2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）函数的定义域为　　

A． B．， C．，， D．，，

3．（5分）设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，则　　

A．， B．， C．， D．，

4．（5分）已知函数，　　

A．有最小值 B．有最大值 

C．有最小值3 D．有最大值3

5．（5分）“”的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

6．（5分）对于，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

8．（5分）定义，例如：，，若，，则，的最大值为　　

A．1 B．8 C．9 D．10

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，4，，，2，，则集合，可以表示为　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知，，则下列说法正确的有　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．

11．（5分）已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则　　

A．（1） 

B．（2） 

C．，， 

D．，不等式的解集为

12．（5分）已知，（常数，则　　

A．当时，在上单调递减 

B．当时，没有最小值 

C．当时，的值域为 

D．当时，，，有

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上

13．（5分）已知幂函数在上是单调递减函数，则实数的值为　　．

14．（5分）已知函数，则（2）的值为　　．

15．（5分）已知函数的定义域为，（2），且函数为偶函数，则的值为　　，函数是　　函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）．

16．（5分）已知函数，关于的不等式的解集为，其中，，在集合上的值域为，若，则　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合，集合．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

18．（12分）已知，，．

（1）求证：；

（2）求的最小值，并求此时与的值．

19．（12分）已知函数为奇函数．

（1）求（2）和实数的值；

（2）求方程（2）的解．

20．（12分）已知函数．

（1）当，时，讨论并证明的单调性，并求的取值范围；

（2）求不等式的解集．

21．（12分）某市出租汽车的收费标准如下：在以内（含的路程统一按起步价7元收费，超过以外的路程按2.4元收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为时，折旧费为0.1元．现设一次载客的路程为．

（1）试将出租汽车一次载客的收费与成本分别表示为的函数；

（2）若一次载客的路程不少于，则当取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益取得最大值？（每千米收益计算公式为

22．（12分）已知函数．

（1）若值域为，，且恒成立，求的解析式；

（2）若的值域为，，

①当时，求的值；

②求关于的函数关系（a）．

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

【分析】化简集合，根据交集的定义计算即可．

【解答】解：集合，

，

则．

故选：．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

2．（5分）函数的定义域为　　

A． B．， C．，， D．，，

【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．

【解答】解：由，解得且．

函数的定义域为，，．

故选：．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．

3．（5分）设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，则　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，

则，．

故选：．

【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．

4．（5分）已知函数，　　

A．有最小值 B．有最大值 

C．有最小值3 D．有最大值3

【分析】分离常数可得出，根据可得出，然后根据基本不等式即可得出，从而可得出正确的选项．

【解答】解：，，

，当，即时，取等号，

有最小值3．

故选：．

【点评】本题考查了分离常数的方法，基本不等式求函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．

5．（5分）“”的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

【分析】把中的不等式分别解出，即可判断出结论．

【解答】解：． “”，反之不成立，因此是“”的充分不必要条件；

．，解得，或，由“” ，反之不成立，因此． “”，反之不成立，因此．是“”的必要不充分条件；

，解得，因此 “”，即是“”的充要条件；

．，解得，或．因此“”与相互推不出，即“”是的既不充分也不必要条件．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．（5分）对于，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】将不等式恒成立问题转化为在，上恒成立，即，利用单调性求得在，上的最小值，即可得出结论．

【解答】解：对于，，不等式恒成立，

等价于在，上恒成立，

即，

令，，，

因为函数为减函数，函数为减函数，

减函数减函数减函数，

所以，，为减函数，

所以（2），

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的单调性求最值，属于中档题．

7．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．

【解答】解：，

为奇函数，其图象关于原点对称，

令，解得，函数只有一个零点，

只有选项符合，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键，属于基础题．

8．（5分）定义，例如：，，若，，则，的最大值为　　

A．1 B．8 C．9 D．10

【分析】先对函数进行比较，求出函数的解析式，再根据函数的性质求出函数的最大值即可．

【解答】解：令，解得

所以，

当时，，

当或时，无最大值，

综上，函数的最大值为9，

故选：．

【点评】本题考查了分段函数的最值问题，涉及到一元二次不等式问题，属于基础题．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，4，，，2，，则集合，可以表示为　　

