2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．（3分）已知集合，，2，3，4，，则　　

A．， B．，2， C．，2，3， D．，3，

2．（3分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（3分）下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

6．（3分）已知函数的定义域是，，则的定义域是　　

A．， B．， C．， D．，

7．（3分）若，则等于　　

A．9 B． C．25 D．

8．（3分）设偶函数在上为减函数，且（2），则不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．（4分）若，，则下列说法不正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

10．（4分）下列四个命题是真命题的是　　

A．函数与函数表示同一个函数 

B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点 

C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到 

D．若函数，则

11．（4分）下列说法正确的是　　

A．若，则函数有最小值 

B．若，，，则的最大值为4 

C．若，，，则的最大值为1 

D．若，，，则的最小值为4

12．（4分）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，，使在，上的值域为，．那把称为闭函数．下列函数是闭函数的是　　

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知函数为奇函数，且当时，，则　　．

14．（5分）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是　　．

15．（5分）函数的递减区间是　　，递增区间是　　．

16．（5分）已知函数，．

①若方程有两个解，则的取值范围为　　；

②若不等式在上恒成立，则的取值范围为　　．

三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17．（8分）计算：

（1）；

（2）．

18．（10分）设命题：实数满足，其中．命题：实数满足．

（1）当时，命题，都为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

20．（10分）已知定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）判断并用定义证明在上的单调性；

（3）解不等式．

21．（10分）已知函数，．

（1）恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求不等式的解集；

（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．（3分）已知集合，，2，3，4，，则　　

A．， B．，2， C．，2，3， D．，3，

【分析】由集合与，找出两集合的交集即可．

【解答】解：集合，，2，3，4，，

，．

故选：．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（3分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】由，解得范围．即可判断出结论．

【解答】解：由，解得，或．

“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（3分）下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

【分析】利用不等式的性质即可判断出结论．

【解答】解：．时不成立；

．，，则，因此不正确；

．，，则，正确．

．取，，，，满足条件，，但是不成立．

故选：．

【点评】本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【解答】解：为奇函数，不符合题意；

为偶函数，当时单调递增，符合题意；

，非奇非偶函数，不符合题意；

为偶函数，不符合题意．

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

5．（3分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】，，，结合幂函数的单调性，可比较，，，进而得到答案．

【解答】解：，

，

，

综上可得：，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

6．（3分）已知函数的定义域是，，则的定义域是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据函数的定义域得出的取值范围，由此求出的定义域．

【解答】解：函数的定义域是，，

令，

解得，

所以的定义域是，．

故选：．

【点评】本题考查了抽象函数的定义域求法问题，解题时应理解函数定义域的概念，是基础题．

7．（3分）若，则等于　　

A．9 B． C．25 D．

【分析】利用对数的换底公式、对数运算性质及其单调性即可得出．

【解答】解：，

，

化为，

解得．

故选：．

【点评】本题考查了对数的换底公式、对数运算性质及其单调性，属于基础题．

8．（3分）设偶函数在上为减函数，且（2），则不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【分析】根据函数为偶函数，可将原不等式变形为，然后分两种情况讨论：当时有，根据函数在上为减函数，且（2），得到；当时有，结合函数为偶函数的性质与上的单调性，得．

【解答】解：是偶函数

不等式，即

也就是

①当时，有

在上为减函数，且（2）

即（2），得；

②当时，有

，（2），

综上所述，原不等式的解集为：，，

故选：．

【点评】本题以函数的单调性和奇偶性为载体，考查了抽象不等式的解法，属于基础题．

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．（4分）若，，则下列说法不正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】分别根据对数的定义和运算性质即可判断．

【解答】解：对于：若，则，故正确；

对于：若，则不成立，故不正确；

对于：若，则，得不到，故不正确；

对于：若，则不成立，故不正确；

故选：．

【点评】本题考查了对数的定义和对数的运算性质，属于基础题．

10．（4分）下列四个命题是真命题的是　　

A．函数与函数表示同一个函数 

B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点 

C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到 

D．若函数，则

【分析】直接利用函数的定义，函数的值域判定的结论；利用奇函数的图象判定的结论，利用函数的图象的平移变换判断的结论；利用恒等变换的应用求出函数的解析式，主要对定义域进行确定．

【解答】解：对于：函数的定义域为，函数的定义域为，故这两个函数不为示同一个函数，故该命题为假命题；

对于：函数为奇函数，但是函数的图象不经过原点，故假命题；

对于：函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到，符合左加右减的性质，故为真命题；

对于：函数，所以，故为真命题．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式，函数的定义，函数的图象的平移变换，奇函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

11．（4分）下列说法正确的是　　

A．若，则函数有最小值 

B．若，，，则的最大值为4 

C．若，，，则的最大值为1 

D．若，，，则的最小值为4

【分析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．

【解答】解：，，当且仅当时取“ “，故选项正确；

，，，，当且仅当时取“ “，故选项错误；

，，，解得：，当且仅当时取“ “，故选项正确；

，，，，当且仅当时取“ “，故选项正确，

故选：．

【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．

12．（4分）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，，使在，上的值域为，．那把称为闭函数．下列函数是闭函数的是　　

