3）若，对任意的，，，总有，求实数的取值范围．

【分析】（1）由题意可得为的对称轴，即有，由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，解不等式可得，的值；

（2）讨论对称轴和区间的关系，结合函数的单调性可得最小值，解方程可得所求值；

（3）由题意可得，对，，，分别求得的最值，解不等式可得所求范围．

【解答】解：（1）的单调递增区间是，，可得为的对称轴，

则，

即，

对任意的都成立，

则△，即，

但，故，

（2）的对称轴为，

①若，则在，递减，在，递增，

（b），

即，解得，则，

②若，则在，递减，

则（1），即，

综上可得，或；

（3）由题意可得，对，，，

当时，，，，（b），

则，可得，则，

即的取值范围是，．

【点评】本题考查二次函数的图象和性质，以及二次函数的最值求法、二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求函数，的最大值；

（2）令，求证：对任意给定的实数，存在唯一的实数使得成立的充要条件是．

【分析】（1）当时，把，的解析式代入，换元后利用基本不等式求最值；

（2）充分性：证明分段函数在，上单调递增，且，在，上单调递减，且，及即可；必要性：分别求出分段函数的解集，再由单调性及集合间的关系求得的范围，取交集求得值．

【解答】解：（1）当时，，，

令，则，此时，

由，得，

当且仅当，即时取等号，

综上，当时，最大值为；

证明：（2）充分性：当时，，，

当时，在，上单调递增，且，

当时，在，上单调递减，且，

若，则存在唯一的，使得，同理也成立；

必要性：当时，，当时，，不符合题意，因此．

时，的取值集合，时，的取值集合．

①若，且在上单调递增，要使，则，且，有；

若，且在上单调递减，要使，则，且，有．

综上，．

故对任意给定的实数，存在唯一的实数使得成立的充要条件是．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，考查充分必要条件的证明，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

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日期：2021/2/23 14:15:56；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394