2020-2021学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题所给的A、B、C、D四个结论中，只有一个是正确的.）
1．（5分）集合，2，的真子集共有　　
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
2．（5分）已知，，，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知函数满足，则的解析式为　　
A． B．
C． D．
4．（5分）函数的值域是　　
A． B．， C．， D．，
5．（5分）函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
6．（5分）若，，且，则下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数是上的增函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（5分）设平行于轴的直线分别与函数和的图象相交于点，，若函数的图象上存在点，使得为等边三角形，则这样的直线　　

A．不存在 B．有且只有一条 C．至少有两条 D．有无数条
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.）
9．（5分）若，，，，则下列不等式正确的是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）下列叙述中正确的是　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数的最小值是3
C．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
11．（5分）下列说法正确的是　　
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．幂函数始终经过点和
D．若函数，则对于任意的，，有
12．（5分）般地，若函数的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．下列结论正确的是　　
A．若，为的跟随区间，则
B．函数不存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.）
13．（5分）命题“，”的否定是　　．
14．（5分）函数的图象恒过定点　　．
15．（5分）已知定义在上的奇函数，则　　；不等式的解集为　　．
16．（5分）已知，，且，则的最大值为　　．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知：不等式的解集为集合，不等式的解集为集合．
（1）求集合和集合；
（2）求．
18．化简求值．
（1）；
（2）．
19．已知：函数的定义域为集合，函数在，上的值域为集合．
（1）若，求；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
21．设函数且是定义域为的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若（1），判断函数的单调性，并简要说明理由；
（3）在（2）的条件下，若对任意的，，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
22．设函数．
（1）当，时，求方程的解；
（2）若为常数，且方程在区间，上有解，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题所给的A、B、C、D四个结论中，只有一个是正确的.）
1．（5分）集合，2，的真子集共有　　
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
【分析】若集合中有个元素，则集合中有个真子集．
【解答】解：集合，2，的真子集共有：
个．
故选：．
【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查真子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】由题意利用指数函数、幂函数的单调性和特殊点，判断、、的大小关系．
【解答】解：函数在上是减函数，，
，即．
又函数在上是增函数，，
，即．
综上，可得，
故选：．
【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题．
3．（5分）已知函数满足，则的解析式为　　
A． B．
C． D．
【分析】利用换元法，令，从而化简可得从而求解．
【解答】解：函数满足，
令，则：，
代入函数可得：，
则的解析式为：，
故选：．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．
4．（5分）函数的值域是　　
A． B．， C．， D．，
【分析】本题为一道基础题，只要注意利用的范围就可以．
【解答】解：函数，
，
所以原函数的值域是，，
故选：．
【点评】注意利用．
5．（5分）函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【分析】本题直接根据函数即可求出．
【解答】解：因为，，
所以，
故排除，
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
6．（5分）若，，且，则下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】对于、、举出反例即可，利用基本不等式即可证明是正确的．
【解答】解：，，且，，，当且仅当，，即时取等号．
故选：．
【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
7．（5分）已知函数是上的增函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】由函数上上的增函数可得函数，设，，则可知函数在时单调递增，函数在单调递增，且（1）（1），从而可求
【解答】解：函数是上的增函数
设，
由分段函数的性质可知，函数在，单调递增，函数在单调递增，且（1）（1）


解可得，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用 中，不要漏掉（1）（1）
8．（5分）设平行于轴的直线分别与函数和的图象相交于点，，若函数的图象上存在点，使得为等边三角形，则这样的直线　　

A．不存在 B．有且只有一条 C．至少有两条 D．有无数条
【分析】设方程为，根据是等边三角形计算的值，得出结论．
【解答】解：根据题意，设直线的方程为，
则，，，，，
设，，
是等边三角形，
点到直线的距离为，
，
，
又，

