2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题.等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷
一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）
1．（5分）如果集合，2，3，4，5，6，7，，，4，，，3，4，，那么等于　　
A． B．，3， C．， D．，3，4，5，7，
2．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）函数的定义域是　　
A．， B． C． D．，，
4．（5分）设，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）函数与函数的图象关于　　对称
A．轴 B．轴 C．坐标原点 D．不能确定
6．（5分）若偶函数在，上是减函数，则　　
A．（2） B．（2）
C．（2） D．（2）
7．（5分）列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：的函数图象为　　
A． B．
C． D．
8．（5分）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
二、多选题(共4题，每题5分，总计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．中国清代数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做“函数”，沿用至今，即“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．直到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，才产生现代的函数定义．已知集合，1，2，，，2，4，，给出下列四个的对应，其中能构成从到的函数的是　　
A． B． C． D．
10．对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是　　
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．已知，为正数，且，，，下列选项中正确的有　　
A．的最小值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为5 D．的最小值为9
12．（5分）集合，是实数集的子集，定义且，叫做集合的对称差，若集合，，，，则以下说法正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，，
三、填空题（共4题，每题5分，总计20分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）.
13．（5分）已知集合，，若，则实数的取值范围是　　．
14．（5分）若是奇函数，则实数　　．
15．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域是　　．
16．（5分）已知函数，那么（4）　　，若存在实数，使得（a）（a），则的个数是　　．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设全集，函数的定义域为集合，集合，命题：若______，则．
请从①，②，③中选择一个作为条件，补充到上面命题中，使得命题为真命题，并求．
18．（12分）（1）求值：；
（2）已知，求值：．
19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，满足（2），当时，有．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明函数在上的单调性．
20．（12分）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件产品的销售定价为：“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和．
（1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数．
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
21．（12分）对于函数，，如果存在实数，使得函数，那么我们称为函数，的“函数”．
（1）已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出，的值：若不是，说明理由．
（2）已知，，为函数，的“函数“，且，，解不等式；
（3）已知，，为函数，的“函数“（其中，，的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数的最大值．
22．（12分）已知函数．
（1）若，直接写出函数的单调增区间：
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由：
（3）若函数在，上的最小值为7，求实数的值．

2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）
1．（5分）如果集合，2，3，4，5，6，7，，，4，，，3，4，，那么等于　　
A． B．，3， C．， D．，3，4，5，7，
【分析】根据补集与交集的定义写出．
【解答】解：集合，2，3，4，5，6，7，，
，4，，，3，4，，
，3，5，6，，
，3，．
故选：．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是：，．
故选：．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3．（5分）函数的定义域是　　
A．， B． C． D．，，
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答】解：由，得且．
函数的定义域是，，．
故选：．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4．（5分）设，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“”得，
由得或，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．（5分）函数与函数的图象关于　　对称
A．轴 B．轴 C．坐标原点 D．不能确定
【分析】利用图象关于的对称特点分别判断．
【解答】解：因为函数关于对称的函数为，
所以函数与函数的图象关于轴对称．
故选：．
【点评】本题主要考查几种常见函数的对称关系，要求熟练掌握这些对称对应函数的变化．
6．（5分）若偶函数在，上是减函数，则　　
A．（2） B．（2）
C．（2） D．（2）
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得（2），结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，为偶函数，则（2），
又由函数在，上是减函数，则，即（2），
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用奇偶性分析函数值的关系，属于基础题．
7．（5分）列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：的函数图象为　　
A． B．
C． D．
【分析】当列车到达地时，距离，求出列车到达地的时间即可得出答案．
【解答】解：列车的运行速度为，
列车到达地的时间为，
故当时，．
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的意义，属于基础题．
8．（5分）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
【分析】由题意可知函数是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可．
【解答】解：根据题意，任意实数，都有成立，
所以函数是上的增函数，
所以分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：，．
故选：．
【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，考查了二次函数的性质，是中档题．
二、多选题(共4题，每题5分，总计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．中国清代数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做“函数”，沿用至今，即“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．直到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，才产生现代的函数定义．已知集合，1，2，，，2，4，，给出下列四个的对应，其中能构成从到的函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用函数的概念直接求解．
【解答】解：在中，，当时，，故不能构成从到的函数；
在中，，当时，，故不能构成从到的函数；
在中，任取，总有，故正确；
在中，任取，总有，故正确．
故选：．
【点评】本题考查函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
10．对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是　　
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解：．不一定成立；
．由，则，可得：．
．不一定成立，例如，．
．，，即，则，成立．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．已知，为正数，且，，，下列选项中正确的有　　
A．的最小值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为5 D．的最小值为9
【分析】：由已知结合基本不等式可判断；
：直接利用基本不等式即可直接求解的最小值；
：结合，选项即可判断；
：利用乘1法，可得，展开后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：，为正数，且，，
当且仅当时取等号，此时取得最小值2，故正确，
，当且仅当且，
即，时取等号，此时取最小值4，故正确；
由，可知，，故错误；
，
当且仅当且，即，时取等号，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值中的应用，解题的关键是性质的灵活应用，属中档题．
12．（5分）集合，是实数集的子集，定义且，叫做集合的对称差，若集合，，，，则以下说法正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，，
【分析】求出集合的等价条件，结合定义求出，，的集合进行计算即可．
【解答】解：，，，，
则，故正确；
，故正确；
则或，故，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，以及结合新定义求出对应集合是解决本题的关键．
三、填空题（共4题，每题5分，总计20分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）.
