2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每题5分）

1．（5分）若命题，，则是　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． C．，， D．，，

3．（5分）已知命题，，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）幂函数过点，则　　

A． B．3 C． D．2

5．（5分）若实数，满足，则的最大值为　　

A．1 B． C． D．

6．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数的单调减区间为　　

A．， B．， C．， D．，

8．（5分）如图，正方形的边长为2，动点从开始沿的方向以2个单位长秒的速度运动到点停止，同时动点从点开始沿边以1个单位长秒的速度运动到点停止，则的面积与运动时间（秒之间的函数图象大致形状是　　

A． B． 

C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）

9．（5分）下列命题是真命题的是　　

A． B． 

C．若，则 D．

10．（5分）若，，，，则下列不等式正确的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有　　

A．若，，故时，的最大值是 

B．当时，，当且仅当取等，解得或2．又由，所以取，故时，原式的最小值为 

C．由于，故的最小值为2 

D．当，，且时，由于，，又，故当，，且时，的最小值为4

12．（5分）已知符号函数，下列说法正确的是　　

A．函数是奇函数 

B．对任意的， 

C．函数的值域为 

D．对任意的，

三、填空题（本大题共4小题，每题5分）

13．（5分）已知函数，且，则的值域是　　．

14．（5分）设，，，则，，的大小顺序为　　．

15．（5分）若对于任意实数都有，则　　．

16．（5分）已知二次函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围是　　．

四、解答题（本大题共6小题）

17．已知集合，集合，．

（1）若时，求，；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．已知定义在的函数满足：，且．

（1）求函数的解析式；

（2）证明：在上是增函数．

19．已知，．

（1）分别求和；

（2）若，且，求．

20．（12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．

（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？

（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．

21．（12分）已知二次函数，，满足：

①对任意实数，都有；

②当时，有成立．

（1）求证：（2）；

（2）若，求函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的实数，，有恒成立，求实数的取值范围．

22．（12分）设函数且是定义域为的奇函数．

（1）求的值；

（2）若（1），求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；

（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在，上的最大值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每题5分）

1．（5分）若命题，，则是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题

【解答】解：由题意，，

的否定是，

故选：．

【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．

2．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． C．，， D．，，

【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，

函数的定义域是，，．

故选：．

【点评】本题的考点是求函数的定义域，即根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，对数的真数大于零等等，列出不等式求出它们的解集的交集即可．

3．（5分）已知命题，，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由，解得：，

则是的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．

4．（5分）幂函数过点，则　　

A． B．3 C． D．2

【分析】根据幂函数的定义求出，由函数图象过点求出，再计算．

【解答】解：幂函数中，，

由函数图象过点，所以，解得；

所以．

故选：．

【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．

5．（5分）若实数，满足，则的最大值为　　

A．1 B． C． D．

【分析】根据，即可求出最大值．

【解答】解：实数，满足，

，

，

当，时取等号，

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．

6．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　

A． B． C． D．

【分析】由题意知，是方程的根，且，推出，再代入，解之即可．

【解答】解：由题意知，是方程的根，且，

所以，

所以不等式可化为，

解得，

故选：．

【点评】本题考查一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

7．（5分）函数的单调减区间为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数的减区间，可得函数的单调减区间．

【解答】解：由，得，解得，

函数的定义域为，，

令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，

则函数在，上是减函数，开方不改变单调性，

又是增函数，函数的单调减区间为，．

故选：．

【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是中档题．

8．（5分）如图，正方形的边长为2，动点从开始沿的方向以2个单位长秒的速度运动到点停止，同时动点从点开始沿边以1个单位长秒的速度运动到点停止，则的面积与运动时间（秒之间的函数图象大致形状是　　

A． B． 

C． D．

【分析】点在线段上时，，，．点在线段上时，，，．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：点在线段上时，，，．

点在线段上时，，，．

利用一次函数与二次函数的单调性可知：正确．

故选：．

【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）

9．（5分）下列命题是真命题的是　　

A． B． 

C．若，则 D．

【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．

【解答】解：，所以正确；

，满足对数的运算法则，所以正确；

若，则，所以不正确；

，无意义，所以不正确；

故选：．

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题．

10．（5分）若，，，，则下列不等式正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】取特殊值判断，，根据不等式的基本性质判断，即可．

【解答】解：取，，，显然，错误；

对于，故，，正确，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道常规题．

11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有　　

A．若，，故时，的最大值是 

B．当时，，当且仅当取等，解得或2．又由，所以取，故时，原式的最小值为 

C．由于，故的最小值为2 

D．当，，且时，由于，，又，故当，，且时，的最小值为4

【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．

【解答】解：对于，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即的运算方法正确；

对于，当时，，

当且仅当，即时，等号成立，即的运算方法错误；

对于，取等的条件是，即，显然均不成立，即的运算方法错误；

对于，第一次使用基本不等式的取等条件为，而第二次使用基本不等式的取等条件为，两者不能同时成立，即的运算方法错误．

故选：．

【点评】本题考查利用基本不等式处理最值问题，理解“一正二定三相等”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．

