2020-2021学年江苏省南京市三校高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市三校高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，2，，，4，，则　　

A． B． C．，2，3，4， D．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分条件 B．必要条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）集合，的子集的个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．8

4．（5分）设，，，则下列命题是真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

5．（5分）“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家．可恨法身无坐位，当时行动念头差．”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶．若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是　　

A．， B．， C．， D．，

6．（5分）若函数是定义在上的偶函数，当时，函数的图象是如图所示的射线，则当时，函数的解析式是　　

A．  B．  C．  D．

7．（5分）下列说法正确的是　　

A．因为，所以 

B．因为，所以 

C．因为，所以 

D．因为，所以

8．（5分）已知，满足，则下列结论中正确的是　　

A．的最小值为1 B．的最小值为2 

C．的最小值为4 D．的最小值为2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）设集合，或，则下列结论中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

10．（5分）设，，，，则下列说法中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

11．（5分）设，，，且，则下列等式中一定正确的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）下列说法中正确的是　　

A．“”的充分条件是“” 

B．若“对任意的，”是真命题，则实数的取值范围是， 

C．“函数在上是增函数”的含义是“存在，，当时，” 

D．对于非空集合，，“”的充要条件是“对任意的，都有”

三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．

13．（5分）函数的定义域是　　．

14．（5分）函数的值域为　　．

15．（5分）“存在，”的否定是　　．

16．（5分）若定义在上的奇函数在区间是增函数，且（2），则满足不等式的实数的取值范围是　　．

四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）计算：

（1）；

（2）．

18．（12分）解下列不等式：

（1）；

（2）．

19．（12分）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围．

20．（12分）实验表明：品牌的60瓦白炽灯和品牌的10瓦节能灯照明亮度相同，一只品牌的60瓦白炽灯的平均使用寿命为2000小时，售价3元；一只品牌的节能灯平均使用寿命为4000小时，售价15元．已知电的价格是0.5元千瓦小时，用灯费用购灯费用用电费用．设用灯时间（单位：小时）不超过4000小时，用一只白炽灯的费用与用一只节能灯的费用的差为（元．

（1）试写出关于的函数关系式；

（2）需用灯多少小时，节能灯才能显现费用节约的效果？

（3）如果用灯4000小时，那么用一只节能灯比用一只白炽灯节约多少费用？

21．（12分）设，解下列关于的不等式：．

22．（12分）设函数．

（1）证明函数在区间上是增函数；

（2）设函数，其中，若对任意的，，，，都有，试求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南京市三校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，2，，，4，，则　　

A． B． C．，2，3，4， D．

【分析】进行并集的运算即可．

【解答】解：，2，，，4，，

，2，3，4，．

故选：．

【点评】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分条件 B．必要条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据两个集合的关系，结合充要条件的定义即可判断．

【解答】解：，，，

“”是“”的充分条件，

故选：．

【点评】本题考查了充要条件的定义，属于基础题．

3．（5分）集合，的子集的个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．8

【分析】根据题意，列举集合，的子集，分析即可得答案．

【解答】解：集合，的子集有、、，、，

共4个，

故选：．

【点评】本题考查集合的子集计算，关键是掌握集合子集的定义．

4．（5分）设，，，则下列命题是真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

【分析】利用反例判断，、、；不等式的性质判断；

【解答】解：，则，不正确，反例，，满足题意，推不出结论，所以不正确；

当，，条件成立，但是结果不成立，所以不正确；

，，则，反例，，，满足条件，但是结果不成立，所以不正确；

若，则，满足不等式的基本性质，所以正确．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假的判断，不等式的基本性质的应用，是基础题．

5．（5分）“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家．可恨法身无坐位，当时行动念头差．”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶．若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据一尺与一丈关系，可得函数关系式．

【解答】解：由题意，道高一尺，魔高一丈”可得函数关系式是10倍关系．

故选：．

【点评】本题考查对语句的理解和其中的数据关系，属于基础题．

6．（5分）若函数是定义在上的偶函数，当时，函数的图象是如图所示的射线，则当时，函数的解析式是　　

A．  B．  C．  D．

【分析】由已知结合图象可求当时的函数解析式，然后结合奇函数的定义可求时的函数解析式．

【解答】解：由题意可得，时，，

当时，，则

因为为偶函数，所以，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数解析式的求解，属于基础试题．

7．（5分）下列说法正确的是　　

A．因为，所以 

B．因为，所以 

C．因为，所以 

D．因为，所以

【分析】根据对数的底数的取值情况即可判断选项，都错误，根据对数的运算性质即可判断选项，的正误．

【解答】解：对数的底数大于0且不等于1，，错误；

正确，正确；

，错误．

故选：．

【点评】本题考查了对数的底数的取值范围，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．

8．（5分）已知，满足，则下列结论中正确的是　　

A．的最小值为1 B．的最小值为2 

C．的最小值为4 D．的最小值为2

【分析】由已知结合基本不等式及应用条件分别检验各选项即可判断．

【解答】解：因为，

所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，不正确；

，当且仅当时取等号，正确；

当时，，错误；

当时，显然不满足题意，错误．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的简单应用，属于基础试题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）设集合，或，则下列结论中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】直接根据集合之间的基本关系对四个选项逐一进行判断即可．

