2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，，则　　A． B．， C． D．2．（5分）已知幂函数在上是减函数，则的值为　　A． B．1 C．2 D．1或23．（5分）若，则下列不等式中一定成立的是　　A． B． C． D．4．（5分）设，，，，若，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，5．（5分）设，，则“”的充要条件是　　A．，不都为2 B．，都不为2 C．，中至多有一个是2 D．，不都为06．（5分）设，已知函数是定义在，上的减函数，且，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，7．（5分）若一个函数的解析式为，它的值域为，，这样的函数有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个8．（5分）已知函数，，下列说法不正确的是　　A．若对于，都有，为常数），则的图象关于直线对称 B．若对于，都有，为常数），则的图象关于点对称 C．若对于，，都有，则是奇函数 D．若对于，，都有，且，则是奇函数二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）下列命题中正确的是　　A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，10．（5分）已知函数，则下列判断正确的有　　A．的最小值为 B．在区间，上是增函数 C．的最大值为1 D．无最大值11．（5分）已知函数的定义域为，，．下列说法中错误的是　　A．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） B．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） C．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） D．若在，上是增函数，在上是减函数，则（c）12．（5分）任何一个正整数可以表示成，，此时，．真数2345678常用对数（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.903下列结论正确的是　　A．是位数 B．是位数 C．是48位数 D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题“，”的否定是　　．14．（5分）　　．15．（5分）已知函数，则的定义域为　　，值域为　　．16．（5分）地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的　　．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（10分）设．（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围18．（12分）已知函数．（1）若，求方程的解；（2）若对于，，恒成立，求实数的取值范围．19．（12分）已知函数，，，且，为常数）．（1）若，求的最大值；（2）若，，且的最小值为，求的值．20．（12分）已知函数．（1）证明：是奇函数；（2）用函数单调性的定义证明：在区间，上减函数．21．（12分）已知函数为非零常数）．（1）若，且方程在区间，上有两个不等实根，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式：．22．（12分）若函数是定义在区间，上的奇函数，且．（1）求函数的表达式；（2）设，，，对于，，，，且，都有，求实数的最小值．
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，，则　　A． B．， C． D．【分析】先求出集合，，再利用集合的交集运算的定义求解．【解答】解：集合，，，故选：．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．（5分）已知幂函数在上是减函数，则的值为　　A． B．1 C．2 D．1或2【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出的值，再检验即可．【解答】解：幂函数中，令，解得或；时，，在上是增函数，不合题意；时，，在上是减函数，满足题意；所以的值为1．故选：．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．3．（5分）若，则下列不等式中一定成立的是　　A． B． C． D．【分析】根据完全平方公式判断，根据基本不等式判断，根据指数函数的性质判断，取特殊值判断．【解答】解：由，故正确；当、时，选项不成立，由为增函数，，，故错误；当，时，选项不正确，故选：．【点评】本题考查了指数函数，幂函数的性质和基本不等式，属于基础题．4．（5分）设，，，，若，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，【分析】先利用二次函数的性质求出集合，再结合条件，即可求出的取值范围．【解答】解：，，，，即实数的取值范围是：．故选：．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了二次函数的性质，是基础题．5．（5分）设，，则“”的充要条件是　　A．，不都为2 B．，都不为2 C．，中至多有一个是2 D．，不都为0【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：由，得，则，故且，反之，且时，，则，则，故“”的充要条件是“且 “，故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查不等式的性质，是一道基础题．6．（5分）设，已知函数是定义在，上的减函数，且，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可进行求解．【解答】解：因为函数是定义在，上的减函数，且，所以，解得，．故选：．【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，属于基础试题．7．（5分）若一个函数的解析式为，它的值域为，，这样的函数有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【分析】由函数的定义和图象，即可确定满足题意的函数的个数【解答】解：满足题意的一个函数的值域为，即，，函数的定义域为，，根据函数的定义在，内，可以画无数个函数图象使得值域为，满足题意的函数有无数个故选：．【点评】本题考查函数的定义域、值域和定义，以及用函数图象体现自变量与因变量的对应关系，属于基础题．8．（5分）已知函数，，下列说法不正确的是　　A．若对于，都有，为常数），则的图象关于直线对称 B．若对于，都有，为常数），则的图象关于点对称 C．若对于，，都有，则是奇函数 D．若对于，，都有，且，则是奇函数【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案，【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，若对于，都有，即，变形可得，则函数的图象关于直线对称，正确，对于，若对于，都有，即，变形可得，则函数的图象关于点，对称，正确，对于，若对于，，都有，令可得，，即，再令可得，，即函数是奇函数，正确，对于，若对于，，都有，如函数，满足，但不是奇函数，错误，故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及抽象函数的性质，属于基础题．二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）下列命题中正确的是　　A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，【分析】由已知结合基本不等式的成立条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：当时，，当且仅当即时取等号，正确；当时，即最大值为，正确；当时，，中等号取不到，错误；时，，中等号取不到，没有最小值，错误；故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式应用条件的判断，解题的关键是熟练掌握基本知识．10．（5分）已知函数，则下列判断正确的有　　A．