2020-2021学年江苏省徐州市九校高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省徐州市九校高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，2，，，，则　　

A． B．，2， C．，2，4， D．，

2．（5分）函数的定义域为　　

A．， B．， 

C．，， D．，，

3．（5分）“”是“方程至少有一个负根”的　　

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知，则等于　　

A． B．2 C．3 D．1

5．（5分）若，那么等于　　

A．8 B．3 C．1 D．30

6．（5分）函数与在同一坐标系中的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）在上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则实数的最大值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知是上的增函数，则的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（5分）下列函数中，满足对任意，，有的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）命题“，，”是真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为　　

A． B． C． D．

12．（5分）设正实数，满足，则　　

A．有最小值4 B． 有最大值 

C．有最大值 D． 有最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）若为偶函数，则实数　　．

14．（5分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为　　．

15．（5分）已知，用，表示为　　．

16．（5分）已知，为正实数，则的最小值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

18．（12分）已知函数的定义域为集合，函数，的值域为集合．

（1）求，；

（2）求，．

19．（12分）设集合，集合．

（1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

20．（12分）已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间，上是单调函数，求实数的取值范围．

21．（12分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与内墙各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为，三块种植植物的矩形区域的总面积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）求的最大值．

22．（12分）已知函数．

（1）若不等式的解集是，求，的值；

（2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；

（3）当时，设，若存在，，，使得成立，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省徐州市九校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，2，，，，则　　

A． B．，2， C．，2，4， D．，

【分析】利用并集定义直接求解．

【解答】解：集合，2，，，，

，2，．

故选：．

【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）函数的定义域为　　

A．， B．， 

C．，， D．，，

【分析】根据二次根式的性质以及指数幂的性质求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是，，，

故选：．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．

3．（5分）“”是“方程至少有一个负根”的　　

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】“” “方程至少有一个负根”，“方程至少有一个负根” “”，由此能求出结果．

【解答】解：曲线与轴焦点在，

所以只要开口向下就能确定有负根，不管对称轴在正半轴还是负半轴，

“” “方程至少有一个负根”，

方程至少有一个负根，

当时，方程无解；

当时，方程无解；

当时，方程的根为，至少有一个是负根，

“方程至少有一个负根” “”，

”是“方程至少有一个负根”的充要条件．

故选：．

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．（5分）已知，则等于　　

A． B．2 C．3 D．1

【分析】先把指数式化为对数式，求出，的值，再利用对数的运算性质即可求解．

【解答】解：，

，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．

5．（5分）若，那么等于　　

A．8 B．3 C．1 D．30

【分析】根据题意，分析可得当时，有，将代入中，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，若，解可得，

在中，令可得：，

故选：．

【点评】本题考查函数值的计算，注意将作为整体分析，属于基础题．

6．（5分）函数与在同一坐标系中的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据一次函数、二次函数的图象与性质，即可得解．

【解答】解：函数经过原点，排除选项和，

由选项和，可知经过一、二、四象限，

所以，

所以的开口向上，与选项符合．

故选：．

【点评】本题考查函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力，属于基础题．

7．（5分）在上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则实数的最大值为　　

A． B． C． D．

【分析】依定义将不等式变为，整理得，对任意实数成立，令，解出的范围即可求出其最大值．

【解答】解：由定义知不等式变为，

，对任意实数成立，

解得

则实数的最大值为

故选：．

【点评】本题考查利用恒成立的关系构建关于参数的不等式及一元二次不等式的解法．

8．（5分）已知是上的增函数，则的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

【分析】根据在上是增函数可得出，在，上是增函数，在上是增函数，从而得出，解出的范围即可．

【解答】解：是上的增函数，

，解得，

的取值范围是．

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的单调性，反比例函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（5分）下列函数中，满足对任意，，有的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据函数的单调性，结合常见函数的性质分别判断即可．

【解答】解：若对任意，，有，

则在递减，

对于的对称轴是，开口向下，

故在递减，符合题意，故正确；

对于：函数在递增，故错误；

对于在递减，符合题意，故正确；

对于在递减，在递增，不合题意，故错误；

故选：．

【点评】本题考查了常见函数的单调性问题，考查转化思想，是一道基础题．

10．（5分）命题“，，”是真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案．

【解答】解：命题“，，”是真命题，

即只需，

即命题“，，”是真命题的充要条件为，

而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知符合题意．

故选：．

【点评】本题考查了命题的充分不必要条件，还涉及存在性问题，属于基础题．

11．（5分）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，求得的值．

【解答】解：一元二次方程有两个实数根，，且，

设，则，求得．

结合，可得，，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．

12．（5分）设正实数，满足，则　　

A．有最小值4 B． 有最大值 

C．有最大值 D． 有最小值

【分析】由，根据，逐一判断各选项即可．

【解答】解：正实数，满足，即有，可得，

即有，即有时，取得最小值4，无最大值；

由，可得有最大值；

由，

可得时，取得最大值；

由可得，

则，当时，取得最小值．

综上可得，，，均正确．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查了转化思想，关键掌握不等式的变形和应用，属基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）若为偶函数，则实数　2　．