【解答】解：集合，或，

对于，时，，故成立，

对于，时，则成立，

对于，若，则，解得，

对于，若，则，解得不存在，故，，故错，

故选：．

【点评】本题主要此题考查了并集，并集及其运算，熟练掌握并集，交集的定义是解本题的关键．

10．（5分）设，，，，则下列说法中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

【分析】利用不等式的基本性质可判断，取特殊值可判断．

【解答】解：．由，知，所以，故正确；

．当时，取，则不成立，故不正确；

．当，时，取，，，，则不成立，故不正确；

．由，知，故正确．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

11．（5分）设，，，且，则下列等式中一定正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用指数和幂的运算的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于：利用幂的运算，故正确；

对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：指数和幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

12．（5分）下列说法中正确的是　　

A．“”的充分条件是“” 

B．若“对任意的，”是真命题，则实数的取值范围是， 

C．“函数在上是增函数”的含义是“存在，，当时，” 

D．对于非空集合，，“”的充要条件是“对任意的，都有”

【分析】直接利用不等式的性质的应用，真值表和函数的恒成立问题，函数的单调性的定义，充要条件和子集间的关系，判定的结论．

【解答】解：对于：当“”时，得到“”，但是当“”时，“”不成立，故正确；

对于：若“对任意的，”是真命题，则，则实数的取值范围是，，故正确；

对于：“函数在上是增函数”的含义是“对任意的，，当时，”故错误；

对于：对于非空集合，，“”的充要条件是“对任意的，都有”，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，真值表和函数的恒成立问题，函数的单调性的定义，充要条件和子集间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．

13．（5分）函数的定义域是　且　．

【分析】根据二次根式的性质得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：由题意得：

，

解得：且；

故答案为：且．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．

14．（5分）函数的值域为　　．

【分析】由已知结合分段函数的性质及一次函数，二次函数的性质可求解．

【解答】解：当时，，

当时，，

故函数的值域．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了分段函数的性质的简单应用，属于基础试题．

15．（5分）“存在，”的否定是　任意，　．

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则“存在，”的否定为：任意，，

故答案为：任意，．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

16．（5分）若定义在上的奇函数在区间是增函数，且（2），则满足不等式的实数的取值范围是　或　．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论

【解答】解：定义在上的奇函数在区间是增函数，且（2），

所以在上单调递增且，

由可得或，

故答案为：或．

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）进行指数的运算即可；

（2）进行对数的运算即可．

【解答】解：（1）原式；

（2）．

【点评】本题考查了指数和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．

18．（12分）解下列不等式：

（1）；

（2）．

【分析】（1）不等式化为，求出解集即可；

（2）不等式化为，再求不等式的解集．

【解答】解：（1）不等式可化为，

解得，

所以不等式的解集为；

（2）不等式可化为，

即，

解得或，

所以不等式的解集为，，．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

19．（12分）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围．

【分析】讨论和时，求出不等式恒成立时实数的取值范围即可．

【解答】解：令，解得或，

当时，恒成立；

当时，，不满足对任意的，都有；

当且时，应满足，

解得，

即；

所以实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．

20．（12分）实验表明：品牌的60瓦白炽灯和品牌的10瓦节能灯照明亮度相同，一只品牌的60瓦白炽灯的平均使用寿命为2000小时，售价3元；一只品牌的节能灯平均使用寿命为4000小时，售价15元．已知电的价格是0.5元千瓦小时，用灯费用购灯费用用电费用．设用灯时间（单位：小时）不超过4000小时，用一只白炽灯的费用与用一只节能灯的费用的差为（元．

（1）试写出关于的函数关系式；

（2）需用灯多少小时，节能灯才能显现费用节约的效果？

（3）如果用灯4000小时，那么用一只节能灯比用一只白炽灯节约多少费用？

【分析】（1）当时，白炽灯只需买一个灯泡，当时，白炽灯需要买两个灯泡，分别计算出总费用，作差，可得解析式；

（2）解不等式，解得的取值范围即可；

（3）将，代入中，解出即可．

【解答】解：（1），

（2）由题意可知，即，

，

用灯超过480小时时，节能灯显示节约费用的效果．

（3）当，（元，

使用4000小时大约节约91元．

【点评】本题考查函数的应用，分段函数函数值的求法，不等式的解法，属于基础题．

21．（12分）设，解下列关于的不等式：．

【分析】关于的不等式即，分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求出的范围．

【解答】解：关于的不等式：，即，

当时，不等式即，它的解集为；

当时，求得，或，故不等式的解集为，或；

当时，若，，解得；

若，即，，故不等式的解集为；

若，即，，故不等式的解集为；

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为，或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点评】本题主要考查其它不等式的解法，属于中档题．

22．（12分）设函数．

（1）证明函数在区间上是增函数；

（2）设函数，其中，若对任意的，，，，都有，试求实数的取值范围．

【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；

（2）问题转化为，分别求出函数函数的最小值和最大值，得到关于的不等式，解出即可．

【解答】（1）证明：在上任取，

则，

，，，

，即，

在上单调递增；

（2）解：若对任意的，，，，都有，

只需，

由（1）在，递增，故（2），

对于，对称轴是，

①当即时，（5），

则，解得：，

②当即时，（1），

故，解得：，故，

综上：．

【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查常见函数的性质以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/2/23 14:25:58；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394