的最小值为 B．在区间，上是增函数 C．的最大值为1 D．无最大值【分析】由，分和，可得，，借助基本不等式求出的值域，即可判断．【解答】解：，当时，，当时，，由于在，上单调递减，在，上单调递减，故错误，，，当且仅当时取等号，，，综上所述的值域为，，故选项正确，选项错误，故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了函数的值域，属于中档题．11．（5分）已知函数的定义域为，，．下列说法中错误的是　　A．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） B．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） C．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） D．若在，上是增函数，在上是减函数，则（c）【分析】根据函数的单调性，数形结合，即可判断各个选项，从而得结论．【解答】解：若在，上是增函数，则（c），，；在，上是减函数，则（c），，，所以（c），故正确；若在，上是增函数，在，上是减函数，函数的最大值不一定为（c），如图故错误；若在，上是增函数，在，上是减函数，函数的最大值不一定为（c），如图：故错误：若在，上是增函数，在上是减函数，函数的最大值不一定为（c），如图故错误．故选：．【点评】本题主要考查函数的单调性与函数的最值，属于中档题．12．（5分）任何一个正整数可以表示成，，此时，．真数2345678常用对数（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.903下列结论正确的是　　A．是位数 B．是位数 C．是48位数 D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5【分析】10是两位数，则是位数，故可判断，对于，分别设，，利用定义求出所在的位数即可．【解答】解：，，由于10是两位数，则是位数，故正确，不正确；设，则，，是48位数，故正确；只需要说明是否为一个11位数正整数，则，则，则，故为一个11位数正整数，故正确．故选：．【点评】本题考查了对数的运算法则，考查理解能力和阅读能力，属于基础题．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题“，”的否定是　，　．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是：，．故答案为：，．【点评】本题考查特称命题的否定是全称命题，注意否定词语以及否定的格式，基本知识的考查．14．（5分）　　．【分析】进行对数和根式的运算即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质，根式的运算，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）已知函数，则的定义域为　　，值域为　　．【分析】根据对数的真数大于0，即可求解定义域，由，根据对数单调性可得值域．【解答】解：由，可得，，，故得的定义域为；令，，，由题意是单调递增函数，值域为．故答案为：；．【点评】本题考查指数函数，对数函数的单调性，属于函数性质应用题，较容易．16．（5分）地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的　倍　．【分析】设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为，由公式：即可求出的值．【解答】解：设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为，，，，即7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的倍．故答案为：倍．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，是基础题．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（10分）设．（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【分析】分别求出关于，的不等式（1）根据，（2）得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：，，故关于的集合，，，，故关于的集合，，（1）若是的充分不必要条件，则，则，“”不同时成立，解得：；即的范围是，；（2）若是的必要不充分条件，则，则，“”不同时成立，解得：，而故的范围是．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．18．（12分）已知函数．（1）若，求方程的解；（2）若对于，，恒成立，求实数的取值范围．【分析】（1）将代入中，然后解方程即可；（2）由题意可得，即对，恒成立，运用换元法和函数的单调性求得最小值，进而得到的范围．【解答】解：（1）当时，，，即有，可得，即，解得；（2）对于，，恒成立，即为，即对，恒成立，设，由和在，上递增，可得在，上递增，可得的最小值为（1），则，可得，即的取值范围是，．【点评】本题考查指数方程的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．19．（12分）已知函数，，，且，为常数）．（1）若，求的最大值；（2）若，，且的最小值为，求的值．【分析】（1）讨论对称轴与区间的中点的位置关系，即可求解；（2）讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解．【解答】解：（1）当时，，，，函数的对称轴为：，当即时，（1），当即时，（3），综上，；（2）当，时，，，，函数的对称轴为：，当即时，（1），解得，不合题意舍去，当即时，（3），解得成立，当即时，，解得，不合题意舍去，故的值为．【点评】本题考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．20．（12分）已知函数．（1）证明：是奇函数；（2）用函数单调性的定义证明：在区间，上减函数．【分析】（1）由函数的奇偶性的定义即可证明；（2）利用函数单调性的定义证明即可．【解答】证明：（1）函数的定义域为，且，所以函数是奇函数．（2）设，，，且，则，因为，，，且，所以，所以，所以，即，所以，所以在区间，上是减函数．【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的证明，属于基础题．21．（12分）已知函数为非零常数）．（1）若，且方程在区间，上有两个不等实根，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式：．【分析】（1）由二次方程根的分布列出的不等式组，解出的取值范围即可；（2）先将原不等式转化为：，再根据的取值范围采用分类讨论的办法求解出原不等式的解集即可．【解答】解：（1）方程在，上有两个不等实根，，即，解得：或，实数的取值范围为，，；（2）不等式等价于：，可化为：，，①当时，原不等式可化为：，解得：或；②当时，原不等式可化为：，解得：；③当时，原不等式可化为：，解得：；④当时，原不等式可化为：，解得：；综上，①当时，原不等式的解集为，，；②当时，原不等式的解集为，；③当时，原不等式的解集为；④当时，原不等式的解集为，．【点评】本题主要考查二次方程的根的分布及含参不等式的解法，属于中档题．22．（12分）若函数是定义在区间，上的奇函数，且．（1）求函数的表达式；（2）设，，，对于，，，，且，都有，求实数的最小值．【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出函数的解析式即可；（2）问题转化为求的最大值即可，令，，，求的最大值和最小值即可，根据函数的单调性求出的最小值即可．【解答】解：函数是定义在区间，上的奇函数，令，则，故，故，故时，，时，，时，；综上：；（2），，，故只需求的最大值即可，令，，，求的最大值和最小值即可，由（1）得，，故，故，其最小值是3．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数的奇偶性以及转化思想，是一道中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 14:16:11；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394