A． B． C． D．

【分析】结合选项分别判断函数的单调性，然后结合单调性分别求解满足条件的，是否存在，进行检验即可判断．

【解答】解：：若在，上单调递减，则，

此时，不存在，

若在，上单调递增，则，此时，不存在，不符合题意；

：若在，上单调递减，

根据题意可得，且，

解得，，，

即存在区间，满足题意，符合题意；

若，，

解得，，，故此时存在区间，满足题意；

在，上单调递增，则（a），，

令，则，

当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，

故当时，函数取得最小值，

故函数没有零点，此时，不存在，满足题意．

故选：．

【点评】本题以新定义为载体，综合考查了函数单调性的应用，属于综合性试题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知函数为奇函数，且当时，，则　　．

【分析】当时，，可得（1）．由于函数为奇函数，可得（1），即可得出．

【解答】解：当时，，

（1）．

函数为奇函数，

（1）．

故答案为：．

【点评】本题考查了函数奇偶性，属于基础题．

14．（5分）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是　　．

【分析】令求出的值和此时的值，从而求出点的坐标．

【解答】解：令得：，此时，

函数的图象恒过定点，

即点，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．

15．（5分）函数的递减区间是　，　，递增区间是　　．

【分析】先求出该函数定义域为，或，可以看出该函数的单调区间和函数在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．

【解答】解：解得，，或；

函数在，上单调递减，在，上单调递增；

该函数的递减区间为，，递增区间为，．

故答案为：，，，．

【点评】考查解一元二次不等式，复合函数单调区间的求法，以及二次函数单调区间的求法．

16．（5分）已知函数，．

①若方程有两个解，则的取值范围为　　；

②若不等式在上恒成立，则的取值范围为　　．

【分析】①转化为的图象与直线有两个交点，通过图象可得所求范围；

②由题意可得恒成立，由指数函数的值域和恒成立思想可得的范围．

【解答】解：①若方程有两个解，即为的图象与直线有两个交点，

可得的范围是；

②若不等式在上恒成立，

即为恒成立，

由，，

可得，即的取值范围是，．

故答案为：；，．

【点评】本题考查指数函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题解法，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17．（8分）计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）根据指数的运算性质即可求出．

（2）根据对数的运算性质即可求出．

【解答】解：（1）原式；

（2）原式，

，

，

，

．

【点评】本题考查了对数的运算性质和指数的运算性质，属于基础题．

18．（10分）设命题：实数满足，其中．命题：实数满足．

（1）当时，命题，都为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1），均为真命题，把代入，分别计算范围得到答案．

（2）是的充分不必要条件，根据表示范围关系解得答案．

【解答】解：：实数满足，其中，解得．

命题：实数满足，解得．

（1）时，．命题，都为真，

则，解得．

故实数的取值范围是．

（2）是的充分不必要条件，，，

则，或，

解得或．

故实数的取值范围是，，．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．

19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，当时，投入成本为，根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；

（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

【解答】解：（Ⅰ）每件商品售价为0.05万元，

千件商品销售额为万元，

①当时，根据年利润销售收入成本，

；

②当时，根据年利润销售收入成本，

．

综合①②可得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

①当时，，

当时，取得最大值万元；

②当时，，

当且仅当，即时，取得最大值万元．

综合①②，由于，

当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．

【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．

20．（10分）已知定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）判断并用定义证明在上的单调性；

（3）解不等式．

【分析】】（1）设，则，由函数为奇函数，可求函数的解析式；

（2）在上单调递增，利用增函数的定义证明即可；

（3）由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，解之即可得结论．

【解答】解：（1）设，则，

是奇函数，

，

，

．

（2）在上单调递增，证明如下：

任取，

，

，，则，，即，

故在上单调递增，则在单调递增．

（3）由为奇函数可得，则，

由在上单调递增，可得，解得，

即不等式的解集为．

【点评】本题考查函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．

21．（10分）已知函数，．

（1）恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求不等式的解集；

（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．

【分析】（1）由恒成立，即恒成立，转化为二次不等式问题，对进行讨论可得实数的取值范围；

（2）将因式分解，对进行讨论，可得不等式的解集；

（3）令，求解的最小值，有四个不同的实根，即与有4个交点，即可求解实数的取值范围．

【解答】解：（1）由恒成立，

即恒成立，

可得恒成立，当时，恒成立，满足题意；

当时，要使恒成立，则，

即，解得．

综上，可得实数的取值范围是，．

（2）函数

即，又，

所以当时，可得，不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为，，；

当时，原不等式的解集为，，；

（3）令，则，

由方程有四个不同的实根，即与有4个不同的交点，

当，显然与不能有4个不同的交点，

当，作出的图象（如图），

从图象，显然与不能有4个不同的交点，

当，作出的图象（如图），

从图象可得：当时，取得最大值为，

要使与能有4个不同的交点，则且．

即且，所以，

综上，可知实数的取值范围．

【点评】本题考查了函数的零点，不等式的解法，讨论思想，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/2/23 14:21:27；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394