A． B． C． D．

【分析】根据元素之间的关系进行求解即可．

【解答】解：，4，，，2，，

，，，

，，

，2，3，4，，2，，．

故选：．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

10．（5分）已知，，则下列说法正确的有　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．

【分析】利用作差法可判断选项；利用特值法即可判断选项；利用基本不等式即可判断选项；利用作差法，变形几个因式乘积的形式即可判断选项．

【解答】解：对于，，

因为，，当时，，当时，，故错误；

对于，，，若，取，，此时，故错误；

对于，，，若，则，当且仅当时等号成立，故正确；

对于，因为，，则，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，作差法和特值法的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．

11．（5分）已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则　　

A．（1） 

B．（2） 

C．，， 

D．，不等式的解集为

【分析】先求出函数的解析式，再分别判断即可．

【解答】解：由图象可得，

（1），

，

（1），故正确；

（2），故错误，

当时，，

当时，，故正确；

由图象可知使得不等式，其解集为，，其中点大于2，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了分段函数的问题，以及不等式的解集问题，属于中档题．

12．（5分）已知，（常数，则　　

A．当时，在上单调递减 

B．当时，没有最小值 

C．当时，的值域为 

D．当时，，，有

【分析】针对各个选项，根据给的条件以及函数的性质判断是否正确．

【解答】解：选项：当时，当时，函数单调递减，

但是（1），而当趋近于1时，趋近于1，

所以函数在上不单调，错误，

选项：当时，当时，函数显然没有最小值，

则①当时，此时时，，即函数此时没有最小值，

②当时，，此时函数仍然没有最小值，

综上，当时，函数没有最小值，正确，

选项：当时，

当时，，，

当时，，

所以此时函数的值域为，，，错误，

选项时，，

当时，，，

当时，，，显然有，，

则对任意，，有，正确，

故选：．

【点评】本题考查了分段函数的单调性，最值值域等问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上

13．（5分）已知幂函数在上是单调递减函数，则实数的值为　　．

【分析】根据幂函数的定义求出的值，根据函数的单调性确定的值即可．

【解答】解：是幂函数，

，解得：或，

时，在上单调递增，

时，在递减，

故，

故答案为：．

【点评】本题考查了求幂函数的解析式问题，考查函数的单调性，是一道基础题．

14．（5分）已知函数，则（2）的值为　8　．

【分析】推导出（2）（1），由此能求出结果．

【解答】解：函数，

（2）（1）．

故答案为：8．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质的求法，考查运算求解能力，是基础题．

15．（5分）已知函数的定义域为，（2），且函数为偶函数，则的值为　7　，函数是　　函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）．

【分析】由已知结合偶函数的定义可得（2），结合已知（2）可求；

令，然后结合奇偶函数的定义检验与的关系即可判断．

【解答】解：因为（2），且函数为偶函数，

所以（2），

所以（2），

令，

因为，

所以，

则，，

所以，

所以，

故为奇函数．

故答案为：7，奇．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性在定义判断中的应用，属于基础试题．

16．（5分）已知函数，关于的不等式的解集为，其中，，在集合上的值域为，若，则　4　．

【分析】由已知的值域与的解集相等可得，且函数的最小值为，再令，由此可得函数的解析式，令其最小值为借口求解．

【解答】解：因为，，，，的解集为，，

所以，，

令，

则，

所以，

则，所以，

故答案为：4．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，涉及到集合相等的问题，属于基础题．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合，集合．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）求出集合，求出的补集即可；（2）求出不是空集，根据，得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）由题意得：，