13．（5分）已知集合，，若，则实数的取值范围是　，　．
【分析】由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围．
【解答】解：，且，，解得，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了子集的概念以及一元一次不等式的解法和交集运算，属于基础题．
14．（5分）若是奇函数，则实数　1　．
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若是奇函数，则，即，
变形可得恒成立，
必有，
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的性质，属于基础题．
15．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域是　，　．
【分析】把已知函数解析式变形，由，依次可得的范围，结合定义可得函数的值域．
【解答】解：，，则，
可得，，
当，时，，
当，时，，
函数的值域是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数值域的求法，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）已知函数，那么（4）　1　，若存在实数，使得（a）（a），则的个数是　　．
【分析】先计算（4），再计算的值即可；换元思想设（a），由（a）（a），那么，求的值，即可求解的值，可得个数．
【解答】解：由（4）
那么（4）．
设（a），
由（a）（a），那么，
可得或，
由图象可知：
当时，即（a），可得或，
当时，即（a），可得或或，
综上，存在实数，使得（a）（a），则的个数是5个值，
故答案为1，5．

【点评】本题考查了分段函数的应用，转化思想和换元法，属于中档题．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设全集，函数的定义域为集合，集合，命题：若______，则．
请从①，②，③中选择一个作为条件，补充到上面命题中，使得命题为真命题，并求．
【分析】代入的值，求出，，计算即可．
【解答】解：由题意，，，，，，，
①时，，，，满足题意，
，
②时，，，，满足题意，
，，
③时，，，，满足题意，
，；
综上①时，，
②时，，，
③时，，．
【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道中档题．
18．（12分）（1）求值：；
（2）已知，求值：．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出；
（2）根据指数幂的运算性质即可求出．
【解答】解：（1）原式，
，
，
（2），
，
，
则．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了运算能力，属于基础题．
19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，满足（2），当时，有．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明函数在上的单调性．
【分析】（1）根据是定义在上的奇函数及时的解析式即可得出，并可求出，从而可得出，求出；
（2）根据上面知，时，，从而可设，从而得出，从而得出时，，然后根据函数单调性的定义即可判断在上的单调性：设任意的，，且，然后作差，通分，提取公因式，然后判断与的大小关系即可得出在上的单调性．
【解答】解：（1）函数是定义在上的奇函数，
，即，，
又因为（2），所以（2），
即，所以，
综上可知，，
（2）由（1）可知当时，，
当时，，且函数是奇函数，
，
当时，函数的解析式为，
任取，，且，则，
，，且，
，，，
于是，即，
故在区间上是单调增函数．
【点评】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，求奇函数在对称区间上的解析式的方法，以及函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
20．（12分）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件产品的销售定价为：“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和．
（1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数．
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）由已知得到产品的生产成本与每万件的销售单价，求出年销售收入，再由年利润年销售收入成本求得年利润（万元）与年广告费（万元）的函数解析式；
（2）把（1）中的函数利用换元法与基本不等式求最值．
【解答】解：（1）由题意，产品的生产成本为万元，
每万件销售单价为：，
年销售收入为，
年利润为；
（2），
设，可得万元．
当且仅当，即时上式等号成立，此时万元．
当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大利润为55万元．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）对于函数，，如果存在实数，使得函数，那么我们称为函数，的“函数”．
（1）已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出，的值：若不是，说明理由．
（2）已知，，为函数，的“函数“，且，，解不等式；
（3）已知，，为函数，的“函数“（其中，，的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数的最大值．
【分析】（1）利用已知定义即可求解；（2）先假设函数是“函数”，然后根据已知定义即可求解；
（3）先设出函数的解析式，根据已知定义以及条件求出，的值，求出函数的解析式，再把恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式的性质即可求解．
【解答】解：（1）若是，的“函数”，
则，
所以，
解得，；
（2）已知，则可化为：，
解得或，所以或，
所以不等式的解集为，，；
（3），，，，
所以，当且仅当即时取等号，
结合题意可得：，解得，，
所以，则恒成立，
又因为，，，则恒成立，
只需即可，
由基本不等式可得：，当且仅当时取等号，
此时，
所以，
则，
故的最大值为10．
【点评】本题考查了“函数”的定义以及恒成立问题，涉及到基本不等式的应用以及函数的最值问题，属于中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）若，直接写出函数的单调增区间：
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由：
（3）若函数在，上的最小值为7，求实数的值．
【分析】（1）代入即可求解；
（2）分和两种情况讨论，根据奇偶函数的定义即可判断；
（3）分析函数在区间，的单调性，得出函数的最小值的表达式，再由最小值为7，求出的值即可．
【解答】解：（1）当时，，
函数的单调递增区间为，；
（2）当时，为奇函数，理由如下：
时，，定义域为关于原点对称，则，
所以根据奇函数的定义可得：函数为奇函数，
当时，则有，故函数不是奇函数，
又（1），所以函数也不是偶函数，
故时，函数既不是奇函数也不是偶函数；
（3）当时，在定义域上单调递增，（1），
解得或（舍去），
当时，在定义域上单调递增，（1），解得（舍去），
当时，在递增，在，上递减，
故当时，（2），解得，
当时，（1），解得（舍去），
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
，解得，（舍去）
综上：的取值集合为，．
【点评】本题考查了绝对值函数的单调性以及奇偶性和最值问题，涉及到分类讨论思想以及去绝对值的方法，考查了学生的运算能力，属于中档题．
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日期：2021/2/23 14:27:03；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394