易错点16 椭圆(解析版)-备战2022年高考数学考试易错题
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易错点1:焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式,知道之间的大小关系和等量关系:
易错点2:椭圆的几何性质
易错点3:直线与椭圆的位置关系
(1)忽视直线斜率为0或不存在的情况
(2)在用椭圆与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零?判别式的限制.(求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在下进行).
易错点4:求轨迹方程时,忽视对结论进行验证。
题组一:椭圆的定义与焦点三角形
1.(2019年全国文科1卷)已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点.若,,则的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法1:由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1B中,由余弦定理的推论得
,在ΔAF1F2中,由余弦定理得
,,
法2:由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1F2和ΔBF1F2,由余弦定理得
又因为∠AF2F1和∠BF2F1,
所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,消去cos∠AF2F1和cos∠BF2F得
所以
2.(2019年全国3卷)设,为椭圆的两个焦点,为上一点且在第一象限,若△为等腰三角形,则的坐标为 .
【答案】
【解析】设M(m,n),m,n>0,由题意得,由于M为C上一点且在第一象限,可得|MF1|>|MF2|,ΔMF1F2为等腰三角形,可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,即有
故答案为
3.(2013新课标1)已知圆:,圆:,动圆P与圆M外切并与圆N 内切,圆心的轨迹为曲线.则的方程为________
【答案】
【解析】因为圆P与圆M外切并与圆N 内切,所以,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为:
题组二:椭圆的标准方程
4.(2019新课标2卷)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【答案】D
【解析】由题意可知:故选D
5.(2017新课标1卷)已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1), P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上,则C的方程是______________。
【解析】由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.
又由知,C不经过点,所以点在C上.
因此,解得.故C的方程为.
6.(2014新课标1卷)已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,的方程是____________.
【解析】设F(c,0),由条件知,
,故椭圆E得方程为
题组三:椭圆的几何性质
7.(2021年全国乙卷)设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足 ,则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】点坐标为,可以看成以为圆心,2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点.
即至多一个解,消去x得
,即,,所以.
8.(2021年浙江卷)已知椭圆,焦点,,若过的直线和圆相切,与椭圆的第一象限交于点P,且轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
【答案】;.
【解析】法一(解析几何角度):设切线方程为
又与椭圆的第一象限交于点P ,
轴, ,
, .
法二(平面几何角度):在中,,,
,在中,
, .
9.(2017新课标3卷)已知椭圆()的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得,原点到直线的距离
所以椭圆C的离心率,故选A.
题组四:直线与椭圆的位置关系
10.(2013新课标2卷)过椭圆M:右焦点的直线交M于A、B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,M的方程为_________
【解析】把右焦点(c,0)代入直线得
设,即
则,则,
联立.故M的方程式为.
11.(2013新课标1卷)已知椭圆:的右焦点为,过点的直线交椭圆于、两点。若的中点坐标为,则的方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
【解析】设,即
则,则则,
联立,故E的方程式为.
12.(2021年新高考1卷)在平面直角坐标系中,已知点,,点满足
,记的轨迹为.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线上.过的两条直线分别交于,两点和P,Q两点,且,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
【答案】(1); (2).
【解析】(1)由题意可知:轨迹C为实轴为2,焦距为的双曲线的右支.
从而可以直接写出轨迹方程为.
(2)方法一:设T为,直线TAB为.
又,将代入可得:
.
设,则
,.
即.
直线TPQ斜率为t,则有,其中.
由可知,.
方法二:设T为,直线为.,
代入轨迹C中可得:.
整理得.
设,,,,则,
设直线TPQ为,同理,
有,从而,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
1.已知椭圆()的左焦点为,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得:,因为,所以,故选C.
2.已知椭圆(a>b>0)的离心率为,则( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率,化简得,故选B.
3.已知F1,F2是椭圆C: +=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,ΔP F1F2为等腰三角形,∠F1F2P=1200,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线AP的方程为由∠F1F2P=1200,|PF2|=|F1F2|=2c,则代入直线AP的方程得,故所求椭圆得离心率为
4.已知椭圆:的右焦点为,过点的直线交椭圆于、两点。若的中点坐标为,则的方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
【答案】D
【解析】设,即
则,则则,
联立,故E的方程式为.
5.设A,B是椭圆C:长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时,焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即,得;
当时,焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即,得,故的取值范围为,故选A.
6.设是椭圆的左、右焦点, 为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为_____.
【答案】
【解析】如图所示,是底角为的等腰三角形,
则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=300,所以∠PFA=600,
∠F2PF1=300,,
又因为
7.设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.且直线MN的斜率为,则C的离心率为_____
【答案】
【解析】把
,化为
8.在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为。过F1的直线交椭圆于两点,且的周长为16,那么的方程为 。
【答案】
【解析】由题意可得,解得,所以椭圆C的方程是
9.已知斜率为的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的中点为,则k的取值范围是_____.
【答案】
【解析】设,即 .
则,因为点M(1,m)在椭圆内部,
所以,所以.
10.已知,是其左右交点,,直线过点交于两点,在轴上方,且在线段上,
(1)若是上顶点,,求;
(2)若,且原点到直线的距离为,求直线;
(3)证明:对于任意 ,使得的直线有且仅有一条.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)有题可知:,因为,
因为,所以,
所以;
(2)设,其中,
因为,,
所以,
所以,(舍去),所以,
,则直线方程可以设为.
又因为到直线的距离为,
所以,
所以,得或,
当时,直线方程为,此时(舍)
所以直线方程为.
(3)设,,设直线的斜率为,连接,,取中点,
连接,可知为梯形的中线,
因为,令.
由点差法得,得,
化简得,即,
故当当确定时,也就只有唯一与对应,
故对任意时,满足条件的直线只有一条.
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