12．（5分）已知符号函数，下列说法正确的是　　

A．函数是奇函数 

B．对任意的， 

C．函数的值域为 

D．对任意的，

【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．

【解答】解：符号函数，显然函数是奇函数，所以正确；

因为：，所以，对任意的，，所以正确；

函数的值域为，所以不正确；

对任意的，，所以正确；

故选：．

【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的简单性质的应用，是基础题．

三、填空题（本大题共4小题，每题5分）

13．（5分）已知函数，且，则的值域是　，0，　．

【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．

【解答】解：函数，且

所以，，0，1；对应的函数值分别为：0，，0，3；

所以函数的值域为：，0，

故答案为：，0，．

【点评】本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，注意定义域是易错点．

14．（5分）设，，，则，，的大小顺序为　　．

【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．

【解答】解：，，，

则，，，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了不等式的大小比较，考查了运算能力，属于基础题．

15．（5分）若对于任意实数都有，则　3　．

【分析】根据题意，用特殊值法分析：令可得：（2），令可得：（2），联立两个式子分析可得答案．

【解答】解：根据题意，对于任意实数都有，

令可得：（2），①

令可得：（2），②，

联立①②解可得：；

故答案为：3

【点评】本题考查函数值的计算，注意特殊值的应用，属于基础题．

16．（5分）已知二次函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围是　，　．

【分析】不妨设，由条件可得，构造新函数，显然在，上单调递增，再对分情况讨论，利用的单调性即可求出的取值范围．

【解答】解：不妨设，

，

，即，

令，

在，上单调递增，

①当时，，显然不成立，

②当时，则，解得，

综上所述，实数的取值范围是：，，

故答案为，．

【点评】本题主要考查了二次函数的单调性，构造新函数是本题的解题关键，属于中档题．

四、解答题（本大题共6小题）

17．已知集合，集合，．

（1）若时，求，；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）时，可得，利用补集交集运算可得．

（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得，进而即可得出实数的取值范围．

【解答】解：（1）时，，解得，即，，

则，，，，，

（2）“”是“”的充分不必要条件，，

由可得，

当时，解得，即，，

，

当时，解集为，即，此时不满足

当时，解得，即，此时不满足，

实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18．已知定义在的函数满足：，且．

（1）求函数的解析式；

（2）证明：在上是增函数．

【分析】（1）根据题意，由可得的值，进而由计算可得的值，即可得函数的解析式；

（2）任取，，且，用作差法证明即可得结论．

【解答】解：（1）根据题意，对于函数，

由，即，即；则，

又，所以；

则．

（2）证明：任取，，且，

则

；

又，，

从而，即；

故在上是增函数．

【点评】本题考查函数解析式的求法与函数单调性的证明，关键是求出函数的解析式．

19．已知，．

（1）分别求和；

（2）若，且，求．

【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．

（2）先把指数式化为对数式得到，，代入，即可求出的值．

【解答】解：（1），

．

即，．

（2），，，

，

，

．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了指数式与对数式的互化，是基础题．

20．（12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．

（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？

（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．

【分析】（1）设的长为米，，表达米和，要使矩形的面积大于50平方米，解不等式即可得的长的范围；

（2）利用基本不等式可得当且仅当：，即：时，矩形花坛的面积取得最小值48．

【解答】解：（1）设的长为米，则米．

，，，

由矩形的面积大于50，

得：，又，得：，

解得：或，

即：长的取值范围是：，，．

（2）矩形花坛的面积为，

，

当且仅当：，即：时，矩形花坛的面积取得最小值48．

故的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米．

答：（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长的范围：，，；

（2）当的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米．

【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础

21．（12分）已知二次函数，，满足：

①对任意实数，都有；

②当时，有成立．

（1）求证：（2）；

（2）若，求函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的实数，，有恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据题意可知：（2），由此确定（2）；

（2）根据恒成立，利用判别式恒成立、结合（2）可求出的值，最后结合，即可求出系数，的值；

（3）根据，分离参数，再利用基本不等式即可求出的范围．

【解答】解：（1）由题意得（2），所以（2）．

（2）结合（1）知（2），

由恒成立得恒成立，

故，将③代入②得，

故④．又⑤，

联立③④⑤解得．

所以．

（3）由，，且恒成立可得：

，

时，恒成立，此时；

时，原式化为：恒成立，

因为，当且仅当时取等号．

故此时．

综合可知的取值范围为．

【点评】本题考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题的解题思路．属于中档题．

22．（12分）设函数且是定义域为的奇函数．

（1）求的值；

（2）若（1），求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；

（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在，上的最大值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据为上的奇函数，可得，然后求出的值，再检验得到的值是否符合题意；

（2）先根据（1），求出的范围，然后利用定义法判断的单调性，再根据对一切恒成立，得到关于的不等式，进一步求出的范围；

（3）根据函数的图象过点，求出，令，根据是单调递增函数，得到的范围，然后得到，再求出的值即可．

【解答】解：（1）是奇函数，，，解得．

当时，，，

是奇函数，满足题意，．

（2），（1），，又，，

设，，，则，

，

，，，又．

，是单调递增函数．

，恒成立，

即恒成立，△，，

的取值范围为．

（3）函数的图象过点，

，解得，

设，由（2）知是单调递增函数，

当，时，，，

，，其最大值为，

也即有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取只可能是以下三种情况：

①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，

而，也即最小值，不合题意舍去．

②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，

而，也即最大值，符合．

③，解得，此时对称轴为，不在区间上，

最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．

综上所述，．

【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义判断函数的单调性，不等式恒成立问题和函数最值得求法，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．

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日期：2021/2/23 14:19:02；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394