2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）

1．（5分）已知集合，，，则　　

A． B． C． D．，0，

2．（5分）命题“对任意的，”的否定是　　

A．存在， B．存在， 

C．对任意的， D．存在，

3．（5分）若，则下列结论不正确的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知函数是奇函数，则实数的值是　　

A．0 B．2 C．4 D．

5．（5分）已知，，则可以用和表示为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为　　

A． B．或 C． D．或

7．（5分）定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

8．（5分）设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．已知集合，3，，则的子集个数是8 

B．函数与是同一函数 

C．不等式的解集是，， 

D．函数是奇函数的充要条件是的定义域关于原点对称．

10．（5分）已知函数的值域是，，则它的定义域是可能是　　

A．， B．， C．， D．，

11．（5分）若集合，，且，则实数的可能取值为　　

A．0 B． C．4 D．

12．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．（5分）设函数，则　　

14．（5分）已知全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，，则集合　　．

15．（5分）设为实数，若关于的不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是　　．

16．（5分）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）（1）化简：；

（2）化简：．

18．（12分）已知函数定义域为集合，不等式的解集为集合．

（1）求集合和集合；

已知“是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．（12分）已知函数，且．

（1）求的值；

（2）判定的奇偶性；

（3）判断在上的单调性，并给予证明．

20．（12分）已知关于的不等式．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，解关于的不等式．

21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足60台时，（万元）；当月产量不小于60台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．

（1）求月利润（万元）关于月产量（台的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

22．（12分）已知二次函数的最小值为，（2）．

（1）求的解析式；

（2）若在区间，上不单调，求实数的取值范围；

（3）若，，试求的最小值．

2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）

1．（5分）已知集合，，，则　　

A． B． C． D．，0，

【分析】可以求出集合，然后进行并集的运算即可．

【解答】解：，，，，

，0，．

故选：．

【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．（5分）命题“对任意的，”的否定是　　

A．存在， B．存在， 

C．对任意的， D．存在，

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题“对任意的，”的否定为存在，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3．（5分）若，则下列结论不正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】由题意可得和为负数且，由不等式的性质逐个选项验证可得．

【解答】解：，和为负数且，

，故正确；

再由不等式的性质可得，正确；

由和为负数可得，故正确；

再由和为负数可得，错误．

故选：．

【点评】本题考查不等式的性质，属基础题．

4．（5分）已知函数是奇函数，则实数的值是　　

A．0 B．2 C．4 D．

【分析】根据题意，设，则，求出与的表达式，由奇函数的定义可得，即，分析可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，

若，则，则，，

又由为奇函数，则，即，

则，

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，属于基础题，

5．（5分）已知，，则可以用和表示为　　

A． B． C． D．

【分析】利用对数的运算性质求解．

【解答】解：

，

故选：．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．

6．（5分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为　　

A． B．或 C． D．或

【分析】根据不等式的解集求出、的值，再代入不等式中求解集．

【解答】解：不等式的解集为，

所以，2是方程的两个实数根，且，

由根与系数的关系知，解得，；

所以不等式化为，

解得；

所以不等式的解集为．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，是基础题．

7．（5分）定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】由题意可知函数在上单调递减，利用单调性和奇偶性即可得结论．

【解答】解：由对任意的，，，有，

可得函数在，上单调递减，

所以，

因为为偶函数，所以，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，属于基础题．

8．（5分）设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】求得，再由乘1法和基本不等式可得的最小值，由题意可得，即可得到所求范围．

【解答】解：，，即，

则，

当且仅当，上式取得等号，

由不等式恒成立，可得，

故选：．

【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．已知集合，3，，则的子集个数是8 

B．函数与是同一函数 

C．不等式的解集是，， 

D．函数是奇函数的充要条件是的定义域关于原点对称．

【分析】直接利用集合的子集，同一函数的定义，分式不等式的解法，充分条件和必要条件的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于：集合，3，，则的子集个数是，故正确；

对于：函数的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故错误；

对于：不等式，整理得：，所以不等式的解集是，，，故正确；

对于：函数是奇函数的必要不充要条件是的定义域关于原点对称，故错误．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：集合的子集，同一函数的定义，分式不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

10．（5分）已知函数的值域是，，则它的定义域是可能是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据的值域是，即可看出的定义域可能是，和，，而，的两区间不可能是的定义域，从而可得出正确的选项．

