易错点11 球（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

易错点11   球

球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。考查形式多以选择题和填空题出现。

易错点1：公式记忆错误

易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误

易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误

题组一：以三视图为背景

1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是              (　　)             

A.    B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A．

2．(2015高考数学新课标1理科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则=

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为

=，解得r=2，故选B．

题组二，以棱（圆）柱为载体

3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.

【答案】

【解析】根据题意可知三棱柱是棱长都是a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外切球的半径为OA1,又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，

4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】  B

【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面

，所以，那么圆柱的体积是，故选B．

法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为

根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B．

题组三：以棱（圆）锥为载体

5．(2021年高考全国甲卷理科)已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

解析：，为等腰直角三角形，，

则外接圆的半径为，又球的半径为1，

设到平面的距离为，

则，

所以．

故选：A．

6.（2021天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

7.（2020年全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D. 【答案】A

【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，

由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，

，球的表面积.

故选：A

【叮嘱】球的有关性质

性质1.  球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.

性质2.  球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.

性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.

性质4.  球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.

性质5.  球的直径等于球的内接长方体的对角线长.

性质6.  若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.

8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为              (　　)

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】

设球的半径为，则，解得：．

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，

，解得：，，

球心到平面的距离．

故选：C．

9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

【答案】

【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其中，且点M为BC边上的中点，

设内切圆的圆心为，

由于，故，

设内切圆半径为，则：

，

解得：，其体积：．

故答案为：．

题组四：与最值相关

10．(2015高考数学新课标2理科)已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．

考点：外接球表面积和椎体的体积．

11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设的边长为，则，此时外接圆的半径为，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B．

12．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若,,,,则的最大值是              (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】要使球的体积最大,必须球的半径最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值,此时球的体积为,故选B.

1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】正方体的体积为，其内切球的体积为，

由条件可知牟合方盖的体积为，

故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为.故选：C

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（       ）

A．200π B．100π C． D．50

【答案】D

【解析】由三视图可得该几何体为如图的长方体中的四面体A1BC1D,

四面体A1BC1D与长方体的外接球是同一个球，

长方体的外接球的直径即为长方体的对角线，，

所以外接球的表面积为，故选：D.

3．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取中点，过点做直线垂直，因为为直角三角形，所以点为外接圆的圆心，又平面平面，所以平面，根据球的性质，球心一定在垂线上，且球心为的外心.

在中，，

所以，则外接圆的半径为

即外接球的半径为，所以体积为.故选：D

4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由三视图可还原几何体为从长、宽均为，高为的长方体中截得的四棱锥，

则四棱锥的外接球即为长方体的外接球，

球的半径，球的表面积.

故选：A.

5．已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的表面积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，，所以，球面积，故选:D.

6．在四边型中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，

又，则，，

可知，则，

取的中点，连接，则，

所以点为四面体外接球的球心，

则外接球的半径为：，

所以四面体外接球的表面积.

故选：D.

7．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设在底面上的射影为，如图，

因为，所以为的中心，

由题可知，，由，解得

在正中，可得.

从而直角三角形中解得.

进而可得，，，

因此正三棱锥可看作正方体的一角，

正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.

记外接球半径为，则，

所以，球的表面积为.

故选：B

8．在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，

则的面积.由三棱柱的体积为可得，故，

设三棱柱外接球的半径为R，则，

故该三棱柱外接球的表面积为.

故选：A．

9．在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，故底面三角形外接圆半径为，

，当时等号成立，

故，故，

当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点，

设球心为，则在上，故，化简得到，

双勾函数在上单调递增，故，故.

故选：D.

10．已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若的面积为的面积为的面积为，满足，当的面积之和的最大值为8时，则三棱锥外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】连接交于点，连接,

因为为的垂心，所以，

因为平面，所以，而 ,

所以平面，所以，

可得，

因为，

即，所以，

所以，所以,

又 平面， 平面，故 ，

而 ,所以平面，平面，

所以，

同理可知，且，所以平面，

所以，因此两两垂直，

设，

则

，

当且仅当时，等号成立，所以，

设三棱锥外接球的半径为，

所以，解得，

所以三棱锥外接球的体积为,

故选:D.