易错点17 双曲线（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

易错点17   双曲线

易错点1：焦点位置不确定导致漏解   要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：

易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；

易错点3：直线与双曲线的位置关系

（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；

（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.

题组一：定义与标准方程

1．（2015福建理）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（   ）

A．11         B．9         C．5            D．3

【答案】B

【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．

2．（2019年新课标1卷）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解答】∵，∴，

又，∴|BF1|＝3|BF2|，

又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，

∴|AF2|＝a，|BF1|＝，

在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，

在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，

根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得，解得a2＝3，∴．

b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．

所以椭圆C的方程为故选：B．

3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为

A．     B．     C．    D．

【答案】B

【解析】由题意可得：，，又，解得，，

则的方程为，故选B．

4.（2016年新课标1卷）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（   ）

A.(-1,3)   B.(-1,)     C.(0,3)     D.(0,)

【答案】A

【解析】由题意知c=2,,

因为方程表示双曲线，

所以

解得故选A.

题组二：焦点三角形

5．（2020·新课标Ⅰ文）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【解析】由已知，不妨设，

则，∵，∴点在以为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，故，

即，又，

∴，

解得，∴，故选B．

6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则（  ）

A．                B．                 C．                 D．

【答案】A

【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，，即，解得，故选A．

解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，

又∵，∴．

解法三：设，则，，，求的．

7.（2015全国1卷）已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（    ）

A.     B.   C.  D.

【答案】A

【解析】法1：根据题意的坐标分别为，

所以

所以

所以.故选A.

秒杀法2： 当由等面积得：

因为，所以为钝角，根据变化规律，可得

故选A.

8．(2016全国II理)已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（   ）

A．          B．           C．          D．2

【答案】A

【解析】设，将代入双曲线方程，得，化简得，

因为，所以，所以，所以，故选A．

题组三：渐进线

9．（2019全国3卷）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A．

10．(2018全国2卷)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A．     B．     C．   D．

【答案】A

【解析】解法一  由题意知，，所以，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为，故选A ．

解法二 由，得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选A．

11．（2017天津理）已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

A．     B．      C．   D．

【答案】B

【解析】设，双曲线的渐近线方程为，由，由题意有，又，，得，，故选B．

12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为    ．

【答案】

【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，又双曲线过点，∴，∴，故双曲线的方程为．

题组四：离心率

13．(2021年高考全国甲卷理科)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即．

故选：A

14．(2021全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是              (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，由，因为，，所以

，

因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；

当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．

故选：C．

15．（2019全国1卷）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为　　．

【答案】2

【解析】如图，，，∴OA⊥F1B，

则F1B：①，渐近线OB为②

联立①②，解得B，

则，

，

又，

所以

整理得：，

故的离心率为

16．（2019全国2卷）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为(   ).

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】法1：由题意，把代入，得，

再由，得，即，

所以，解得.故选A．

法2：如图所示，由可知为以  为直径圆的另一条直径，

所以，代入得，

所以，解得.故选A．

法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A．

题组五：距离

17．【2020年高考北京卷12】已知双曲线，则的右焦点的坐标为________；的焦点到其渐近线的距离是__________．

【答案】，

【解析】∵双曲线，∴，，，∴，∴右焦点坐标为，∵双曲线中焦点到渐近线距离为，∴．

18．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为

A．    B．   C．   D．

【答案】D

【解析】，，∴双曲线的渐近线方程为，∴点到渐近线的距离，故选D．

19.（2018全国1卷）已知双曲线C： - y2 =1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|=____.

【答案】3

【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以．不妨设过点的直线与直线交于点，由为直角三角形，不妨设，则，又直线过点，所以直线的方程为，

由，得，所以，

所以，所以．

20．【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则 （   ）

A．            B．            C．            D．

【答案】D

【解析】由条件可知点在以为焦点的双曲线的右支上，并且，∴，

方程为 且点为函数上的点，联立方程 ，解得：，，，故选D．

1.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（    ）

A.       B.        C.        D.

【答案】C

【解析】设等轴双曲线C:，的准线

因为与抛物线的准线交于两点，，

所以,将A点代入双曲线方程得

，故选C.

2.双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（   ）

A.       B.或

C.       D.

【答案】D

【解析】当焦点在x轴时，渐进线方程为，

所以，解得，

所以双曲线的方程为.

焦点在y轴时，渐进线方程为，

所以，解得，

所以双曲线的方程为.故选D.

3.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为(   )

A.   B.    C.   D.

【答案】B

【解析】由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为

，设，即

则，则，

故的方程式为．应选B．

4. 已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为(    )

A.   B.   C.    D.

【答案】C

【解析】由题意，

所以的渐近线方程为故选C.

5. 已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为(     )

A.   B.3    C.    D.

【答案】A

【解析】由C:得

即，

则点F到C得一条渐近线得距离故选A.

6.P是双曲线右支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为     .

【答案】x=a

【解析】如图所示：，设内切圆与x轴的切点是点H，PF1,PF2与内切圆的切点分别为M、N，

由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a，由圆的切线长定理知， |PM|=|PN|,所以|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以（x+c)-(c-x)=2a,得x=a.

7.已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为________.

【答案】

【解析】法1：设，可知,

根据双曲线定义①，

在ΔPF1F2中，根据余弦定理

②

联立①②得，设P到x轴得距离为h，

则

秒杀法2：由等面积得：

设P到x轴得距离为h，

故答案为：

8.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_____.

【答案】

【解析】根据题意，设双曲线，不妨设点M在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH⊥x轴于点H，则∠MBH=600，故|BH|=a,

将点M代入得a=b,所以

9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为___.

【答案】2

【解析】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为

，圆心到弦的距离也为，

所以，又，所以得，所以离心率 

10．设F1，F2是双曲线C: －＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|=|OP|，则C的离心率为_____.

【答案】

【解析】法1：不妨设一条渐近线的方程为，

则到的距离，

在中，，所以，

所以，又，所以在与中，

根据余弦定理得，

即，得．所以．

法2：选C  设P(t,- t),∵PF2与y=- x垂直，

∴=，解得t= 即P(,-  )

∴|OP|==a，|PF1|=，

依题有(+c)2+(- )2=6a2，化简得c2=3a2，即