【解答】解：的值域是，，

，

，

的定义域可能是，，，，

，在，上的最大值为1，，和，不可能是的定义域．

故选：．

【点评】本题考查了函数定义域、值域的定义及求法，二次函数的值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．

11．（5分）若集合，，且，则实数的可能取值为　　

A．0 B． C．4 D．

【分析】分，两种情况，根据子集的定义分别得方程求得．

【解答】解：，，

①，；

②，，

，，

，；

综上可知：实数的可能取值组成的集合为，0，．

故选：．

【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．

12．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【分析】易知函数为偶函数，只要研究当时即可，分，，，根据函数单调性即可判断．

【解答】解：函数的定义域为，，，

易知函数为偶函数，

当时，若时，，选项符合，

当时，，当且仅当，即时取等号，选项符合，

当时，在上单调递增，当时，解得，有且只有一个零点，选项符合，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和单调性是关键，属于中档题．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．（5分）设函数，则　　

【分析】推导出，从而，由此能求出结果．

【解答】解：函数，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．（5分）已知全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，，则集合　，4，7，　．

【分析】可以求出集合，然后进行并集和补集的运算即可．

【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，，3，，，，

，3，5，，，4，7，．

故答案为：，4，7，．

【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

15．（5分）设为实数，若关于的不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是　　．

【分析】由题意可得△，运用二次不等式的解法，可得所求范围．

【解答】解：关于的不等式对任意实数恒成立，

可得△，即，

可得，

解得，

即的取值范围是．

故答案为：．

【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

16．（5分）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为　12　．

【分析】由题意，计算的值，代入中，利用基本不等式求出它的最小值．

【解答】解：由，，得；

所以

，当且仅当时取等号．

所以．

故答案为：12．

【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）（1）化简：；

（2）化简：．

【分析】（1）利用对数的运算性质求解．

（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．

18．（12分）已知函数定义域为集合，不等式的解集为集合．

（1）求集合和集合；

已知“是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据函数的定义域求出，解绝对值不等式求出；

（2）结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．

【解答】解（1）由函数有意义则需，

解得：，所以集合，

由不等式得：或，

所以集合或．

（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，

所以，所以或．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．

19．（12分）已知函数，且．

（1）求的值；

（2）判定的奇偶性；

（3）判断在上的单调性，并给予证明．

【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，解可得的值，即可得答案，

（2）根据题意，先分析函数的定义域，再分析与的关系，由函数奇偶性的定义分析可得答案，

（3）根据题意，由作差法分析可得结论．

【解答】解 （1）根据题意，函数，

因为，所以，解可得，

（2），因为的定义域为，

又，

所以是奇函数．

（3）在上为单调增函数

证明如下：任取，则

因为，所以，，所以，

所以在上为单调增函数．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及函数解析式的计算，属于基础题．

20．（12分）已知关于的不等式．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，解关于的不等式．

【分析】（1）时不等式为，解不等式即可；

（2）时不等式化为，讨论与2的大小，求出不等式的解集．

【解答】解：（1）时，不等式为，即；

解得，所以不等式的解集为；

（2）当时，不等式化为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式化为，解集为；

当时，不等式的解集为．

【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．

21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足60台时，（万元）；当月产量不小于60台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．

（1）求月利润（万元）关于月产量（台的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

【分析】（1）分段求出月利润（万元）关于月产量（台的函数解析式，再写成分段函数的形式即可．

（2）当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再取两者中的较大的值即可的最大值．

【解答】解（1）当时，，

当时，，

．

（2）①当时，，

所以当时，取最大值1200万元，

②当时，，

当且仅当即时取等号，

又，

所以当时，取得最大值1500，

故当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．

答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．

【点评】本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．

22．（12分）已知二次函数的最小值为，（2）．

（1）求的解析式；

（2）若在区间，上不单调，求实数的取值范围；

（3）若，，试求的最小值．

【分析】（1）由已知可得函数对称轴，设出函数的解析式，将代入，可得的解析式；

（2）若在区间，上不单调，则，解得实数的取值范围；

（3）结合二次函数的图象和性质，分析各种情况下，函数在区间，上的最小值，综合讨论结果，可得答案．

【解答】解：（1）由已知是二次函数，且（2），

可得对称轴为．又最小值为，

设，又，．

．

（2）要使在区间，上不单调，则，所以．

（3）由（1）知，的对称轴为，

若，则在，上是增函数，．

若，即，则在，上是减函数，

．

若，即，则（1）．

综上所述，当时，；

当，则；

，．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/2/23 14:16:30；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394