故，，；

（2），

，

，或，

解得：或，

故的取值范围是，，．

【点评】本题考查了集合的交集，补集的运算，考查转化思想，是一道基础题．

18．（12分）已知，，．

（1）求证：；

（2）求的最小值，并求此时与的值．

【分析】（1）将已知等式变形可得，，即可判断，，利用基本不等式即可证得结论．

（2）由（1）中结论及可得，计算可得的取值范围，从而得解．

【解答】（1）证明：因为，，，

所以，，

所以，，

所以，当且仅当时等号成立，

所以．

（2）解：由（1）得，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

【点评】本题主要考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．

19．（12分）已知函数为奇函数．

（1）求（2）和实数的值；

（2）求方程（2）的解．

【分析】（1）先根据已知函数解析式及奇函数的定义可求，进而可求（2），

（2）结合的范围代入的解析式，然后代入可求方程的解．

【解答】解：（1）设，则，

因为时，，

则，

因为，

所以，

所以，

（2）原方程等价于或，

解得或，

【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数求值中的应用及方程的求解，属于基础试题．

20．（12分）已知函数．

（1）当，时，讨论并证明的单调性，并求的取值范围；

（2）求不等式的解集．

【分析】（1）设，然后利用作差比较与的大小，从而可判断函数的单调性，然后结合函数的单调性可求函数的值域；

（2）由已知函数的单调性及奇偶性可转化原不等式，然后结合的范围可求．

【解答】解：（1）设，

则，

，，

当时，，

，在，上单调递减，

当时，，

，在，上单调递增，

综上，在，上单调递减，在，上单调递增，

故当时，函数取得最小值6，

因为（1），（5），

故的值域，，

（2）由（1）可知，在，上单调递减，在，上单调递增，

因为为奇函数且，

所以，

当时，，，与上式矛盾，舍去，

当时，成立，

当时，，则矛盾，舍去，

综上不等式的解集．

【点评】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解函数的值域及求解不等式，属于中档试题．

21．（12分）某市出租汽车的收费标准如下：在以内（含的路程统一按起步价7元收费，超过以外的路程按2.4元收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为时，折旧费为0.1元．现设一次载客的路程为．

（1）试将出租汽车一次载客的收费与成本分别表示为的函数；

（2）若一次载客的路程不少于，则当取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益取得最大值？（每千米收益计算公式为

【分析】（1）直接由题意可得关于的关系式，再设折旧费，将代入求得，进一步可得成本关于的函数；

（2）由得到关于的分段函数，再由基本不等式及函数的单调性求出分段函数的最值，则答案可求．

【解答】解：（1）由题意可得，

．

设折旧费，将代入，得，即，

；

（2），

．

当时，由基本不等式，得，

当且仅当，即时取等号；

当时，由在，上单调递减，可得时，．

综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100千米时，每千米的收益取得最大值．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式及函数的单调性求最值，是中档题．

22．（12分）已知函数．

（1）若值域为，，且恒成立，求的解析式；

（2）若的值域为，，

①当时，求的值；

②求关于的函数关系（a）．

【分析】（1）由知的对称轴是，从而可求得值，由值域为，，可得△，可求得值，从而可得的解析式；

（2）①设，，则，，，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得值；

②，记，设，，，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得关于的函数关系（a）．

【解答】解：函数的对称轴为，在，上单调递减，在，上单调递增．

（1）因为恒成立，

所以的对称轴是，故，

因为值域为，，可得△，解得，

所以．

（2）①，，设，，

则，，，

当，即时，的最小值，舍去；

当时，的最小值，

解得（舍或，

综上所述，．

②，记，

设，，，

若，（a），所以；

反之，若，只能，

否则若，则与最小值为0矛盾．

若，则（a）与最小值为0矛盾．

故时，，即．

若，由上述解答过程知（否则由，

在，上单调递增，，

所以，△，

所以（若，则与矛盾），

所以，即．

综上所述，（a）．

【点评】本题主要考查二次函数解析式的求法，二次函数的最值，二次函数图象与性质，属于难题．

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日期：2021/2/23 14:18:27；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394