易错点20 概率与统计（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

易错点20   概率与统计

易错点1：混淆古典概型与几何概型;

易错点2：混淆几何概型中的测度（长度、面积、体积）;

易错点3：科学设计变量，数形结合解决问题. 

易错点4：超几何分布与二项分布混淆；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺

易错点5：忘记回归直线过样本中心致错；

易错点6：对正态分布的性质及意义不熟悉致错；

易错点7：正态总体的概率密度函数为，当时，，叫作标准正态总体的概率密度函数，两者在使用范围上是不同的。

题组一：古典概型

1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为．故选：C．

2.（2020•全国2卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】36

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是              (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，故概率，故选C．

4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是              ．

【答案】

【解析】因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，

若第1场或第2场输1场，则，

若第3场或第4场输1场，则，

所以甲以4：1获胜的概率是．

题组二：几何概型

5．（2021年全国高考乙卷数学（文））在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设“区间随机取1个数” ，

“取到的数小于”，所以．

6．(2021年高考全国乙卷理科)在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示：

设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．

设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．

7．(2018全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则

A．   B．      C．    D．

【答案】C

【解析】解法一： 设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积

，所以，由几何概型的知识知，故选A．

解法二：不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积

，区域Ⅲ的面积．

根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，

，，故选A．更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺

8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是              (　　)

 (　　)

A． B． C． D．

【答案】  B

【解析】设正方形边长为,则圆的半径为,则正方形的面积为,圆的面积为．由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是,选B．

秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率,故选B．

题组三：统计分析

9．（2021年全国高考甲卷数学（理））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【分析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)某地区经过一一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是 (　　)

A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】设建设前经济收入为，建设后经济收入为．

A项，种植收入37×﹣60%=14%＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．

B项，建设后，其他收入为5%×2=10%，建设前，其他收入为4%，故10%÷4%=2．5＞2，故B项正确．

C项，建设后，养殖收入为30%×2=60%，建设前，养殖收入为30%，故60%÷30%=2，故C项正确．

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2=58%×2a，经济收入为2，故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，故D项正确，因为是选择不正确的一项．

故选：A．

11．(2021年高考全国乙卷理科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

(1)求，，，；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．

【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．

【解析】（1），

，

，

．

（2）依题意，，，更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．

12．(2021年高考全国甲卷理科)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附：

【答案】（1）75%；60%；（2）能．

【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,

乙机床生产的产品中的一级品的频率为．

（2）,

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．

1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．

2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是              (　　)

A．简单随机抽样  B．按性别分层抽样   C．按学段分层抽样    D．系统抽样

【答案】C

【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C．

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．

4．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。以下结论不正确的是              (　　)

 (　　)

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．

5．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（   ）

A.    B.    C.     D.

【答案】B

【解析】如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过10分钟

根据几何概型，所求概率．故选B．

6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312

【答案】A

【解析】该同学通过测试的概率为，故选A．

7．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　   　．

【答案】.更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺

【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．

8．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则         ．

【答案】

【解析】随机变量，

9．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：，

【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析．

【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；

（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为

（3）列联表如下：

，

因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

10．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;

(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

参考数据:,,,.

参考公式:相关系数

回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:,.

【答案】(Ⅰ)理由见解析;(Ⅱ)1.82亿吨.

【解析】(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得,,,

,.

因为与的相关系数近似为0.99,说明与的线性相关程度相当高

从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,

.

所以,关于的回归方程为:.

将2016年对应的代入回归方程得:.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.