，
解得，
故而符合条件的直线只有1条．
故选：．

【点评】本题考查了指数函数图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.）
9．（5分）若，，，，则下列不等式正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】取特殊值判断，，根据不等式的基本性质判断，即可．
【解答】解：取，，，显然，错误；
对于，故，，正确，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道常规题．
10．（5分）下列叙述中正确的是　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数的最小值是3
C．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
【分析】根据空集性质判断，根据判断，根据勾股定理及斜边判断，根据根与系数的关系判断．
【解答】解：对于，若，则，若，则是的子集，但不一定是空集，
“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于，，故3不是的最小值，故错误；
对于，在中，若，则是直角三角形，
若是直角三角形，则斜边不一定是，故不一定成立，
故”是“为直角三角形”的充分不必要条件，故错误；
对于，若，不妨设，则方程没有正根，
若方程有一个正根和一个负根，由根与系数的关系可知，故，
“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故正确．
故选：．
【点评】本题考查充分必要条件判断，命题真假判断，属于基础题．
11．（5分）下列说法正确的是　　
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．幂函数始终经过点和
D．若函数，则对于任意的，，有
【分析】直接利用函数的解析式和函数的图象和性质的应用求出结果．
【解答】解：对于选项：幂函数的图象经过点，则函数的解析式为，解得，整理得，故错误．
对于选项：函数，则在区间上单调递增，故错误．
对于选项：幂函数始终经过点和，故正确．
对于选项：由于数，则对于任意的，，有，根据凸函数的性质成立，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式和函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
12．（5分）般地，若函数的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．下列结论正确的是　　
A．若，为的跟随区间，则
B．函数不存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
【分析】．在，上单调递增，若（b），可得：，解得，即可得出函数的跟随区间，即可判断出正误．2，因此不正确；
．函数在，上单调递增，假设函数在上存在“跟随区间” ，，则存在两个不同实数根．由，化为：，由△，可知：此方程无解，即可判断出正误．
．易知在，上单调递减，假设函数存在跟随区间，，．则（a），（b），可得：，
，化为：，令，，利用二次函数的单调性即可得出结论．
．二次函数，可得：函数在，上单调递增，在，上单调递减．假设函数存在“3倍跟随区间”，则，在，或，上存在两个不等实数根．化简解出即可判断出结论．
【解答】解：．在，上单调递增，若（b），可得：，解得，，为的跟随区间，则，因此不正确；
．函数在，上单调递增，假设函数在上存在“跟随区间” ，，则存在两个不同实数根．由，化为：，由△，可知：此方程无解，
因此在上不存在“跟随区间” ，，同理可得：函数在上也不存在“跟随区间，因此正确．
．易知在，上单调递减，假设函数存在跟随区间，，．则（a），（b），可得：，
，化为：，令，，则，时，；，时，；
函数与函数有两个不同交点，则．
．二次函数，可得：函数在，上单调递增，在，上单调递减．假设函数存在“3倍跟随区间”，则，在，或，上存在两个不等实数根．由，化为：，解得或，函数存在“3倍跟随区间” ，．正确．
综上可得：只有正确．
故选：．
【点评】本题考查了函数的图象与性质、方程与不等式的解法、新定义、反证法，看出来推理能力与计算能力，属于难题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.）
13．（5分）命题“，”的否定是　，　．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定是的否定为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14．（5分）函数的图象恒过定点　　．
【分析】令幂指数等于零，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：对于函数，
令，求得，，
可得它的图象恒过定点，
故答案为：．
【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
15．（5分）已知定义在上的奇函数，则　1　；不等式的解集为　　．
【分析】先求出（1），利用函数的奇偶性即可求出的值，利用函数的奇偶性求出当时的解析式，得到，所以在上单调递减，又，所以不等式可化为，再分段分别求出的取值范围，最后求并集即可．
【解答】解：定义在上的奇函数，
（1），
当时，则，
，
又，
，即，
，
函数在上单调递减，
不等式，，
，
①当时，，
，解得，
，
②当时，，
，
，
综上所述，不等式的解集为：，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了求分段函数的解析式，考查了函数的奇偶性，考查了利用函数的单调性解函数值不等式，是中档题．
16．（5分）已知，，且，则的最大值为　　．
【分析】，所以，即，且，，再结合基本不等式即可得到的最大值．
【解答】解：依题意，，，且，所以，，且，即，
所以，
因为，，
所以．
当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．本题属于难题．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知：不等式的解集为集合，不等式的解集为集合．
（1）求集合和集合；
（2）求．
【分析】（1）解不等式和即可得出集合，；
（2）进行交集和补集的运算即可．
【解答】解：（1）解得；解得，
；
（2）或，
．
【点评】本题考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．化简求值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）进行分数指数幂和根式的运算即可；
（2）进行对数的运算即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【点评】考查分数指数幂、根式和对数式的运算．
19．已知：函数的定义域为集合，函数在，上的值域为集合．
（1）若，求；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）把代入，利用根式内部的代数式大于等于0求解的范围可得，求解指数函数的值域得到，取并集得答案；
（2）利用根式内部的代数式大于等于0求解的范围可得，由（1）可得，再由是的必要不充分条件，得，转化为两集合端点值间的关系求解的范围．
【解答】解：（1）若，由，解得，，，
令，，，则，，
原函数化为，其对称轴，则函数在，为减函数，
，，
在，的值域为，，则，，
，．
（2）由，可得，即，，
由（1）可知，，
是的必要不充分条件，
，
，
解得，
故的取值范围为，．
【点评】本题考查函数定义域的求法，考查充分必要条件的判断及其应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
20．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【分析】（1）设甲工程队的报价为元，则，化简后，利用均值不等式即可求得最小值；
（2）由题意知，对任意的，恒成立，参变分离后，得恒成立，再令，，结合均值不等式求出的最小值即可得解．
【解答】解：（1）设甲工程队的报价为元，而，

，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为28800元．
（2）由题意知，对任意的，恒成立，
即，从而恒成立，
令，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
【点评】本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，还涉及参变分离法和换元法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．设函数且是定义域为的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若（1），判断函数的单调性，并简要说明理由；
（3）在（2）的条件下，若对任意的，，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得；即，验证即可得答案；
（2）根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系，分析可得答案；
（3）根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，可以变形为；结合的范围，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数是定义域为的奇函数，则；
即，解可得，
此时，经检验是奇函数．
故；
（2）根据题意，由（1）的结论，，（1），分析可得，
则，则函数在上增函数；
（3）根据题意，
，
变形可得；
对任意的，，存在，，则有，则有，
又由，，则，
存在，，则．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出的值，属于中档题．
22．设函数．
（1）当，时，求方程的解；
（2）若为常数，且方程在区间，上有解，求实数的取值范围．
【分析】（1）原方程即为：，解得即可，
（2）问题即方程在，上有解，分类求出的值域即可．
【解答】解：（1）当，时，，所以方程即为：，
解得：或（舍，所以；
（2）方程在区间，上有解，即方程在，上有解；
设，
当时，则，，，且在，上单调增，
所以，（2），
则当时，原方程有解，则；
当时，，
在，上单调增，在，上单调减，在，上单调增；
①当，即时，，（2），
则当则当时，原方程有解，则；
②当，即时，，
，
则当时，原方程有解，则；
③当时，，
（2），，
当，即当时，，
则当时，原方程有解，则；
当，即则时，，
则当时，原方程有解，则；
综上，当时，实数的取值范围为，；
当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了分段函数的值域问题，及分类讨论思想，属于中档题．
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日期：2021/2/23 14:18:43；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394