易错点08 三角函数与解三角（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

易错点08   三角函数与解三角

易错点1：解三角函数的定义

此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。

易错点2：三角函数图象变换

函数图象的平移变换解题策略：

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

易错点3：由三角函数图像求解析式

结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；

“第五点”为ωx＋φ=2π.

易错点4： 给值（式）求角（值）

解三角函数的给值求值问题的基本步骤

（1）先化简所求式子或所给条件；

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

易错点5：三角形中边角关系

此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

题组一、三角函数的定义

1.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（    ）

A. cos2α＞0   B. cos2α＜0   C. sin2α＞0   D. sin2α＜0

【答案】D

【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.

2．（2014新课标Ⅰ）若，则（   ）

A．      B．       C．     D．

【答案】C

【解析】 知的终边在第一象限或第三象限，此时与同号，

故，选C．

3．（2011新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（  ）

A．       B．       C．        D．

【答案】B

【解析】由角的终边在直线上可得，，

．故选B

题组二、三角函数的图像与变换

4．(2021年高考全国乙卷理科)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则              (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】.

5．（2017新课标Ⅰ）已知曲线：，：，则下面结论正确的是(   )

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

【答案】D

【解析】把的解析式运用诱导公式变为余弦，

：

则由图象横坐标缩短为原来的，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．选D

6．（2016全国II）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为

A．              B．

C．              D．

【答案】B

【解析】函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为，令，解得，所以所求对称轴的方程为，故选B．

7．（2016年全国III）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

【答案】

【解析】函数的图像可由函数

的图像至少向右平移个单位长度得到．

题组三、由三角函数图像求解析式

8．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

9.（2020•新全国1山东）（多选题）下图是函数y＝ sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝ （    ）

A.   B.   C.   D.

【答案】C

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，即函数的解析式为：

.

而,故选：BC.

10．（2015新课标Ⅱ）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（  ）．

A．，        

B．，

C．，           

D．，

【答案】D

【解析】由图象可知，，，

所以，

所以函数的单调递减区间为，

，即，．

题组四、给值（式）求值（角）

11．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】  ，

，，，解得，

，．故选：A．

12．(2018全国卷Ⅲ)若，则（   ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】．故选B．

13.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=

A．          B．        C．          D．

【答案】B

【解析】由，得.

因为，所以.

由，得.故选B.

14．（2016年全国II）若，则（    ）

A．       B．         C．         D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以,所以,故选D．

题组五、三角形中的边角关系

15.（2020•全国3卷）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】在中，，，

根据余弦定理：,,

可得 ，即,由,

故.故选：A.

16．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由余弦定理可得，

所以由

所以，而，所以，故选C．

17.（2021年上海卷第18题）在中，已知

（1）若，求的面积；

（2）若，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由已知得，

（2）

因为，，，

所以

因为，所以

所以

18.（2021年天津卷）在，角所对的边分别为，已知，．

（1）求a的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）因为，由正弦定理可得，

，；

（2）由余弦定理可得；

（3），，

，，

所以.

1．设函数，则（  ）

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【答案】D

【解析】∵=，

所以在单调递减，对称轴为，即．

2．已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（  ）

A．        B．       C．       D．

【答案】A

【解析】由题设知，=，∴=1，∴=（），

∴=（），∵，∴=，故选A.

3．设函数，则下列结论错误的是（  ）

A．的一个周期为      B．的图像关于直线对称

C．的一个零点为  D．在单调递减

【答案】D

【解析】∵的周期为，，所以A正确；

∵，所以B正确；

设，而，C正确；选D．

4．已知，函数在单调递减，则的取值范围是(   )

A．   B．     C．    D．

【答案】A

【解析】函数的图像可看作是由函数的图像先向左平移个单位得的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数的减区间是，所以要使函数在上是减函数，需满足，解得．故选A．

5．已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ）

A．11                  B．9                   C．7                   D．5

【答案】B

【解析】因为为函数的零点，为图像的对称轴，所以（，为周期），得（）．又在单调，所以，又当时，，在不单调；当时，，在单调，满足题意，故，即的最大值为9．

6.已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（   ）

A．       B．      C．      D．

【答案】D

【解析】，，由余弦定理解得．

7.的内角的对边分别为，若，

，，则        ．

【答案】

【解析】∵，，∴，，

∴，

由正弦定理得：解得．

8.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．

【答案】

【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得

，可得，即可解出.

【详解】因为，

所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.

9.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

【答案】

【解析】由余弦定理有，
因为，，，所以，

所以，.

10.已知在中，，．

（1）求；

（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线长．

①；     ②的周长为；     ③的面积为．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）不能选①；若选②：；若选③：．

【解析】（1）由正弦定理，得．

故或（舍），故．

（2）由（1），，所以不能选①；

又，所以．

若选②：设，则．

所以，解得．故，．

设中点为，在中，由余弦定理，

，解得；

若选③：设，则．

所以的面积为，解得．

故，．

设中点为，在中，由余弦定理，

，解得．