【分析】根据题意，将函数的解析式变形，由偶函数的定义可得，即，由此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，，

若为偶函数，则，即，

则有，必有，

故答案为：2．

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．

14．（5分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为　或　．

【分析】转化为命题“，”是真命题，结合二次函数的性质即可求解．

【解答】解：命题“，”是假命题，

命题“，”是真命题，

故△，解得或，

实数的取值范围为或．

故答案为：或．

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，二次函数的图象和性质，难度中档．

15．（5分）已知，用，表示为　　．

【分析】由可得，再利用换底公式和对数的运算性质即可求解．

【解答】解：由可得，

．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了换底公式的应用和对数的运算性质，是基础题．

16．（5分）已知，为正实数，则的最小值为　5　．

【分析】先对式子变形后，再利用基本不等式求得结果．

【解答】解：，，

，当且仅当时取“ “，

故答案为：5．

【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于基础题．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解．

（2）利用对数的运算性质求解．

【解答】解：（1）原式，

（2）原式．

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．

18．（12分）已知函数的定义域为集合，函数，的值域为集合．

（1）求，；

（2）求，．

【分析】（1）解不等式即可得出集合，对配方即可得出集合；

（2）进行交集、并集和补集的运算即可．

【解答】解：（1）或，

因为，

所以；

（2），

，．

【点评】本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，交集、并集和补集的定义及运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题．

19．（12分）设集合，集合．

（1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

【分析】通过解一元二次不等式求出集合，同样求出集合，将条件关系转化为集合的包含关系，列出端点满足的大小关系求出的范围．

【解答】解：，解得：，，，

，，解得：，，，

（1）若“”是“”的充分条件，

是的子集，

且，等号不能同时取得，

解得．

所以实数的取值范围是，．

（2）若“”是“”的必要条件，

是的子集，

且，等号不能同时取得，

解得．

，

所以实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了命题的逻辑关系，解决命题间的条件问题应该先将各个命题化简，将条件问题转化为集合的包含关系问题，属于基础题．

20．（12分）已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间，上是单调函数，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据二次函数满足，且，利用待定系数法，可得的解析式；

（2）由的图象关于直线对称，结合函数在，上是单调函数，可得或，即可求得实数的取值范围．

【解答】解：（1）设

代入得对于恒成立，

故，解得

又由得，

所以．

（2）因为的图象关于直线对称，

又函数在，上是单调函数，故或，

解得或，

故实数的取值范围是，，．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，属于中档题．

21．（12分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与内墙各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为，三块种植植物的矩形区域的总面积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）求的最大值．

【分析】（1）设矩形温室的室内长为，得出宽为，求出三块种植植物的矩形区域的总面积的解析式以及自变量的取值范围；

（2）根据自变量的取值范围，利用基本不等式，求出的最大值即可．

【解答】解：（1）根据题意，设矩形温室的室内长为，

则室内宽为，

三块种植植物的矩形区域的总面积为：

，

其中，

即；（6分）

（2）因为，

所以，（8分）

当且仅当时等号成立；（10分）

从而；（12分）

答：当矩形温室的室内长为时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．（14分）

【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．

22．（12分）已知函数．

（1）若不等式的解集是，求，的值；

（2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；

（3）当时，设，若存在，，，使得成立，求的取值范围．

【分析】（1）根据一元二次方程方程和不等式的关系即可求出，

（2）根据判别式即可求出的范围，

（3）存在，，，使得成立等价于所以关于的方程有两个不等实根，且至少有一根在内，分离参数，根据基本不等式即可求出的范围．

【解答】解（1）因为，即的解集是，

所以3，7是方程的两个根，

可得，，

解得，；

（2）当时，不等式等价于．

若，则不等式不恒成立．

则由题意可得解得，

即的取值范围是，；

（3）因为存在，，，使得成立，

所以关于的方程有两个不等实根，且至少有一根在内．

由，解得或①，

当时，，

由得，③

当且仅当时取等号，

由①③得的取值范围是，．

【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次不等式的解集，以及恒成立和存在性问题，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:24:01；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394